نظريه گروه ها :

P O U R I A

مدیر مهندسی شیمی مدیر تالار گفتگوی آزاد
مدیر تالار
نظريه گروه ها :

گروه(Group) از جمله مهم‌ترین ساختارهای جبری است که نقش اساسی در جبر مجرد دارد و در علوم مختلف مانند بلور شناسی، فیزیک، کوانتم و... از اهمیت بالایی برخوردار است.فکر تشکیل نظریه گروهها زمانی شکل گرفت که ریاضیدانان مشاهده کردند ساختارهایی را که مطالعه می کنند در خواصی مشترک هستند و اگر بتوانند همه این خواص را در مورد یک ساختار مشخص بررسی کنند در حقیقت بخش وسیعی از ساختارهای مشابه را مطالعه کردند و به این ترتیب در زمان صرفه جویی می شود.شاخه ای ازریاضیات را که به مطالعه گروهها اختصاص دارد را نظریه گروه(Group Theory) می گوییم.


تاریخچه :


نظریه گروهها به‌وسیله چهارشاخه عمده از ریاضیات جبر کلاسیک، نظریه اعداد، هندسه و آنالیز رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال 1770 با کارهای ژوزف لویی لاگرانژ برروی معادلات چند جمله ای پابه گذاری شد.نظریه اعداد به‌وسیله کارل فردریش گاوس در سال 1801 مورد مطالعه و گسترش هرچه بیشتر قرار گرفت و سی.اف.کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروهها کارهای بسیار انجام داده است به طوری که او را پدر این بخش از نظریه گروهها می دانند و بنیانگذار شاخه آنالیز نیزهنری پوانکاره،اس.لی لای و سی.اف کلاین هستند.
به هر حال اویلر(Euler)، گاوس(Gauss)،لاگرانژ(Lagrange)، آبل(Abel) و ریاضیدان فرانسوی گالوا(Galois) اولین کسانی بودند که در زمینه نظریه گروهها به تحقیق پرداخته بودند. خصوصاً گالوا بدلیل قضیه اساسی خود که رابطی بین گروهها و حلقه ها است و امروزه آن را قضیه گالوا می خوانند بسیار مورد توجه است.اولین کاربرد گروهها در توصیف تأثیر جایگشتهای ریشه های یک معادله چند جمله ای بوده است که به‌وسیله لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفته است که بر مبنای همین او توانست نظریه جانشانی را سازمان دهد.او کشف کرد که ریشه های همه مواردی را که او امتحان کرده است توابعی گویا از ریشه های معادلات متناظرشان هستند. پس از او رافینی در تلاش برای اثبات عدم وجود راه حل مستقیم برای حل معادلات درجه پنجم و بالاتر گامهای دیگری را در زمینه نظریه گروهها برداشت.
بعد از او گالوا نخستین اثر خود را در مورد نظریه گروهها در سن 18 سالگی(1829)منتشر ساخت. اما کمک های او تا قبل از انتشار مجموعه مقالاتش در سال 1846 مورد توجه قرار نگرفت.بعد از او آرتور کیلی و آگوستین لویی کوشی به اهمیت کارهای گالوا پی بردند و به تحقیقات بیشتر در این زمینه پرداختند. از جمله ریاضیدانانی که در قرن نوزدهم در زمینه نظریه گروهها کار می کردند می توان برتراند،چارلز هرمیت، فروبنیوس و لئوپارد کرونکر و امیل ماتیو را نام برد.
تا آن زمان اصول موضوع معینی برای تعریف گروه وجود نداشت. در سال 1854 کیلی اولین اصول موضوع را برای گروهها ارائه داد اما تعریف وی به زودی فاقد ارزش شد. در سال 1870، کرونکر مجدداً اصول موضوعی را برای گروهها پایه گذاشت. همچنیناچ.وبر در سال 1882، تعریفی برای گروهای متناهی و در سال 1883 تعریفی برای گروههای نامتناهی انجام داد.والتر فون دایک در سال 1882 اولین تعریف مدرن از گروه را ارائه داد. مطالعه گروههای لای و زیرگروههای گسسته شان و گروههای تبدیلی در سال 1884 به طور منظم توسط سوفوس لای شورع شد.امروزه نظریه گروهها به بنیادی ترین نظریه ها در جبر مجرد تبدیل شده است و منبع تحقیقات فراوانی برای ریاضیدانان است.
 

P O U R I A

مدیر مهندسی شیمی مدیر تالار گفتگوی آزاد
مدیر تالار
[h=2] تعریف گروه :[/h]ابتدا یادآوری می کنیم که یک ساختمان جبری عبارت است از یک مجموعه به همراه یک یا چند عمل دوتایی و رابطه که روی آن مجموعه تعریف شده است. گروه نیز از جمله ساختمان های جبری است. ساختمان جبری (G, * ) (مجموعه G به همراه عمل دوتایی *) یک گروه است هرگاه واجد شرایط زیر باشد:
عمل * در G شرکت پذیر باشد. یعنی برای هر a,b,c∈G داشته باشیم a*(b*c)=(a*b)*c.
G نسبت به عمل * دارای عضو خنثی باشد، یعنی عضوی چون e∈G موجود باشد که برای هر a∈G، داشته باشیم a*e=e*a=a.
هر عضو G نسبت به عمل * دارای عضو معکوس باشد، یعنی برای هر a∈G عضوی چون b∈G موجود باشد که a*b=b*a=e.
منشائ این اصول بر حسب تجربه و متأثر از تاریخ مطالعه گروهها است.
در تعریف یک گروه لازم نیست که عمل تعریف شده در گروه G، جابجایی(تعویض پذیر) باشد اما برخی از گروهها دارای این خاصیت هستند. این گروهها از اهمیت ویژه ای برخودارند و به افتخار نیلز هنریک آبل گروه های آبلی نامیده می شوند. همچنین گروه G دارای تعداد متناهی عضو باشد، G را گروه متناهی می گوییم. به تعداد عناصر یک گروه مرتبه گروه می گوییم. قرار داد: همانطور که در مورد هر ساختمان جبری عمل می شود برای سهولت در نوشتن، بجای a*b می نویسیم ab.
[h=3] مرتبه گروه :[/h]به تعداد عناصر هر گروه مرتبه آن گروه می گوییم. اگر تعداد عناصر یک گروه متناهی باشد، می گوییم ان گروه از مرتبه متناهی یا متناهی است و در غیر این صورت گروه را نامتناهی می نامیم. مرتبه گروه G را با |G| نشان می دهیم.
قضیه لاگرانژ در مورد گروههای متناهی بیان می کند، مرتبه هر زیرگروه از یک گروه، مرتبه آن گروه را عاد می کند. یعنی اگر H زیرگروهی از گروه متناهی G باشد آنگاه:
| H | | | G |
(البته ممکن است عددی مرتبه گروه را عادکندولی آن گروه شامل زیرگروهی باآن مرتبه نباشد که نشان می دهد عکس قضیه فوق همیشه برقرارنیست)
 
Similar threads
Thread starter عنوان تالار پاسخ ها تاریخ
S i s i l گروه در جبر آموزش ریاضیات 0

Similar threads

بالا