m_ghadimi@yahoo.
عضو جدید
معادلات ديفرانسيل Differential Equations
1_معادلات دیفرانسیل از دو واژه Differential و Equation ترکیب شده است. Differential در لغت به‌معنی متفاوت و ناهمسان و Equation در لغت به‌معنای برابرسازی، مساوی‌سازی و برابرپنداری بوده و Differential Equation نیز به‌معنای هم چندی وابردی معادله به‌کار رفته است.2_دیفرانسیل در اصطلاح،تابع y و متغیر مستقل x را در نظر می‌گیریم. ممکن است این تابع، به‌صورت صریح y=f(x)و یا ضمنی f(x,y)=0 باشد؛ هر رابطه بین مشتقات تابع y را یک معادله دیفرانسیل گویند.معادله دیفرانسیل در حالت کلی به دو صورت زیر نمایش داده می شود: در قرون اخیر آنالیز، مهمترین شاخه ریاضیات به‌حساب می‌آید و معادلات دیفرانسیل بخش اساسی آن است.3_معادلات دیفرانسیل، به‌عنوان ابزاری قوی در حل بسیاری از مسائل رشته‌های گوناگون دانش بشری مانند: فیزیک، شیمی، مکانیک، اقتصاد و ... به‌کار می‌رود. در حل و بررسی معادلات دیفرانسیل از مفاهیم حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده می‌شود. برای حل معادلات دیفرانسیل از روشهای مختلفی استفاده می‌شود از جمله: معادله دیفرانسل جدا (تفکیک‌پذیر)، معادله دیفرانسیل همگن، معادله دیفرانسیل ژاکوبی، معادله دیفرانسیل کامل، فاکتور انتگرال، معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول، معادله دیفرانسیل برنولی، معادله دیفرانسیل لاگرانژ، معادله دیفرانسیل کلرو. کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد4_معادلات دیفرانسیل در بسیاری از توابع اقتصادی کاربرد دارند. این معادلات در تعیین شرایط پایداری پویا برای تعادل بازار در مدل‌های اقتصاد خرد و نیز ردیابی مسیر زمانی تحت شرایط مختلف در اقتصاد کلان مورد استفاده قرار می‌گیرند. اگر نرخ رشد یک تابع مفروض باشد، اقتصاددانان قادرند، با استفاده از معادلات دیفرانسیل تابع مورد نظر را تعیین کنند. همچنین اگر کشش نقطه‌ای در دست باشد، می‌توان تابع تقاضا را برآورد کرد؛ معادلات دیفرانسیل، جهت برآورد توابع سرمایه از توابع سرمایه‌گذاری و همچنین برآورد توابع هزینه کل و درآمد کل از توابع هزینه نهایی و درآمد نهایی مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این مدخل به شش کاربرد متمایز از معادلات در بخش‌های مختلف اقتصاد پرداخته‌ایم؛ گرچه ممکن است از یک راه حل در برخی کاربردها استفاده شده باشد. هدف از آوردن کاربردهای مختلف بیان اهمیت دیفرانسیل و گستره استفاده از آن در اقتصاد بوده است. معادله فوق، به‌صورت یکی از معادلات خطی در آمده است؛ لذا بر اساس روش حل معادله مورد نظر در ریاضی به حل آن می‌پردازیم. این معادله به روش معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول حل می‌گردد؛ که روش آن بدین صورت است: صورت کلی معادله خطی مرتبه اول بدین صورت است:اگر t=0 باشد، معادله به‌صورت زیر درمی‌آید: 5_چون m مقداری ثابت و بزرگتر از صفر است، وقتی t به‌سمت بی‌نهایت میل می‌کند، تنها در صورتی‌که h-b>0 باشد، اولین جمله سمت راست، به‌سمت صفر میل می‌کند؛ بنابراین p(t) به‌سمت pَ میل می‌کند. برای حالت‌های عادی که تقاضا دارای شیب منفی b<0 و عرضه دارای شیب مثبت h>0 است، شرایط پایداری پویا قابل حصول است. بازارهایی که در آن شیب توابع تقاضا مثبت یا شیب توابع عرضه منفی باشند، مادامی که h>0 است نیز بهطور پویا پایدارند. 6_مثلا با فرض اینکه تقاضا برابر D=80-4 و عرضه برابر با S=-10+2p باشند، نقطه تعادل را مشخص کنید و با فرض p[SUB]0[/SUB]=18 و q[SUB]0[/SUB]=8 تحقیق کنید که آیا تعادل پایدار است یا نه؟ چون تقاضا دارای شیب منفی b<0 یعنی b=-4 و عرضه دارای شیب مثبت h>0 یعنی h=2 است، شرایط پایداری پویا قابل حصول است.کاربرد دوم؛ تابع تقاضای Q=f(p) را در صورتی‌که کشش نقطه‌ای (e) برای همه p>0 برابر -k باشد؛ به‌دست آورید.حل: می‌دانیم، کشش نقطه‌ای تقاضا برابر است با: 7_معادله فوق نیز به‌صورت یکی از معادلات خطی درآمده است؛ لذا براساس روش حل معادله مورد نظر در ریاضی به حل آن می‌پردازیم. این معادله دیفرانسیل، یک معادله دیفرانسیل جداست؛ با تفکیک متغیرها، آن‌را به‌صورت زیر می‌نویسیم: مثال عددی: تابع تقاضای Q=f(p) را در صورتی‌که کشش نقطه‌ای تقاضا باشد و از نقطه p=2 و q=4 بگذرد. شکل تابع یک هذلولی متساوی‌الساقین است. (نقطه چین در شکل به‌معنی منطقه غیر اقتصادی است). کاربرد سوم؛ فرمولی برای محاسبه کل ارزش p مبلغ وجه اولیه p(0) که به مدت t سال با نرخ بهره مرکب پیوسته i به مرابحه گذاشته شده است به این صورت به‌دست می‌آید:[8] اگر i برابر بهره مرکب پیوسته باشد،کاربرد چهارم؛ شرایط پایداری یک مدل تعیین درآمد دو بخشی، که در آن Ŷ، Î و Ĉ، به‌ترتیب انحراف مصرف، سرمایه‌گذاری و درآمد از مقادیر تعادلی Y[SUB]e[/SUB]، I[SUB]e[/SUB]و C[SUB]e[/SUB] است را به‌دست می‌آوریم؛[9] یعنی =C(t)-C[SUB]e[/SUB]Ĉ که در آن Ĉ (سی‌هت)، درآمد با نرخ متناسب با مازاد تقاضا C+I+Y تغییر می‌کند: و نیز 0<a,b,g<1 و (t)=bŶÎ و (t)=gŶĈبا تفکیک متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:
چون =Y(t)-Y[SUB]e[/SUB]Ŷ یعنی ŶY(t)=Y[SUB]e[/SUB]+ بنابراین داریم: Y(t)=Y[SUB]e[/SUB]+[Y(0)-Y[SUB]e[/SUB]]e[SUP]a(g+b-1)t[/SUP]وقتی t به‌سمت بی‌نهایت میل کند، تنها وقتی که g+b<1 باشد، Y(t) به‌سمت Y[SUB]e[/SUB] حرکت می‌کند؛ به‌عبارتی مجموع میل نهایی به مصرف g و میل نهایی به سرمایه b، باید کمتر از یک باشد. کاربرد پنجم (الگوی دومار)؛ تغییر در نرخ سرمایه‌گذاری، بر تقاضای کل و ظرفیت تولیدی یک اقتصاد تأثیر می‌گذارد. مدل دومار در جستجوی یافتن مسیری زمانی است؛ که در طول آن، یک اقتصاد، در حالی‌که به بهره‌برداری کامل از ظرفیت تولیدی خود ادامه دهد، بتواند رشد نماید. دومار می‌گوید: سرمایه‌گذاری ظرفیت تولید را افزایش می‌دهد و برای اینکه از ظرفیت، بهطور کامل بهره‌برداری شود، افزایش (بالقوه) در تولید، سبب افزایش ظرفیّت تولیدی باید کاملا در افزایش تقاضای کل جذب شود.[10] تابع سرمایه‌گذاری برای رسیدن به رشد مطلوب را در صورتی‌که میل نهایی به پس‌انداز و نسبت نهایی سرمایه به محصول ثابت باشند؛ به‌دست می‌آوریم: (s(t)=ay(t s(t)=I(t)y(0)=y[SUB]0[/SUB]a>0,b>0در این الگو، s پس‌انداز، I سرمایه‌گذاری و y درآمد، متغیرهایی درون‌زا و تابعی از زمان هستند و a و b برون‌زا هستند و y[SUB]0[/SUB] شرط اولیه است.[11] با تفکیک متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:مشاهده می‌شود که سرمایه‌گذاری در هر زمان همواره بایداز نرخ ([SUP]a[/SUP]/[SUB]b[/SUB])رشدی معادل درصد برخوردار باشد.[12]کاربرد ششم: (الگوی رشد سولو)؛ «سولو نشان‌دهنده آثاری است که پس‌انداز، رشد جمعیت و پیشرفت تکنولوژی در طول زمان روند تولید دارند.»[13] مسیرهای رشد تعادل را در زمانی‌که از سرمایه و نیروی کار بهطور کامل استفاده می‌کند، بررسی می‌کند؛ که دارای فروض زیر است:«اولا؛ فرض میکنیم تابع تولید (y=f(K,L تابعی همگن خطی باشد؛ پس نسبت بازده نسبت به مقیاس ثابت است. K سرمایه و L نیروی کار است. ثانیا؛ فرض میکنیم که به‌اندازه نسبت ثابت s از مقدار تولید، پس‌انداز و سرمایه‌گذاری می‌شود و داریم:ثالثا؛ فرض می کنیم نیروی کار با نرخ ثابت r رشد می‌کند: L=L[SUB]0[/SUB]e[SUP]rt[/SUP].[14]اگر در تابع تولید مقدار بگذاریم، داریم: معادله فوق مسیر زمانی تشکیل سرمایه، [SUP]dK[/SUP]/[SUB]dt[/SUB][SUB] [/SUB]را توضیح می‌دهد؛ اگر فرض کنیم z=[SUP]K[/SUP]/[SUB]L[/SUB][SUB] [/SUB]پس داریم:از طرفین نسبت به t مشتق می گیریم:از تساوی رابطه (1) و (2) داریم:تابع f در رابطه فوق، یک تابع همگن خطی است. با توجه به اینکه تابع f(K,L) را می‌توان بدین صورت نوشت:پس از رابطه فوق در (3)، مقدار می‌گذاریم، داریم:پس داریم:از حل این معادله دیفرانسیل، مسیر زمانی z=[SUP]K[/SUP]/[SUB]L[/SUB]برحسب r و s که برابر نرخ پس‌انداز است به‌دست می‌آید.»[15]
منابع:
[1]. آریان‌پورکاشانی، منوچهر؛ فرهنگ پیشرو آریانپور، تهران، جهان‌رایانه، 1377، چاپ اول، ص1329، 1756 و 1430.[2]. پورکاظمی، حسین؛ ریاضیات عمومی و کاربردهای آن، تهران، نی، 1380 ، ج2، ص434.[3]. همان، ص433.[4]. ادوارد. تی، داولینگ؛ ریاضیات برای اقتصاد، محسن تقوی، تهران، مؤسسه بانکداری ایران، 1373، ص564.[5]. همان، ص533.[6]. تقوی، مهدی؛ تحلیلهای پویای اقتصادی، تهران ، انتشارات دانشگاه علامه طباطبایی ،1373، ص153. [7]. ادوارد. تی، داولینگ؛ 1373، ص564.[8]. همان، ص565.[9]. ص564.[10]. تقوی، مهدی؛ ص277. [11]. پورکاظمی، حسین؛ ص502.[12]. جعفری صمیمی، احمد؛ اقتصاد ریاضی، دانشگاه مازندران، با همکاری جهاد دانشگاهی، بابلسر، 1368، ص273.[13]. منکیو، گرگوری ن؛ اقتصاد کلان، حمیدرضا برادران و علی دیگران، تهران، انتشارات علامه طباطایی، 1383، ص102.[14]. اچ. برانسون، ویلیام؛ تئوری و سیاستهای اقتصاد کلان، عباس شاکری، تهران، 1378،ص699.[15]. پورکاظمی، حسین؛ ص509.
سيستمهاي ديناميكي غيرخطي و تئوري آشوب
نگاشتــهاي تكــرار (Iterated maps):
از آنجا كه توصيف سيستمهاي ديناميكي گسسته در زمان با كمك نگاشتهاي تكرار صورت ميپذيرد، در اين نوع سيستمها رابطهاي به صورت xn+1=F(xn) مابين نقاطي كه سيستم انتخاب ميكند وجود دارد كه اين نقاط با هم تشكيل يك مدار ميدهند. بر اين اساس منظور از نگاشت، يك رابطه تابعي است از F : R → R كه R مجموعهاي است از نقاط حقيقي كه به وسيله آن مدار O(x0) از نقاطx0 (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهي از نقاط تعريف ميشود: O(x0)=(x0, F2(x0), F3(x0),…) .
معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن xn = Fn(x0) ، به صورت معادله xn+1 = F(xn) بيان ميگردد. ميتوان نگاشتها را براساس خطي بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و ...) يا غيرخطي بودن (نگاشت لجستيك، نگاشت هنون (Henon) و ...) طبقه بندي كرد.
مفاهيم اوليــه در سيستمــهاي ديناميكي غـيرخطــي:
وقتي ابعاد فضاي فاز از n =1 افزايش مييابد، در هر مرحله پديدههاي جديدي اتفاق ميافتد از جمله اين كه: نقاط ثابت در سيستمهاي يك بعدي (n =1)، دو شاخه شدن و حلقههاي محدود در سيستمهاي دو بعدي (n =2) و آشوب در سيستمهاي سه بعدي (n =3). اين مفاهيم در ادامه مورد بررسي قرار ميگيرند:
1- نقــاط ثابت (Fixed points): نقاط ثابت در بررسي رفتار نگاشتها از اهميت خاصي برخوردار است و براساس آن مي توان نحوه تحول سيستم را درك كرد. در تعريف نقطه ثابت ميتوان گفت كه: «هر نقطه از مدار يك نگاشت كه شرط زير در آن صدق كند نقطه ثابت مدار به شمار ميآيد: F(x*) = x* ». از ديد هندسي نيز به اين طريق ميتوان نقطه ثابت را توصيف كرد كه: «نقطه ثابت نقطهاي است كه از تقاطع خط y = x و منحنيy = F(x) به وجود ميآيد». به عنوان مثال، در نگاشت لجستيك براي به دست آوردن نقاط ثابت با توجه به معادله F(x*) = x* بدين صورت عمل ميشود:
x* = r x* (1 – x*)
با تعيين ريشههاي معادله ميتوان دريافت كه نقاط ثابت نگاشت لجستيك عبارتند از: x* = 0 , x* = 1 – (1/r) .
نقاط ثابت براساس پايداري آنها به چهار گروه تقسيم ميشوند:
1. اگر:|F'(x*)| < 1 باشد در اين صورت گويند نقطه x* از پايداري خطي(Stable fixed point) برخوردار است. اين نقاط را نقاط جاذب(Attractor) يا چاهك(Sink) نيز مينامند.
2. اگر:|F'(x*)| > 1 باشد در اين صورت نقطه x* ناپايدار(Unstable fixed point) است. به نقاط ثابت ناپايدار، نقاط دافع(Repeller) يا چشمه(Sources) نيز ميگويند.
3. اگر:|F'(x*)| = 1 باشد گويند نقطه x* ، نقطه ثابت حاشيهاي (Marginal) يا نيمه پايدار(Half-stable fixed point) ميباشد.
4. نقاطي كه در آنها شرط |F'(x*)| = 0 برقرار باشد، نقاط فوق پايدار(Super stable) ناميده ميشوند.
2- دوشــاخه شدگي (Bifurcation): در سيستمهاي ديناميكي، نقاط ثابت ميتوانند خلق يا نابود شوند يا پايداري آنها تغيير كند يعني تغيير ماهيت داده و از نوع جاذب به دافع ويا برعكس تبديل شوند. شروع تغييرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگي گفته ميشود. گذار به حالت دوشاخه شدگي با تغيير كميتي به نام پارامتر كنترل دوشاخه شدگي(Bifurcation control parameter) صورت ميگيرد.
براي ارائه مطالب كلي در مورد دوشاخه شدگي ميتوان گفت كه: اگر با تغيير پارامتر دوشاخه شدگي، ساختار هندسي فضاي فاز دستخوش تغيير شود در اين صورت دوشاخه شدگي رخ داده است. پارامتر كنترل مي تواند مثبت، منفي يا صفر باشد. تغيير رفتار سيستمهاي ديناميكي را مي توان در سه گروه طبقه بندي كرد:
الف - دوشاخه شدگي زيني(Saddle – Node): اين نوع دوشاخه شدگي به وسيله خلق يا نابودي نقاط ثابت معلوم ميگردد و در نگاشتهايي كه از يكي از ضابطههاي زير تبعيت ميكنند رخ ميدهد: dx/dt = r + x2 , dx/dt = r – x2 .
نمودار براي معادله اول:
ب - دوشاخه شدگي گذار بحراني(Transcritical): در اين نوع دوشاخه شدگي هرگز شاهد خلق يا نابودي نقاط ثابت نبوده بلكه با تغيير پارامتر كنترل، فقط نوع پايداري آنها تغيير ميكند. شكل كلي سيستمهاي ديناميكي كه از اين نوع دوشاخه شدگي تابعيت ميكنند، عبارت است از: dx/dt = r x – x2
ج - دوشاخه شدگي چنگالي(Pitchfork): اين نوع دوشاخه شدن در مسائل فيزيكي كه داراي تقارن هستند، معمول ميباشد (براي مثال، در بسياري از مسائل فيزيكي يك تقارن فضايي بين چپ و راست وجود دارد). اين حالت داراي معادلهاي به يكي از دو صورت زير است:
a - حالت اول:
دوشاخه شدگي چنگالي خيلي بحراني(Supercritical pitchfork) ناميده شده و با معادله dx/dt = r x – x3 نشان داده ميشود.اين معادله تحت تبديل x → -x ناوردا ميباشد. اين ناوردايي، بيان رياضي تقارن چپ و راست است كه قبلا به آن اشاره شد.
b - حالت دوم:
دوشاخه شدگي چنگالي زير بحراني(Subcritical pitchfork) بوده و با معادله dx/dt = r x + x3 مشخص ميگردد.
3- حلقــههاي محدود (Limit cycles): يك مسير بسته در فضاي فاز كه در نزديكي آن هيچ مسير بسته ديگري شكل نگرفته باشد، حلقههاي محدود گفته ميشود. مسيرهاي مجاور به حلقههاي محدود، يا به آنها ختم ميشوند كه در اين صورت به آنها جاذب يا پايدار گويند و يا از آنها دور ميگردند كه آنها را ناپايدار مينامند و در شرايط خاصي نيز به حلقههاي محدود، نيمه پايدار (Half-stable) گفته ميشود.
حلقههاي محدود پايدار بسيار مهم هستند زيرا آنها سيستمهايي را تشكيل ميدهند كه اين سيستمها حتي در غياب نيروي خارجي پريوديك نيز نوسان ميكنند، مانند: ضربان قلب، سيستم دماي بدن انسان و ....
حلقههاي محدود در سيستمهاي غيرخطي دوبعدي شكل ميگيرند و نميتوان شاهد تشكيل آنها در سيستمهاي خطي بود. حلقههاي محدود منحصر بفرد هستند و هر زمان در يك فضاي فاز شكل بگيرند، در آن سيستم، آشوب ديده نخواهد شد. البته در سيستمهاي خطي نيز مسيرهاي بسته شكل ميگيرند اما اين مسيرها منحصر بفرد نيستند.
معمولا مشخص كردن حلقههاي محدود وابسته به يك سيستم كار سادهاي نيست و زماني كه شرايط خاصي بر سيستم حاكم باشد، حلقههاي محدود تشكيل نخواهند شد. براي مثال، در سيستمهاي گرادياني كه بتوان در آنها رابطهاي مانند رابطه dx/dt = -VV تشكيل داد، نميتوان شاهد تشكيل حلقههاي محدود بود. V، تابع پتانسيل منحصر بفرد در سيستم است. هم چنين، به سيستمهايي كه بتوان تابع لياپانوف(Lyapunov) نسبت داد نيز نميتوان شاهد تشكيل حلقههاي محدود بود.
7_ نمــاي ليــاپانوف(Lyapunov exponent): نماي لياپانوف توسط « ليــاپانوف» رياضيدان روسي در سال 1892 ميلادي براي كنتــرل پايداري معادلات ديفرانسيــل غيرخطي مورد استفاده قرار گرفت. اين روش امكان مطالعه پايداري معادلات ديفرانسيل را بدون حل آنها امكانپذيــر ميسازد. با توجه به اين كه براي مطالعه يك سيستم ديناميكي غيرخطي ضروري است كه آن را توسط نگاشتــها مورد مطالعه قرار داد، به توصيف نماي لياپانوف كه مطالعه رفتار سيستمها توسط نگاشت را به صورت عددي ميسر ميسازد، پرداخته ميشود.
براي اين كه يك سيستم را بينظم بناميم بايد نشان دهيم كه سيستم وابستگي حساس به شرايط اوليه دارد يعني اين كه دو مسير كه خيلي نزديك به هم شروع ميشوند خيلي سريع به طور نمايي از هم واگرا شده و آينده متفاوتي پيدا ميكنند. گفته شد كه وابستگي حساس معادلات ديفرانسيل بينظم با نماي لياپانوف تعريف ميگردد، اكنون اين تعريف را براي نگاشتهاي يك بعدي بسط ميدهيم.
فرض ميكنيم x0 نقطهاي در لحظه t در روي يك مسير و x0 + d0 نقطهاي نزديك به آن در روي مسير ديگر ميباشد كه d0 بينهايت كوچك بوده و معرف ميزان اوليه جدايي اين دو نقطه است.
اگر ميزان جدايي اين دو نقطه بعد از n تكرار(Iteration) توسط dn نمايش شود و رابطهاي به صورت
|d0|exp(λn) |dn|= مابين اين دو نقطه برقرار كنيم. در اين صورت مي توان λ را به عنوان نماي لياپانوف معرفي كرد.
a - با مثبت شدن مقدار λ فاصله دو نقطه در فضاي فاز با نگاشتهاي مكرر، به صورت نمايي افزايش مييابد، يعني سيستم به سمت آشوبناك شدن ميل پيدا ميكند.
b - با منفي شدن مقدار λ ميتوان دريافت كه نقطه ثابت، رفتار پايداري را از خود نشان ميدهد، يعني سيستم به حالت پايدار ميرسد.
c - شرط λ = 0 نيز معرف حالت حاشيهاي است.
با استناد به رابطه بالا ونيز با لگاريتم گرفتن و انجام يك سري اعمال رياضي، نماي لياپانوف در نهايت به صورت رابطه زير به دست مي آيد:
l = (1/n) S Ln |f '(xi)|
عبارت به دست آمده زمانی که مخرج کسر به سمت صفر میل کند دارای حدی است که آن را نمای لیاپانوف می نامند.
8_فراكتــالها (fractals): گفته شد كه جوابهاي معادلات لورنتس، به مجموعه پيچيدهاي در فضاي فاز منجر ميشوند كه جذب كنندههاي عجيب نام دارند. براي اين كه بتوان چنين جوابهايي را توصيف كرد از فراكتالها كمك گرفته ميشود. فراكتالها، شكلهاي هندسي پيچيدهاي با ساختاري در مقياسهاي كوچك بوده و داراي خاصيت خودمتشابهي(Self-similarity) هستند يعني اگر قسمت كوچكي از فراكتالها را بزرگ كنيم، ساختاري درست شبيه به ساختار كل مجموعه خواهد داشت. فراكتالها به دليل ساختار زيبا، پيچيده و بي پايانشان، بسيار جالب هستند. آنها يادآور اجسام طبيعي مانند ابرها، كوهها، شبكه رگهاي خون و ... ميباشند.
چون =Y(t)-Y[SUB]e[/SUB]Ŷ یعنی ŶY(t)=Y[SUB]e[/SUB]+ بنابراین داریم: Y(t)=Y[SUB]e[/SUB]+[Y(0)-Y[SUB]e[/SUB]]e[SUP]a(g+b-1)t[/SUP]وقتی t به‌سمت بی‌نهایت میل کند، تنها وقتی که g+b<1 باشد، Y(t) به‌سمت Y[SUB]e[/SUB] حرکت می‌کند؛ به‌عبارتی مجموع میل نهایی به مصرف g و میل نهایی به سرمایه b، باید کمتر از یک باشد. کاربرد پنجم (الگوی دومار)؛ تغییر در نرخ سرمایه‌گذاری، بر تقاضای کل و ظرفیت تولیدی یک اقتصاد تأثیر می‌گذارد. مدل دومار در جستجوی یافتن مسیری زمانی است؛ که در طول آن، یک اقتصاد، در حالی‌که به بهره‌برداری کامل از ظرفیت تولیدی خود ادامه دهد، بتواند رشد نماید. دومار می‌گوید: سرمایه‌گذاری ظرفیت تولید را افزایش می‌دهد و برای اینکه از ظرفیت، بهطور کامل بهره‌برداری شود، افزایش (بالقوه) در تولید، سبب افزایش ظرفیّت تولیدی باید کاملا در افزایش تقاضای کل جذب شود.[10] تابع سرمایه‌گذاری برای رسیدن به رشد مطلوب را در صورتی‌که میل نهایی به پس‌انداز و نسبت نهایی سرمایه به محصول ثابت باشند؛ به‌دست می‌آوریم: (s(t)=ay(t s(t)=I(t)y(0)=y[SUB]0[/SUB]a>0,b>0در این الگو، s پس‌انداز، I سرمایه‌گذاری و y درآمد، متغیرهایی درون‌زا و تابعی از زمان هستند و a و b برون‌زا هستند و y[SUB]0[/SUB] شرط اولیه است.[11] با تفکیک متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:مشاهده می‌شود که سرمایه‌گذاری در هر زمان همواره بایداز نرخ ([SUP]a[/SUP]/[SUB]b[/SUB])رشدی معادل درصد برخوردار باشد.[12]کاربرد ششم: (الگوی رشد سولو)؛ «سولو نشان‌دهنده آثاری است که پس‌انداز، رشد جمعیت و پیشرفت تکنولوژی در طول زمان روند تولید دارند.»[13] مسیرهای رشد تعادل را در زمانی‌که از سرمایه و نیروی کار بهطور کامل استفاده می‌کند، بررسی می‌کند؛ که دارای فروض زیر است:«اولا؛ فرض میکنیم تابع تولید (y=f(K,L تابعی همگن خطی باشد؛ پس نسبت بازده نسبت به مقیاس ثابت است. K سرمایه و L نیروی کار است. ثانیا؛ فرض میکنیم که به‌اندازه نسبت ثابت s از مقدار تولید، پس‌انداز و سرمایه‌گذاری می‌شود و داریم:ثالثا؛ فرض می کنیم نیروی کار با نرخ ثابت r رشد می‌کند: L=L[SUB]0[/SUB]e[SUP]rt[/SUP].[14]اگر در تابع تولید مقدار بگذاریم، داریم: معادله فوق مسیر زمانی تشکیل سرمایه، [SUP]dK[/SUP]/[SUB]dt[/SUB][SUB] [/SUB]را توضیح می‌دهد؛ اگر فرض کنیم z=[SUP]K[/SUP]/[SUB]L[/SUB][SUB] [/SUB]پس داریم:از طرفین نسبت به t مشتق می گیریم:از تساوی رابطه (1) و (2) داریم:تابع f در رابطه فوق، یک تابع همگن خطی است. با توجه به اینکه تابع f(K,L) را می‌توان بدین صورت نوشت:پس از رابطه فوق در (3)، مقدار می‌گذاریم، داریم:پس داریم:از حل این معادله دیفرانسیل، مسیر زمانی z=[SUP]K[/SUP]/[SUB]L[/SUB]برحسب r و s که برابر نرخ پس‌انداز است به‌دست می‌آید.»[15]
منابع:
[1]. آریان‌پورکاشانی، منوچهر؛ فرهنگ پیشرو آریانپور، تهران، جهان‌رایانه، 1377، چاپ اول، ص1329، 1756 و 1430.[2]. پورکاظمی، حسین؛ ریاضیات عمومی و کاربردهای آن، تهران، نی، 1380 ، ج2، ص434.[3]. همان، ص433.[4]. ادوارد. تی، داولینگ؛ ریاضیات برای اقتصاد، محسن تقوی، تهران، مؤسسه بانکداری ایران، 1373، ص564.[5]. همان، ص533.[6]. تقوی، مهدی؛ تحلیلهای پویای اقتصادی، تهران ، انتشارات دانشگاه علامه طباطبایی ،1373، ص153. [7]. ادوارد. تی، داولینگ؛ 1373، ص564.[8]. همان، ص565.[9]. ص564.[10]. تقوی، مهدی؛ ص277. [11]. پورکاظمی، حسین؛ ص502.[12]. جعفری صمیمی، احمد؛ اقتصاد ریاضی، دانشگاه مازندران، با همکاری جهاد دانشگاهی، بابلسر، 1368، ص273.[13]. منکیو، گرگوری ن؛ اقتصاد کلان، حمیدرضا برادران و علی دیگران، تهران، انتشارات علامه طباطایی، 1383، ص102.[14]. اچ. برانسون، ویلیام؛ تئوری و سیاستهای اقتصاد کلان، عباس شاکری، تهران، 1378،ص699.[15]. پورکاظمی، حسین؛ ص509.
سيستمهاي ديناميكي غيرخطي و تئوري آشوب
نگاشتــهاي تكــرار (Iterated maps):
از آنجا كه توصيف سيستمهاي ديناميكي گسسته در زمان با كمك نگاشتهاي تكرار صورت ميپذيرد، در اين نوع سيستمها رابطهاي به صورت xn+1=F(xn) مابين نقاطي كه سيستم انتخاب ميكند وجود دارد كه اين نقاط با هم تشكيل يك مدار ميدهند. بر اين اساس منظور از نگاشت، يك رابطه تابعي است از F : R → R كه R مجموعهاي است از نقاط حقيقي كه به وسيله آن مدار O(x0) از نقاطx0 (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهي از نقاط تعريف ميشود: O(x0)=(x0, F2(x0), F3(x0),…) .
معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن xn = Fn(x0) ، به صورت معادله xn+1 = F(xn) بيان ميگردد. ميتوان نگاشتها را براساس خطي بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و ...) يا غيرخطي بودن (نگاشت لجستيك، نگاشت هنون (Henon) و ...) طبقه بندي كرد.
مفاهيم اوليــه در سيستمــهاي ديناميكي غـيرخطــي:
وقتي ابعاد فضاي فاز از n =1 افزايش مييابد، در هر مرحله پديدههاي جديدي اتفاق ميافتد از جمله اين كه: نقاط ثابت در سيستمهاي يك بعدي (n =1)، دو شاخه شدن و حلقههاي محدود در سيستمهاي دو بعدي (n =2) و آشوب در سيستمهاي سه بعدي (n =3). اين مفاهيم در ادامه مورد بررسي قرار ميگيرند:
1- نقــاط ثابت (Fixed points): نقاط ثابت در بررسي رفتار نگاشتها از اهميت خاصي برخوردار است و براساس آن مي توان نحوه تحول سيستم را درك كرد. در تعريف نقطه ثابت ميتوان گفت كه: «هر نقطه از مدار يك نگاشت كه شرط زير در آن صدق كند نقطه ثابت مدار به شمار ميآيد: F(x*) = x* ». از ديد هندسي نيز به اين طريق ميتوان نقطه ثابت را توصيف كرد كه: «نقطه ثابت نقطهاي است كه از تقاطع خط y = x و منحنيy = F(x) به وجود ميآيد». به عنوان مثال، در نگاشت لجستيك براي به دست آوردن نقاط ثابت با توجه به معادله F(x*) = x* بدين صورت عمل ميشود:
x* = r x* (1 – x*)
با تعيين ريشههاي معادله ميتوان دريافت كه نقاط ثابت نگاشت لجستيك عبارتند از: x* = 0 , x* = 1 – (1/r) .
نقاط ثابت براساس پايداري آنها به چهار گروه تقسيم ميشوند:
1. اگر:|F'(x*)| < 1 باشد در اين صورت گويند نقطه x* از پايداري خطي(Stable fixed point) برخوردار است. اين نقاط را نقاط جاذب(Attractor) يا چاهك(Sink) نيز مينامند.
2. اگر:|F'(x*)| > 1 باشد در اين صورت نقطه x* ناپايدار(Unstable fixed point) است. به نقاط ثابت ناپايدار، نقاط دافع(Repeller) يا چشمه(Sources) نيز ميگويند.
3. اگر:|F'(x*)| = 1 باشد گويند نقطه x* ، نقطه ثابت حاشيهاي (Marginal) يا نيمه پايدار(Half-stable fixed point) ميباشد.
4. نقاطي كه در آنها شرط |F'(x*)| = 0 برقرار باشد، نقاط فوق پايدار(Super stable) ناميده ميشوند.
2- دوشــاخه شدگي (Bifurcation): در سيستمهاي ديناميكي، نقاط ثابت ميتوانند خلق يا نابود شوند يا پايداري آنها تغيير كند يعني تغيير ماهيت داده و از نوع جاذب به دافع ويا برعكس تبديل شوند. شروع تغييرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگي گفته ميشود. گذار به حالت دوشاخه شدگي با تغيير كميتي به نام پارامتر كنترل دوشاخه شدگي(Bifurcation control parameter) صورت ميگيرد.
براي ارائه مطالب كلي در مورد دوشاخه شدگي ميتوان گفت كه: اگر با تغيير پارامتر دوشاخه شدگي، ساختار هندسي فضاي فاز دستخوش تغيير شود در اين صورت دوشاخه شدگي رخ داده است. پارامتر كنترل مي تواند مثبت، منفي يا صفر باشد. تغيير رفتار سيستمهاي ديناميكي را مي توان در سه گروه طبقه بندي كرد:
الف - دوشاخه شدگي زيني(Saddle – Node): اين نوع دوشاخه شدگي به وسيله خلق يا نابودي نقاط ثابت معلوم ميگردد و در نگاشتهايي كه از يكي از ضابطههاي زير تبعيت ميكنند رخ ميدهد: dx/dt = r + x2 , dx/dt = r – x2 .
نمودار براي معادله اول:
ب - دوشاخه شدگي گذار بحراني(Transcritical): در اين نوع دوشاخه شدگي هرگز شاهد خلق يا نابودي نقاط ثابت نبوده بلكه با تغيير پارامتر كنترل، فقط نوع پايداري آنها تغيير ميكند. شكل كلي سيستمهاي ديناميكي كه از اين نوع دوشاخه شدگي تابعيت ميكنند، عبارت است از: dx/dt = r x – x2
ج - دوشاخه شدگي چنگالي(Pitchfork): اين نوع دوشاخه شدن در مسائل فيزيكي كه داراي تقارن هستند، معمول ميباشد (براي مثال، در بسياري از مسائل فيزيكي يك تقارن فضايي بين چپ و راست وجود دارد). اين حالت داراي معادلهاي به يكي از دو صورت زير است:
a - حالت اول:
دوشاخه شدگي چنگالي خيلي بحراني(Supercritical pitchfork) ناميده شده و با معادله dx/dt = r x – x3 نشان داده ميشود.اين معادله تحت تبديل x → -x ناوردا ميباشد. اين ناوردايي، بيان رياضي تقارن چپ و راست است كه قبلا به آن اشاره شد.
b - حالت دوم:
دوشاخه شدگي چنگالي زير بحراني(Subcritical pitchfork) بوده و با معادله dx/dt = r x + x3 مشخص ميگردد.
3- حلقــههاي محدود (Limit cycles): يك مسير بسته در فضاي فاز كه در نزديكي آن هيچ مسير بسته ديگري شكل نگرفته باشد، حلقههاي محدود گفته ميشود. مسيرهاي مجاور به حلقههاي محدود، يا به آنها ختم ميشوند كه در اين صورت به آنها جاذب يا پايدار گويند و يا از آنها دور ميگردند كه آنها را ناپايدار مينامند و در شرايط خاصي نيز به حلقههاي محدود، نيمه پايدار (Half-stable) گفته ميشود.
حلقههاي محدود پايدار بسيار مهم هستند زيرا آنها سيستمهايي را تشكيل ميدهند كه اين سيستمها حتي در غياب نيروي خارجي پريوديك نيز نوسان ميكنند، مانند: ضربان قلب، سيستم دماي بدن انسان و ....
حلقههاي محدود در سيستمهاي غيرخطي دوبعدي شكل ميگيرند و نميتوان شاهد تشكيل آنها در سيستمهاي خطي بود. حلقههاي محدود منحصر بفرد هستند و هر زمان در يك فضاي فاز شكل بگيرند، در آن سيستم، آشوب ديده نخواهد شد. البته در سيستمهاي خطي نيز مسيرهاي بسته شكل ميگيرند اما اين مسيرها منحصر بفرد نيستند.
معمولا مشخص كردن حلقههاي محدود وابسته به يك سيستم كار سادهاي نيست و زماني كه شرايط خاصي بر سيستم حاكم باشد، حلقههاي محدود تشكيل نخواهند شد. براي مثال، در سيستمهاي گرادياني كه بتوان در آنها رابطهاي مانند رابطه dx/dt = -VV تشكيل داد، نميتوان شاهد تشكيل حلقههاي محدود بود. V، تابع پتانسيل منحصر بفرد در سيستم است. هم چنين، به سيستمهايي كه بتوان تابع لياپانوف(Lyapunov) نسبت داد نيز نميتوان شاهد تشكيل حلقههاي محدود بود.
4- آشــوب(chaos): «آشــوب» در لغت به معناي هرج و مرج و بينظمي است. ريشه لغوي آشوب به كلمه رومي «كائــوس» (Kaous) برميگردد كه مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام «اويــد» (Owid) ميباشد. به نظر او كائوس، بينظمي و ماده بيشكل اوليه بود كه داراي فضا و بعد نامحدودي بوده، به طوري كه فرض شده است كه قبل از اين كه جهان منظم شكل بگيرد، وجود داشته استكه سپس خالق هستي، جهان منظم را از آن ايجاد نمود
از لحاظ تاريخي پس از آن كه قوانين نيوتــن در مورد حركت ارائه شد، افــراد زيادي با تكيه بر قطعيت ذاتي اين قوانين آنهــا را ماشين حساب خدا ناميدند و براي پيشگويي آينــده بر حسب مقادير فعلي كافي دانستند؛ به طور كلي تصور بر اين بود كه اگر وضعيت فعلي را با دقت بالايي بدانيم مي توانيم آينــده را هم با همين دقت پيشگويي كنيم. اين باور هم چنان پا بر جا بود تا اين كه در اواخر قــرن نوزدهم، «هانــري پوانكاره» در بــررسي و تلاش بــراي حل مسئله سه جسمي متــوجه شد در بعضي موارد اگر دقــت در شــرايط اوليه بالا باشد، لزوما در نتــايج نهــايي عدم قطعيت ناچيز نيست و با كاهش عدم قطعيت در شــرايط اوليه لزوما عدم قطعيت كاهش نمييابد. اين مسئله نمودي از رفتــار آشــوبي بود كه در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقريبــا اوليــن تحقيقات عدديي كه به معرفي فراگير آشوب انجاميد توسط «ادوارد لورنتــس» ارائه شد.
بايد دانست كه تاكنون تعريف كلي پذيرفته شده براي آشوب ارائه نشده است و تعريف زير از جمله تعاريف پذيرفته شده مطرح ميباشد:
« آشــوب، يك رفتــار طولاني مدت غيرپريــوديك در يك سيستم دترمينيســتيك است كه وابستـگي حســاس به شــرايط اوليــه را نشان ميدهد»:
Chaos is aperiodic long-term behavior in a deterministic system dependence on initial conditions.
a – منظور از رفتار طولاني مدت غيرپريوديك در سيستمهاي ديناميكي آن است كه مسيرهايي وجود دارند كه وقتي زمان به بينهايت ميل ميكند، مسير اين سيستمها به نقاط ثابت، مدارهاي پريوديك و يا مدارهاي شبه پريوديك منتهي نميشوند.
b – دترمينيســتيك گوياي آن است كه سيستم داراي پارامترها يا وروديهاي تصادفي(random) نيست ولي رفتار بي نظم اين سيستمها از غيرخطي بودن ناشي ميشود. اين اصطلاح در مقابل stochastic به كار ميرود كه منظور از آن نامنظم، كاتورهاي، نامعين و غيرقابل پيش بيني بودن رفتار سيستم است.
c - منظور از حساس بودن به شرايط اوليه در سيستمهاي ديناميكي اين است كه مسيرهاي مجاور با سرعت و به طور نمايي از هم جدا ميشوند. در واقع اين خصوصيت، تفاوت اصلي سيستمهاي ديناميكي آشوبناك با سيستمهاي ديناميكي غيرآشوبناك است. در سيستمهاي ديناميكي غيرآشوبناك، اختلاف كوچك اوليه در دو مسير به عنوان خطاي اندازهگيري بوده و به طور خطي با زمان افزايش پيدا ميكند در حالي كه در سيستمهاي ديناميكي آشوبناك، اختلاف بين دو مسير با فاصله بسيار اندك همان طوري كه گفته شد، به طور نمايي افزايش مييابد.
محيط عمل پديده آشـوب، سيستمهاي ديناميكي است. يك سيستم ديناميكي شامل يك فضاي فــاز مجـرد يا حالت فازي است كه مختصاتش، حالت ديناميكي سيستم را با بكارگيري قوانيــن ديناميكي مشخص ميكند. يك سيستم ديناميكي مي تواند منظم يا آشوبناك باشد. البته سيستــم منظم، خود ممكن است تنــاوبي يا شبه تنــاوبي باشد. سيستم تناوبي تنها شامل يك فركانــس و هماهنگهاي آن است و سيستم شبه تنــاوبي شامل چنــد فركانس و هماهنگهاي آن ميباشد. در سيستم آشــوبي هيچ تنــاوب غالبي وجود ندارد يعني اين سيستــم داراي دوره تنــاوب بينهــايت است.
5- جــذب كننــدهها (strange attractors): يك جذب كننده مجموعهاي از تمام مسيرهايي است كه به سمت يك نقطه ثابت، حلقه محدود يا ... همگرا ميشوند. نوع ديگري از جذب كنندهها وجود دارند كه آنها را جذب كنندههاي عجيب(Strange attractors) مينامند. جذب كنندههاي عجيب به شدت نسبت به شرايط اوليه حساس هستند و به آنها «عجيب» گفته ميشود چون متشكل از مجموعهاي فراكتال هستند (فراكتال يعني مجموعهاي از نقاط با حجم صفر و سطح نامحدود).
در ادامه، براي مرور تعاريف ارائه شده نگاشت لورنتس و جذب كننده عجيب كه براي اولين بار توسط وي به دست آمد، پرداخته ميشود.
6- معــادلات لورنتــس (Lorentz equations): ادوارد لورنتس، رياضيدان و هواشناس امريكايي، نخستين شخصي است كه در مورد آشوب مقاله نوشته و كاشف جذب كننده هاي عجيب در 1963 ميلادي ميباشد.
معادلات غيرخطي زير كه به معادلات لورنتس معروفند، نحوه تغيير سرعت سيال را نشان ميدهند. زماني كه او در 1961 ميلادي با رايانهاش به شبيه سازي آب و هوا ميپرداخت، متوجه حساسيت شديد معادلات به شرايط اوليه شد. او كشف كرد كه تغييرات ناچيز در پارامترهاي اوليه آب و هوا منجر به الگوهاي متفاوتي ميشوند:
x = s (y - x)
y = r x – y – x z
z = x y – b z
در اين معادلات، x(t) بيانگر سرعت سيال (هوا)، y(t) و z(t) نيز بيانگر ابعاد فضايي سيال هستند. σ را «عــدد پرنتــل (Prandtle number)» نامند كه نشان دهنده نسبت چگالي به هدايت گرمايي است. r ، «عــدد ريلــي (Rayleigh number)» نام دارد كه اختلاف دمايي بين سطح بالايي و پاييني قسمت مورد نظر را نشان ميدهد. b نيز نام بخصوصي نداشته و بيانگر نسبت درازا به پهنا ميباشد.
(σ , r , b > 0)
نگاشتهاي معرفي شده توسط لورنتس، نگاشتهاي غيرخطي هستند كه توسط دو جمله xy و yz غيرخطي شدهاند. اين نگاشتها نسبت به تبديل زير داراي تقارن هستند:
(x(t) , y(t) , z(t)) → (-x(t) , -y(t) , -z(t))
اكنون ميتوان گفت كه نگاشت لورنتــس، مدل ســاده شدهاي از نحوه حركت سيــال در سه بعــد است. با رسم نگاشتها در فضاي فــاز به ازاي مقاديــر مختلف σ، r و b، لورنتــس متوجه شــد كه جوابها به طور نامنظم نوســان ميكنند و هرگز تكــرار نميشوند اما همــواره در يك ناحيه محدود از فضاي فــاز باقي ميمانند. مسيــرهاي رسم شده در اين فضــا، دو مجموعه درهم بافته را به خود اختصاص ميدهند كه به آنها جــذب كنندههاي عجيب گويند. بايد دانست كه جذب كنندههاي عجيب با نقاط ثابت يا حلقه هاي محدود يكسان نيستند. در واقع جذب كننده عجيب، يك نقطه يا يك مسير در فضاي فــاز نيست و نمي تــوان به آن عنــوان يك سطح را داد، بلكه بايد آن را فراكتــال ناميد كه داراي بعد كسري بين 2 و 3 است. در پيش بيني رفتــار سيستــم در دراز مدت او نشــان داد كه به ازاي محــدوده وسيعي از پارامتــرهاي نگاشــت نميتوان شاهد نقــاط ثابت پايدار يا حلقههاي محدود بود. لورنتس براي مطالعه سيستم خــود در طولاني مدت، از انتگرالهاي عــددي استفاده كرد. او حالت خاصي را با مقادير زير برگزيــد:
s = 10 , b = 8/3 , r = 28 .
با انتخاب نقطهاي نزديك به مبدا: (0,1,0) به عنوان شرط اوليــه مطالعه خود را آغاز نموده و متوجه شد كه جوابهــا مخصوصا در t → ∞ داراي نوســانهاي غيريكســان است كه تكــرار نميشوند و به آنها غيرپريوديك ميگويند. او كشف كرد كه اگر جوابهــا به صورت يك مسيــر در فضاي فاز تصور شوند ساختــار عجيبي تشكيل ميدهنــد و با رسم نمــودار x(t) و z(t) در يك صفحه، ميتوان شاهد بود كه يك شكل پروانهاي به دست ميآيد (شكل اولي). اين شكل نه سطح و نه نقطه است و بُعد آن نيز كسري ميباشد. ديده ميشود كه مسيرها به طور مكرر همديگر را قطع ميكنند، اما فقط در دو بعد بدين گونه است و در سه بُعد، مسيرها به هيچ وجه همديگر را قطع نمينمايند.
(شكل دومي)
7_ نمــاي ليــاپانوف(Lyapunov exponent): نماي لياپانوف توسط « ليــاپانوف» رياضيدان روسي در سال 1892 ميلادي براي كنتــرل پايداري معادلات ديفرانسيــل غيرخطي مورد استفاده قرار گرفت. اين روش امكان مطالعه پايداري معادلات ديفرانسيل را بدون حل آنها امكانپذيــر ميسازد. با توجه به اين كه براي مطالعه يك سيستم ديناميكي غيرخطي ضروري است كه آن را توسط نگاشتــها مورد مطالعه قرار داد، به توصيف نماي لياپانوف كه مطالعه رفتار سيستمها توسط نگاشت را به صورت عددي ميسر ميسازد، پرداخته ميشود.
براي اين كه يك سيستم را بينظم بناميم بايد نشان دهيم كه سيستم وابستگي حساس به شرايط اوليه دارد يعني اين كه دو مسير كه خيلي نزديك به هم شروع ميشوند خيلي سريع به طور نمايي از هم واگرا شده و آينده متفاوتي پيدا ميكنند. گفته شد كه وابستگي حساس معادلات ديفرانسيل بينظم با نماي لياپانوف تعريف ميگردد، اكنون اين تعريف را براي نگاشتهاي يك بعدي بسط ميدهيم.
فرض ميكنيم x0 نقطهاي در لحظه t در روي يك مسير و x0 + d0 نقطهاي نزديك به آن در روي مسير ديگر ميباشد كه d0 بينهايت كوچك بوده و معرف ميزان اوليه جدايي اين دو نقطه است.
اگر ميزان جدايي اين دو نقطه بعد از n تكرار(Iteration) توسط dn نمايش شود و رابطهاي به صورت
|d0|exp(λn) |dn|= مابين اين دو نقطه برقرار كنيم. در اين صورت مي توان λ را به عنوان نماي لياپانوف معرفي كرد.
a - با مثبت شدن مقدار λ فاصله دو نقطه در فضاي فاز با نگاشتهاي مكرر، به صورت نمايي افزايش مييابد، يعني سيستم به سمت آشوبناك شدن ميل پيدا ميكند.
b - با منفي شدن مقدار λ ميتوان دريافت كه نقطه ثابت، رفتار پايداري را از خود نشان ميدهد، يعني سيستم به حالت پايدار ميرسد.
c - شرط λ = 0 نيز معرف حالت حاشيهاي است.
با استناد به رابطه بالا ونيز با لگاريتم گرفتن و انجام يك سري اعمال رياضي، نماي لياپانوف در نهايت به صورت رابطه زير به دست مي آيد:
l = (1/n) S Ln |f '(xi)|
عبارت به دست آمده زمانی که مخرج کسر به سمت صفر میل کند دارای حدی است که آن را نمای لیاپانوف می نامند.
8_فراكتــالها (fractals): گفته شد كه جوابهاي معادلات لورنتس، به مجموعه پيچيدهاي در فضاي فاز منجر ميشوند كه جذب كنندههاي عجيب نام دارند. براي اين كه بتوان چنين جوابهايي را توصيف كرد از فراكتالها كمك گرفته ميشود. فراكتالها، شكلهاي هندسي پيچيدهاي با ساختاري در مقياسهاي كوچك بوده و داراي خاصيت خودمتشابهي(Self-similarity) هستند يعني اگر قسمت كوچكي از فراكتالها را بزرگ كنيم، ساختاري درست شبيه به ساختار كل مجموعه خواهد داشت. فراكتالها به دليل ساختار زيبا، پيچيده و بي پايانشان، بسيار جالب هستند. آنها يادآور اجسام طبيعي مانند ابرها، كوهها، شبكه رگهاي خون و ... ميباشند.
