seren7
عضو جدید
با سلام خدمت شما سرکار خانوم
قضیه مرتبه همگرایی روش نیوتن برای m مرتبه ریشه تکراری
چگونه اثبات می شود؟
با تشکر
قضیه مرتبه همگرایی روش نیوتن برای m مرتبه ریشه تکراری
چگونه اثبات می شود؟
با تشکر
مثال) تقریبی ازارائه دهید؟
جواب:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=x^{2}-2\rightarrow \alpha =\sqrt{2}تقریب اولیه ریشه تابع را
}{{f}'(x_{n})}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-2}{2x_{n}}=\frac{1}{2}(x_{n}+\frac{2}{x_{n}}))
در نظرمیگیریم داریم:
و همانطور که ملاحظه میکنید
http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{2}=1.416 , x_{3}=1.414215686 , x_{4}=1.414213562
دقیقا عددی هست که ماشین حساب به ما میدهد !
تذکر: روش نیوتن احتیاج به یک تقریب اولیه مناسب برایریشه تابع f دارد ودرصورتی به ریشه همگرا ست که
به اندازه کافی به ریشه نزدیک باشد.لذا تقریب اولیه باید طوری انتخاب شود که :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\left | {{f}''(x_{0})f(x_{0})}'' \right |}{({f(x_{0})}')^{2}}< 1
اشکالات روش نیوتن:
1- انتخابمناسب به عنوان تقریب اولیه از ریشه که شرط فوق را داشته باشد.
2-ممکن استکوچک یا حتی صفر شود.)
3-ممکن است جملات دنباله دارای دو مقدار ثابت شود.
-- برای اینکه مشکلات فوق بوجود نیاید بهتراست ابتدا بایکی از روش های همیشه همگرا تقریبی نزدیک به ریشه بدست آورد و آن را به عنوان تقریب اولیه قرار داده وبعد از روش نیوتن استفاده کرد !
مزیت روش نیوتن: مزیت عمده روش نیوتن در صورت همگرایی ؛ سرعت همگرایی آن می باشد.
قضیه( مرتبه همگرایی روش نیوتن):
اگرریشه ساده تابع f=0 باشد ودنباله http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left \{ x_{n} \right \}حاصل از روش نیوتن باشد. مرتبه همگرایی آن برابر 2 است وداریم:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left | e_{n+1} \right |}{\left | e_{n} \right |^{2}}=\frac{1}{2}\left | \frac{{f}''(\alpha )}{{f}'(\alpha )} \right |
توجه: اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}'(\alpha )\neq 0 ,{f}''(\alpha )=0 باشد مرتبه همگرایی روش نیوتن بیش تر از 2 است.
قضیه: اگرریشه ساده fنباشد یعنی داشته باشیم http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}'(\alpha )=0 آنگاه مرتبه همگرایی روش نیوتن به یک کاهش
می یابد واگر mمرتبه تکرار ریشه باشد داریم:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}-\alpha }{x_{n}-\alpha }=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n}-x_{n-1}}=\frac{m-1}{m}=1-\frac{1}{m}
مثال) اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3} به ترتیب ریشه های تکراری مرتبه 2و3و4 برای f باشند. دنباله حاصل از روش نیوتن برای یافتن کدامیک دارای همگرایی سریعتر است ؟
جواب: بنابر قضیه فوق هرچه مرتبه ی تکرار ریشه کمتر باشد ؛همگرایی روش نیوتن برای آن سریعتر است !
