حتما تا به حال شكلهاي منظم هندسي زيادي ديده ايد ، حتي بعضي از اين اشكال را با شابلونهي موجود در بازار کشيده ايد يا تا کنون به اين فکر کرده ايد که تمام اين اشکال داراي مبناي علمي و فرمولهاي رياضي هستند؟
به عنوان مثال شکلهايي که در اين صفحه ملاحضه مي کنيد از چرخش يک دايره کوچک بر روي يک دايره بزرگتر بوجود مي ايد بطوري که شکل از تماس قلم متصل به محيط دايره کوچکتر بر روي کاغذ رسم مي شود. حال به صورت گام به گام فرمول اين اشکال را محاسبه ميکنيم.
نکته قابل توجه اين است که ما در مسير حل اين مساله از مختصات قطبي استفاده مي کنيم، همانطور که مي دانيم در مختصات قطبي به دو پارامتر r و
r فاصله نقطه مورد نظر (نوک قلم) از مبدا مختصات و
در فرمول محاسبه شده a شعاع دايره بزرگ و b شعاع دايره کوچک در نظر گرفته شده است.
در دستگاه مختصات دکارتي:
در دستگاه مختصات قطبي:
اگر به شکل توجه کنيد کمان طي شده توسط دايره کوچک (b.u) برابر کمان طي شده توسط دايره بزرگ (t.a) مي باشد لذا داريم :
طبق فرمولهي هندسي در مثلث
با جاگذاري در فرمول قبل :
اکنون زاويه ((v را در دو فرمول اول جاگذاري ميکنيم تا x و y در مختصات دکارتي بدست ايد .
با استفاده از فرمولهاي مثلثاتي در متمم زاويه :
ما مي توانيم از همين روش براي اثبات اشکالي که از چرخش دايره کوچکتر روي محيط دايره بزرگتر ( از داخل ) بوجود مي ايد ، استفاده کنيم.با استفاده از شکل داريم :
شايد بپرسيد بدست آوردن اين فرمولها چه مزيتي دارند؟
حتما براي شما جالب خواهد بود که بدانيد توسط فرمولهاي بدست آمده ميتوان اشکال مورد نظر را در رايانه شبيه سازي کرد ! به عنوان مثال دستورات رسم اين اشکال در نرم افزار Maple به صورت زير خواهد بود. شما ميتوانيد با تغيير دادن مقادير a وb و بازه زاويه t به شکلهاي گوناگون و زيبايي دست پيدا کنيد.
> restart;
> with(plots):
> a:=6:
> b:=2.1:
> x:=(a-b)*cos(t)+(b*cos(((a-b)/b)*t)):
> y:=(a-b)*sin(t)-(b*sin(((a-b)/b)*t)):
> polarplot(sqrt(x^2+y^2),t=-40*Pi..40*Pi);
با اجراي اين فرامين نتيجه به صورت زير خواهد بود :
با اميد سودمند بودن اين مقاله
حامد منصف
