Kruger
عضو جدید
در ابتدا باید به خاطر بد در آمدن بعضی از قسمتها از لحاظ نگارش ی عذر خاهی کنم .
اگر معادله ی تابعی را نداشته باشیم می توان همه چیز را درباره ی آن دانست .. !
شاید در نگاه اول بگویید : نمی شود . ولی در دنیای ریاضیات کار ، نشد ندارد.
یک چیز را همه میدانیم ، و آن اینکه تقریبا همه ی تابع ها را می شود معکوس کرد .این که گفتم تقریبا به دلیل عدم یک به یک بودن بعضی از تابع هاست که آن را هم میتوان با محدود کردن دامنه از بین برد . بنابراین هر تابعی معکوسی دارد ولی مشکلی که با محدود کردن دیگر رفع نمی گردد این است که، نمی توان معادله ی همه ی این تابع های معکوس را بدست آورد !
مثلا در تابع y = x3 + x ما از راههای عادی نمی توانیم معکوس را بدست آوریم .ولی چیزهای دیگری را مثل تخمین مساحت آن ( همان طور که در مقاله ی قبلی عنوان کردم ) را میتوان بدست آورد .
انسان به دنبال بی نهایت هاست . آیا می توان همه ی اطلاعات یک تابع معکوس را بدون داشتن آن بدست آورد . شاید ابتدایی ترن چیزی که ما از ریاضیات خوانده باشیم این باشد که با داشتن معادله ی یک تابع میتوان همه ی اطلاعات را ،راجع به آن بدست آورد . ولی ما از تابع معکوس فقط یک چیز را می دانیم وآن در فرمول زیر خلاصه میگردد .
F (f-1(x)) = x
حال با خود می گویید که این فرمول چگونه می تواند تابع معکوس را بدست دهد . اگر سری تیلور را به خاطر داشته باشید این سری می تواند جملات یک تابع را به صورت جملات تواندار از x به ما ارائه دهد .
برای بدست آوردن جملات باید طبق فرمول زیر عمل کنیم .
F (x) = ∑_(n=0)^∞▒〖 An x^n 〗 □(→┴ ) An = f
(x)
اگر همین الگو را راجع به تابع معکوس به کار ببریم می بینیم که فقط باید به جای f ، f-1 قرار داد . An نیز از مشتقات تابع معکوس بدست می آید . بنابراین برای پیدا کردن تابع اصلی معکوس فقط مجهول ما ، بدست آوردن مشتقات آن است . در اینجا به تنها فرمولی که از ارتباط تابع اصلی و معکوس آن می شناسیم متوسل می شویم .
ما تابع اصلی را داریم ، بنابراین اگر بتوانیم ارتباطی بین مشتقات تابع اصلی و تابع معکوس پیدا کنیم مسئله حل شده است . اگر یک بار از عبارت F (f-1(x)) = xمشتق بگیریم به عبارت زیر میرسیم :
f-1 ' (x) * f ' (f-1 (x)) = 1
بنابراین اولین مشتق برحسب تابع اصلی بدست آمد و اگر این کار را در دومین و سومین مرحله انجام دهیم ، به ترتیب جملات زیر ظاهر می گردند :
f-1" (x) = - f" (f-1 (x) ) / f2' ( f-1 (x) )
f-1''' (x) = - f"' ( f-1 (x) ) / f3' ( f-1 (x) ) + 2 f" (f-1(x) ) / f4' (f-1(x) )
واین الگو را می توان برای بدست آوردن تمام جملات این دنباله تکرار کرد . در نتیجه می توان سری تیلور تابع معکوس را بدست آورد و تمامی اطلاعات لازم را نیز از آن کسب کرد .
اگر همواره مانند گذشته بیندیشیم ، همواره همان چیزهایی را بدست خواهیم آورد که تاکنون داشته ایم . ریچارد فاینمن
اگر معادله ی تابعی را نداشته باشیم می توان همه چیز را درباره ی آن دانست .. !
شاید در نگاه اول بگویید : نمی شود . ولی در دنیای ریاضیات کار ، نشد ندارد.
یک چیز را همه میدانیم ، و آن اینکه تقریبا همه ی تابع ها را می شود معکوس کرد .این که گفتم تقریبا به دلیل عدم یک به یک بودن بعضی از تابع هاست که آن را هم میتوان با محدود کردن دامنه از بین برد . بنابراین هر تابعی معکوسی دارد ولی مشکلی که با محدود کردن دیگر رفع نمی گردد این است که، نمی توان معادله ی همه ی این تابع های معکوس را بدست آورد !
مثلا در تابع y = x3 + x ما از راههای عادی نمی توانیم معکوس را بدست آوریم .ولی چیزهای دیگری را مثل تخمین مساحت آن ( همان طور که در مقاله ی قبلی عنوان کردم ) را میتوان بدست آورد .
انسان به دنبال بی نهایت هاست . آیا می توان همه ی اطلاعات یک تابع معکوس را بدون داشتن آن بدست آورد . شاید ابتدایی ترن چیزی که ما از ریاضیات خوانده باشیم این باشد که با داشتن معادله ی یک تابع میتوان همه ی اطلاعات را ،راجع به آن بدست آورد . ولی ما از تابع معکوس فقط یک چیز را می دانیم وآن در فرمول زیر خلاصه میگردد .
F (f-1(x)) = x
حال با خود می گویید که این فرمول چگونه می تواند تابع معکوس را بدست دهد . اگر سری تیلور را به خاطر داشته باشید این سری می تواند جملات یک تابع را به صورت جملات تواندار از x به ما ارائه دهد .
برای بدست آوردن جملات باید طبق فرمول زیر عمل کنیم .
F (x) = ∑_(n=0)^∞▒〖 An x^n 〗 □(→┴ ) An = f
(x)اگر همین الگو را راجع به تابع معکوس به کار ببریم می بینیم که فقط باید به جای f ، f-1 قرار داد . An نیز از مشتقات تابع معکوس بدست می آید . بنابراین برای پیدا کردن تابع اصلی معکوس فقط مجهول ما ، بدست آوردن مشتقات آن است . در اینجا به تنها فرمولی که از ارتباط تابع اصلی و معکوس آن می شناسیم متوسل می شویم .
ما تابع اصلی را داریم ، بنابراین اگر بتوانیم ارتباطی بین مشتقات تابع اصلی و تابع معکوس پیدا کنیم مسئله حل شده است . اگر یک بار از عبارت F (f-1(x)) = xمشتق بگیریم به عبارت زیر میرسیم :
f-1 ' (x) * f ' (f-1 (x)) = 1
بنابراین اولین مشتق برحسب تابع اصلی بدست آمد و اگر این کار را در دومین و سومین مرحله انجام دهیم ، به ترتیب جملات زیر ظاهر می گردند :
f-1" (x) = - f" (f-1 (x) ) / f2' ( f-1 (x) )
f-1''' (x) = - f"' ( f-1 (x) ) / f3' ( f-1 (x) ) + 2 f" (f-1(x) ) / f4' (f-1(x) )
واین الگو را می توان برای بدست آوردن تمام جملات این دنباله تکرار کرد . در نتیجه می توان سری تیلور تابع معکوس را بدست آورد و تمامی اطلاعات لازم را نیز از آن کسب کرد .
اگر همواره مانند گذشته بیندیشیم ، همواره همان چیزهایی را بدست خواهیم آورد که تاکنون داشته ایم . ریچارد فاینمن
