مقالات و مطالب خواندنی دنیای ریاضیات

olel_albab

مدیر تالار ریاضی
مدیر تالار
کاربر ممتاز
قواعد دکاتی
در 1637 فیلسوف فرانسوی، رنه دکارت (1596-1650)، کتابی منتشر کرد با عنوانی طولانی که عموماً به گفتار در روش (2) مختصر می شود و ترجمه ی کامل آن گفتار در روش درست راه بردن عقل و طلب حقیقت در علوم (3) است. این کتاب سه ضمیمه داشت: لادیوپتریک (4)(«نورشناخت»)، له متئورس (5)(«هواشناسی»)، و لاژئومتری (6)(هندسه) ترجمه ی عنوان سومین بخش از سومین ضمیمه چنین است: «در باب ترسیم مسئله های صلب و ابرصلب (7)» این بخش، ایده های اساسی متعددی برای حل کردن معادله هایی که در رابطه با مسائل هندسی پیش می آیند (عمدتاً در مطالعه ی مقاطع مخروطی به روش های جبری) سرو کار دارد.
او پس از طرح چند مسئله درباره ی واسطه ی هندسی، با ضرب کردن عامل های
و
در یکدیگر اقدام به ساختن یک معادله ی چند جمله ای از درجه ی چهارم می کند و معادله ی

را به دست می آورد. وی متذکر می شود که چند جمله ای بر هیچ عامل دو جمله ای دیگر قابل قسمت نیست و نیز این که معادله «تنها چهار جواب 4،3،2 و 5» دارد. این حقیقت که ریشه ی چهار 5- است و نه 5 با صحبت از 5 به عنوان ریشه ی «غلط»-در قیاس با اعداد مثبت که ریشه های «درست» نامیده شده اند-مورد توجه قرار گرفته است (دکارت از علامت منها برای نشان دادن اعداد منفی استفاده نمی کرد). پس از این، بیان قاعده ی مشهور علامت ها می آید:
می توانیم تعداد ریشه های درست و غلط را نیز که هر معادله می تواند دارا باشد، به صورت زیر تعیین کنیم: یک معادله می تواند همان قدر ریشه ی درست داشته باشد که تغییر علامت از + به - یا از - به + می دهد؛ و به همان تعداد ریشه ی غلط داشته باشد که دو علامت +یا دوعلامت - پشت سر هم ظاهر می شوند.
دکارت پس از این تذکر کلی، به سه تغییر علامت و یک توالی (دوام) علامت ها در مثال خود اشاره می کند و نتیجه می گیرد که «می دانیم که سه ریشه ی درست و یک ریشه ی غلط در دست است».
چنان که در مورد اعلام رسمی نتایج ریاضی معمول است، این نخستین بیان رابطه ی بین تغییر علامت های جمله های متوالی چند جمله ای و ماهیت ریشه ها کامل نبود. تلاش های ارائه شده برای برهان نیز به جز مثال تشریحی که همراه آن بود، کامل نبودند.
در نوشته ها اختلاف عقیده ای درباره ی این که آیا قاعده ی علامت ها را به طور کلی پیش از انتشار هندسه ی دکارت می دانسته اند یا خیر، اختلاف نظر وجود دارد. اسمیت و لاتم(8) در پانوشتی بر ترجمه ی کتاب دکارت اظهار می کنند که [توماس] هاریوت آن را در فنون تحلیلی حل معادلات جبری (9) خود که در 1631 در لندن منتشر شد داده است. با این حال، موریتس کانتور (10) این امکان را نفی می کند زیرا هاریوت ریشه های منفی را قبول نداشت. جیرولاموکاردانو (1501-1576) رابطه ای را بین یک یا دو تغییر علامت و وقوع ریشه های مثبت بیان کرده بود.
فرایند پالودن قاعده ی علامت ها طی قرون ادامه یافت. در این فرایند به ویژه دو نکته روشن شد: 1) این حقیقت که به دلیل امکان وجود ریشه های موهومی، تغییرات را در علامت تنها کران های بالایی برای تعداد ریشه های مثبت را معین می کنند و 2) این حقیقت که تداوم علامت ها، کران هایی برای تعداد ریشه های منفی را تنها برای چند جمله ای های کامل معین می کنند؛ یعنی چند جمله ای هایی که هیچ جمله ی آن ها برابر صفر نیست.
آیزاک نیوتن در اثر خود، حساب عمومی (11)(که در 1707 منتشر شداما حدود سی سال پیش تر نوشته شده بود)، بیان صحیحی از قاعده ی علامت ها داد و بدون برهان، رویه ای را برای تعیین تعداد ریشه های موهومی ارائه کرد. حدوداً در همان ایام گوتفرید ویلهلم فون لایپ نیتس به طرحی در یک برهان اشاره کرد، گرچه به تفصیل آن را ارائه نکرد. در 1675 ژان پرستت (12) برهانی ناقص را به چاپ رساند. یوهان اندریاس سگنر(13) برهانی را در 1725 یا 1728 و در 1756 برهانی کامل تر را منتشر کرد. در سال 1741، ژان پل دوگوا دو مالوِس (14) اثباتی را ارائه و استدلالی را مطرح کرد که پایه ی برهان های امروزی است (این نوع استدلال را سگنر در 1756 روشن تر به کار گرفته بود). چندین برهان دیگر در دوره ی از 1745 تا 1828 داده شدند. در سال 1828 کارل فریدریش گاوس این را هم به بیان این قاعده افزود که تعداد ریشه های مثبت به تعداد تغییرات نمی رسد، این اختلاف عدد صحیح زوجی است.
بیان کامل قاعده ی علامت های دکارت چنین است:
فرض کنید
که در آن
اعداد حقیقی اند،
. در این صورت تعداد ریشه های مثبت معادله ی
‍‍[ریشه ای با دفعات تکرار m، m بار به حساب می آید] یا برابر با تعداد تغییرات در علامت ها است یا به اندازه ی عدد زوج مثبتی کمتر از آن است.
موضوع ریشه های منفی
به سادگی با در نظر گرفتن ریشه های مثبت معادله ی
رفع و رجوع می شود. بنابراین، از موضوع تداوم و علامت ها احتراز می گردد. فکر اصلی این برهان از کار گوا دو مالوس و سگنر نشئت می گیرد. این برهان مشتمل است بر نشان دادن این که

که در آن
ضرایب حقیقی دارد و r مثبت است. در این صورت
حداقل یک تغییر در علامت بیش از
دارد و برای حالت کلی، تعداد فردی بیش از آن.
پی نوشت ها :
1. Donald w.western
2. Discours de la methode
3. Descourse on the Method of Rightly conducting one’s Reason and seeking Truth in the sciences
4. Le dioptrique
5. Les meteores
6. La geometrie
7. on the construction of solid and supersolid problems
8. Latham
9. Artis analyticae praxis
10. Moritz cantor
11. Arithmetica universalis
12. Jean prestet
13. Johann Andreas segner
14. Jean paul de Gua de Malves
منبع مقاله :
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385
 

olel_albab

مدیر تالار ریاضی
مدیر تالار
کاربر ممتاز
قضیه اساسی جبر در 17 سالگی!!!
کارل فریدریش گاوس، در بیست سالگی (1797)، نخستین برهان قابل قبول از قضیه ای را ارائه کرد که آن را اصلی نامید و موضوع رساله ی دکترایش در دانشگاه هملشْتات (1) بود؛ عنوان رساله ی او چنین بود: برهانی جدید که هر تابع صحیح گویا (2) از یک متغیر را می توان به عامل هایی حقیقی از درجه ی یک یا دو تجزیه کرد. (بیان های معادل عبارتند از «هر معادله ی جبری از درجه ی n دارای n ریشه است»، و «هر معادله ی جبری درجه ی n دارای ریشه ای به شکل a+bi است که در آن a و b حقیقی اند»). در واقع گاوس چهار برهان برای قضیه ارائه داد، که آخرین آن مربوط به زمانی بود که هفتاد سال داشت؛ در سه برهان نخستین، وی فرض می کند که ضرایب معادله ی چند جمله ای حقیقی اند، اما در چهارمی ضرایب اعداد مختلط دلخواه اند.

عبارت «برهان جدید» در عنوان رساله ی گاوس نشان می دهد که ایده های مطرح شده در بیان قضیه را قبلاً ریاضیدانان دیگر مورد بررسی قرار داده بودند. هندیان (حداکثر 1100 سال پیش) تشخیص دادند که معادله های درجه دوم (با ریشه های حقیقی) دو ریشه دارند. جیرولامو کاردانو در 1545، گرچه به طرزی تا حدی مبهم زیرا اعداد منفی و موهومی در این زمان به روشنی تعریف نشده بودند، تشخیص داد که معادله های درجه سوم باید سه ریشه داشته باشد، و سه ریشه برای برخی معادله های درجه سوم را پیدا کرد. جیرولامو کاردانو و دیگر جبردانان ایتالیایی این دوره، ایده های مشابهی نسبت به معادله های درجه چهارم در سر می پروراندند.
فرانسوا ویت (ح 1600) امکان تجزیه به عامل های عضو سمت چپ معادله ی چند جمله ای f(x)=0 (با ضرایب حقیقی) را به معادله های خطی در نظر گرفت، اما سرنوشت او به دلیل اجتناب آشکار او از اعداد منفی و موهومی، موفقیتی جزئی بود.
به نظر می رسد که پیتر راث (3) نخستین نویسنده ای است که قاطعانه گفته است که معادله ی چند جمله ای از درجه ی n دارای n ریشه است. این امر مربوط به سال 1808 است. آلبر ژیرار در 1629 بیان کرد که هر معادله ی جبری به اندازه ی درجه ی بالاترین توانش ریشه دارد.
ملاحظات رنه دکارت درباره ی این مطلب اهمیتی خاص دارند، به این دلیل که به «قاعده ی علامت ها»ی مشهور او مرتبطند. از هندسه ی او (1637) نقل می کنیم:
هر معادله می تواند به تعداد بعدهای [یعنی، درجه ی] کمیت مجهول در معادله، ریشه ی متمایز (مقادیر کمیت نامعلوم) داشته باشند....
با این حال، اغلب اتفاق می افتد که برخی از ریشه ها نادرست یا کمتر از هیچند....
همچنین می توانیم تعداد ریشه های درست [=مثبت]و نادرست [=منفی] را که هر معادله می تواند دارا باشد، به صورت زیر تعیین کنیم: یک معادله می تواند به تعداد تغییر علامت هایی که دارد، ریشه ی درست داشته باشد... و به تعداد دفعاتی که دو علامت + یا دو منفی پشت سر هم دیده می شوند، ریشه ی نادرست داشته باشد.
نخستین تلاش برای ارائه ی برهان، ظاهراً از طرف ژان لورون دالامبر (4) در 1746 به عمل آمده است و به این دلیل قضیه ی مزبور، مخصوصاً در فرانسه، گاهی قضیه ی دالامبر نامیده می شود. لئونهارت اویلر (1749) و ژوزف لوئی لاگرانژ نیز سعی کرده اند قضیه را ثابت کنند.
تا زمان نوشته شدن رساله ی دکترای گاوس، که در سال 1799 منتشر شد، برهانی صحیح ارائه نشد. این رساله فرض هایی «از لحاظ هندسی بدیهی» را در برداشت که با استانداردهای دقت دوره های بعد، مستلزم برهان بودند و اوستروسکی (5) در 1920 این برهان را ارائه داد.
پی نوشت ها :
1. Helmstadt
2. منظور از تابع صحیح گویا، تابعی است که تنها شامل جملات گویا و صحیح بر حسب یک (یاچند) متغیر است-م.
3. peter Roth
4. Jean Le Rond d'Alembert
5. A.Ostrowski
منبع مقاله :
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385
 

olel_albab

مدیر تالار ریاضی
مدیر تالار
کاربر ممتاز
استقرای ریاضی
0030271.JPG
از آزمایش ریاضی

و غیره
به فرمول

رهنمون می شویم و سپس این حدس به صورت استنتاجی با استفاده از اصل استقرای ریاضی ثابت می شود.
وان درواردن خاطرنشان می کند که «در اصل»، استقرای ریاضی بر فیثاغورسیان دانسته بوده اما فرانچسکو مورولیکو (1) نخستین کسی است که نسبتاً به صراحت (در کتاب حساب خود، 1575) از آن استفاده کرده است. باز پاسکال (ح 1635) نفر بعدی بود که از این ایده به کرّات در کار خود درباره ی به اصطلاح مثلث پاسکال، که او آن را «مثلث حسابی» نامید استفاده کرده است.
برهان های استقرایی مورولیکو به سبکی نسبتاً درهم و برهم ارائه شدند که به آسانی قابل فهم نیستند. سبک پاسکال بیشتر در راستای سبک امروزی است و ما ترجمه ای از برهان استقرایی او را با نمادهای امروزی برای اثبات تساوی زیر می دهیم:

که در آن

و «r» هر «خانه»ای از 0ام تا (n-1)ام در شکل 1 است./> شکل 1
پیامد XII: در هر مثلث حسابی، دو خانه مجاور در امتداد یک خط [این خاصیت را دارند که] نسبت خانه ی پایینی به بالایی مانند تعداد خانه ها در زیر (و شامل) خانه ی پایینی به تعداد خانه ها در بالا (و شامل) خانه ی بالایی است.
فرض فرض کنید که E و C هر دو خانه ی مجاور در امتداد یک خط باشند، می گویم که

گرچه این حکم، بی نهایت حالت دارد، من دلیل کوتاهی بر مبنای دو لم زیر می دهم:
نخستینِ آن که آشکار است، این که این تناسب در سطر دوم ‍[مثلث] درست است، زیرا به آسانی دیده می شود که نسبت ɸ به σ مانند 1 به 1 است [فرض کنید/>
n=1؛ در این صورت

دومی این که اگر این حکم در هر سطر درست باشد، لزوماً در سطر بعدی نیز درست خواهد بود. ‍[فرض کنید n=k. در این صورت />
مستلزم آن است که

و بنابراین قضیه برای
‌n=k+1 درست است هرگاه برای n=k درست باشد.] که از آن آشکار است که حکم لزوماً در همه ی سطرها درست است: زیرا در سطر دوم بنابر لم نخست درست است؛ بنابراین بنابر [لم] دوم در سطر سوم درست است، بنابراین در سطر چهارم، و الی آخر.
در نتیجه تنها لازم است که لم دوم را به این طریق ثابت کنیم:/> اگر تناسب در هر سطر درست باشد، آن گونه که در سطر چهارم Dλ؛ مثلاً اگر نسبت D به B مانند 1 به 3، و نسبت β به θ مانند 2 به 2، و نسبت θبه λ مانند 3 به 1 باشد و به همین قیاس، می گویم که همین تناسب در سطرHµ بعدی درست خواهد بود و این که، مثلاً نسبت E به C مانند 2 به 3 است.
برای این که نسبت D به B بنابر فرض مانند 1 به 3 است.

بنابراین نسبت D+B به B مانند نسبت 1+3 به 3 است.
E به B مانند نسبت 4 به 3 است.
به همین ترتیب نسبت B به θ بنابرفرض مانند 2 به 2 است.

بنابراین نسبت B+θ به B مانند نسبت 2+2 به 2 است.
C به B مانند نسبت 4 به 2 است.
اما نسبت E به B مانند 4 به 3 [و نسبت B و c مانند به 2 به 4است] (به طوری که دیده ایم). در این صورت [با ضرب کردن این دو تناسب آخری] نسبت E به c مانند 2 به 3 است. این همان است که باید نشان می دادیم.
می توان همین را برای همه خانه ها [ی سطرها] نشان داد، زیرا این برهان تنها مبتنی بر تناسب به دست آمده برای [سطر] قبل است و [این خاصیت] که هر خانه برابر با خانه ی قبل[خانه ی سمت چپ] به علاوه ی خانه ی بالای آن است، که همه جا ‍[در مثلث] درست است.

«خاصیت» مورد اشاره عبارت است از، مثلاً
یا به طور کلی
که قاعده ی پاسکال برای تشکیل (تعریف) مثلث حسابی است.
پی نوشت ها :
1. Francesco Maurolico
منبع مقاله :
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385
 
بالا