هدف اصلی در فیزیک ماده چگال، بررسی حالات ماده و معرفی فازهای جدید ماده است. در جهان کلاسیک، ماده در سه فاز اصلی جامد، مایع و گاز معرفی می شد. بعدها با ظهور فیزیک کوانتمی، دسته بندی جدید از حالات ماده بر مبنای روش لانداؤ(Landau’s Approach)،که حالات را بر اساس شکست خودبخودی تقارن معرفی می کند ارائه شد. از جمله این مواد می توان به رساناها ، نارساناها، مگنت ها، ابررساناها، و ... اشاره کرد. در مقابل این دسته بندی، در چند سال اخیر، فاز جدیدی از ماده بر مبنای آنچه" نظم توپولوژیک"(Topological Order)نامیده می شود معرفی می گردد. این فاز جدید از ماده "نارسانای توپولوژیک" (Topological Insulators)نامیده می شود.
بر اساس تقسیم بندی فازهای ماده بر مبنای روش لانداؤ، فاز نارسانا، حالتی از ماده را نشان می دهد که جریان الکتریکی را از خود عبور نمی دهد. این فاز از ماده را می توان بر اساس نظریه نواری جامدات، معرفی شده توسط بلاخ (Bloch)در قرن بیستم، که از تقارن انتقالی گسسته بلور برای تقسیم بندی حالات الکترونی استفاده می کند، توضیح داد. بر اساس این نظریه، حالات الکترونی بر مبنای تکانه عبوری k ، تعریف شده در یک ناحیه بریلوئن(Brillouin Zone)متناوب دسته بندی می شوند. ویژه مقادیر
که از معادله ی شرودینگر(Schrodinger Equation)
بدست می آیند، نوارهای انرژی را می دهند که با استفاده از آنها ساختار نواری رسم می شود. طبق این تعریف، نارسانا حالتی از ماده است که در ساختار نواری آن یک شکاف انرژی بین بالاترین نوار اشغال شده و پائین ترین نوار خالی مشاهده می شود؛ اندازه این شکاف با میزان نارسانایی ماده متناسب است. با این همه، می توان تمامی این حالات از ماده را معادل یک حالت مرجع –"خلاء"- در نظر گرفت. اکنون سوالی که مطرح می شود آن است که آیا تمامی حالات الکترونی با یک گاف انرژی معادل "خلاء"هستند؟ پاسخ این سوال منفی است. در پاسخ به این سوال این فاز جدید از ماده، "نارسانای توپولوژیک"، معرفی می شود.
در یک گاز الکترونی در محیط خنثی، به علت حضور الکترونهای آزاد در یک گاز الکترونی، ساختار نواری بدون گاف خواهیم داشت. با قرار دادن این گاز الکترونی در میدان مغناطیسی، یک شکاف انرژی بین ترازهای پر و خالی ایجاد می شود. و با افزایش میدان مغناطیسی، میزان این شکاف افزایش می یابد.
اثر کوانتمی هال وقتی اتفاق میافتد که گاز الکترونی دو بعدی را در میدان مغناطیسی قوی قرار دهیم. در این حالت، الکترونهای آزاد مدارهای دایره ای را با فرکانس سیکلوترونی
طی می کند و ترازهای لانداؤ با انرژی
را نتیجه می دهند. همانطور که از رابطه انرژی پیداست، گاف انرژی در این مجموعه نواری برابر
خواهد بود.
در این حالت، اگر یک میدان الکتریکی بهکار برده شود، در مرزها جریانی خواهیم داشت که رسانش هال با مقدار زیر مشخص می شود:
که در آن e بار الکترون،h ثابت پلانک و N همان ناوردای توپولوژیک می باشد.
در واقع، در صورت اعمال میدان الکتریکی، مدارهای حرکت سیکلوترونی میشوند و الکترونها روی مرز نمونه جریان پیدا خواهند کرد.
ساختارهای نواری شکافدار میتوانند از لحاظ توپولوژیکی با بررسی دسته های معاد
که میتوانند بدون بستهشدن گاف انرژی بطور پیوسته به یکدیگر تبدیل شوند، دسته بندی شوند. طبق این دسته بندی عددChern یک ناوردای توپولوژیک است که برای نارسانای معمولی 0 ، و برای QHS ، 1 بدست می آید.به طور مشابه، در سه بعد،(genus)g، برابر با تعداد حفره های حجم مورد بررسی، نوع ماده را مشخص می کند.
آنچه تا به اینجا مورد بررسی قرار گرفت، اثر کوانتمی هال بود که با بهکاربردن میدان مغناطیسی به گاز الکترونی مشاهده می شد. همانطور که میدانیم، اعمال میدان مغناطیسی، تقارن بازگشتی زمان را می شکند. اکنون مسئله این است که
آیا می توان QHS را بدون اعمال میدان مغناطیسی داشت ؟!
Haldaneدر سال 1988 به این سوال پاسخ داد. او با وارد کردن یک میدان مغناطیسی متناوب، بطوریکه B=0، نتیجه مشابهی بدست آورد. با حل معادلات هامیلتونی دیراک با روش Haldane، به درستی می توان بسته شدن شکاف انرژی در مرز یک نارسانا و QHS را مشاهده کرد.
در آخر، برای معرفی این حالت از ماده، نیازمند حفظ تقارن بازگشتی زمان هستیم این کار با دو نسخه از مدل Haldane برای اسپینهای بالا و پائین، حالتی را نتیجه می دهد که در آن تقارن بازگشتی زمان حفظ می شود و در نتیجه آن یک فاز جدید از ماده معرفی خواهد شد.
آنچه در اینجا اهمیت پیدا می کند، آن است که بر اساس نظریه کرامرز (Kramer’s Theorem)تمام ویژه حالتهای یک هامیلتونی ناوردای T دارای تبهگنی لااقل دوگانه هستند. مطابق شکل زیر دو راه برای برقراری این نظریه وجود دارد:
در حالت اول، تعداد دفعات قطع نوار انرژی فرمی توسط مسیری که یک نقطه مرزی را به نقطه دیگر می برد، زوج است.در صورتیکه در حالت دوم، این مسیر، به تعداد دفعات فرد این نوار را قطع می کند.حالت اول معادل یک نارسانای معمولی است و حالت دوم یک نارسانای توپولوژیک را نشان می دهد که نسبت به بی نظمی و اختلالهای اعمالی در اصطلاح به شدت robust(سخت) است.
مثالها از انواع نارسانای توپولوژیک در دو بعد می توان از ساختار چاه کوانتمی HgTe/CdTe نام برد. در سه بعد می توان به ترتیب از
به عنوان اولین نارسانای توپولوژیک شناخته شده،
،
به عنوان نسل دوم از این مواد، و برخی هویسلرها (Heuslers) و نیمهویسلرها(Half-Heuslers) نام برد.
کاربرد پیشبینی میشوداین حالت ازماده خواص ویژهای داشته باشدکه در بازهی گستردهای ازمسائل،از "Spintronics" تاپردازش اطلاعات در "Quantum Computing" کاربرد داشته باشند. علاوه براین،نارساناهای توپولوژیک میتوانند باعث خلق و مشاهدهی یک یاز ذرات طبیعت شوند که از دیرباز مورد جستجو بودهاست. اکنون بر این باوریم که چندین سیستم ماده چگال میتوانند برانگیختگی فرمیون Majorana ظهورکرده راپشتیبانی کنند، و مشاهدات احتمالی فرمیون Majorana درسال2009 توسط Willett بواسطهی عبورتداخلی در
حالت کوانتمی هال نیمه صحیح مشاهده شد. درواقع فرمیونهای Majoranaبه روشهای مختلفی میتوانند با استفاده از نارساناهای توپولوژیک خلق شوند.
