مفاهیم کاربردی فیزیک کوانتوم

[P O U R I A]

تاکنون به پدیده‌هایی که فیزیک کلاسیک در توجیه آن ها ناتوان است، اشاره شد و در نهایت این نتیجه حاصل گردید که علاوه بر اینکه موج رفتار ذره‌ای از خود نشان می‌دهد، طبق نظریه‌ی دوبروی، ذرات نیز می‌توانند خاصیت موجی داشته باشند. در این مقاله، ابتدا مدل اتمی رادرفورد و ناتوانی‌های آن در توضیح پایداری اتم معرفی می‌شود و پس آن مدل اتمی بوهر و توصیف پایداری اتم توسط آن، توضیح داده می‌شود. در ادامه به دیدگاه کوانتومی ذرات و امواج مورد بررسی قرار می‌گیرد. با توجه به اینکه امواج جایگزیده نیستند، به ناچار نمی‌توان ذرات میکروسکوپی را با دقت توصیف کرد و همین امر موجب شد هایزنبرگ اصل عدم قطعیت خود را معرفی کند. نهایتاً با توجه به تمام پدیده‌هایی که فیزیک کلاسیک قادر به توصیف آن‌ها نبود، حوزه‌ی جدیدی از علم، به نام مکانیک کوانتومی، در فیزیک مکانیک بوجود آمد.

 

[P O U R I A]

1- پایداری اتم

فیزیک کلاسیک، علاوه بر شکست در توضیح تابش جسم سیاه، اثر کامپتون و فوتوالکتریک، در توضیح چند پدیده‌ی دیگر در مقیاس میکروسکوپی نیز ناتوان بود.
مشاهدات آزمایشگاهی آشکار می‌کنند که اتم‌ها سیستم‌های مقید پایداری هستند با تعدادی گسسته از چند تراز انرژی، اما فیزیک کلاسیک می‌گوید که یک چنین سیستم‌های مقیدی، باید پیوستاری از ترازهای اتمی داشته باشند (یعنی باید ترازهای انرژی به‌هم‌پیوسته‌ای داشته باشند).

1-1- مدل سیاره‌ای رادرفورد برای اتم
رادرفورد با الهام از حرکت مداری سیارات به دور خورشید، اتم را به صورت الکترون‌های چرخان حول یک مرکزِ سنگینِِ باردارِ مثبت، موسوم به هسته، در نظر گرفت. پندی نگذشت که مشخص شد این مدل، دو نقص اساسی دارد:

شکل 1- ارنست رادرفورد (Ernest Rutherford)

1-1-1- اتم‌ها ناپایدارند!

این نقص، از کاربرد نظریه‌ی الکترومغناطیس ماکسول، در مدل رادرفورد نتیجه می‌شود. وقتی الکترون اطراف هسته می‌چرخد، شتاب می‌گیرد و انرژی تابش می‌کند؛ بنابراین باید انرژی از دست بدهد. این امر مستلزم آن است که شعاع مداری که الکترون در آن حرکت می‌کند، بطور پیوسته کاهش یابد (حرکت مارپیچی) تا الکترون روی هسته برُمبد (collapse). زمان لازم برای این رُمبش، حدود

می‌باشد. به این ترتیب، طبق مدل اتمی رادرفورد، اتم‌ها باید در مدت زمان

نابود شوند!
​

​

​

​

​

 

[P O U R I A]

1-1-2- اتم‌ها در یک بازه‌ی پیوسته از فرکانس‌ها، تابش می‌کنند!
چون فرکانس انرژی تابش شده، با فرکانس چرخش یکی است، هم‌چنان که الکترون روی هسته می‌رُمبد، فرکانس چرخش آن بطور پیوسته افزایش می‌یابد. بنابراین، طیف تابش اتمی باید پیوسته باشد.

شکل 2- مدل اتمی رادرفورد

1-2- مدل بوهر برای اتم هیدروژن
بوهر در سال 1913، با ترکیب مدل سیاره‌ای رادرفورد، نظریه‌ی کوانتومی پلانک و مفهوم فوتون انیشتین، توانست توضیح دقیقی برای طیف مشاهده شده‌ی اتم هیدروژن و هم‌چنین، توضیح متقاعد کننده‌ای برای پایداری آن ارائه داد

شکل 3- نیلز بوهر (Niels Bohr)

بوهر، شبیه مدل رادرفورد، فرض کرد که هر الکترون اتمی تحت اثر جاذبه‌ی الکترواستاتیکیِ هسته، در مداری به دور هسته می‌چرخد. در این مدل، مدارهای دایروی یا بیضوی، مجاز هستند؛ بوهر برای سادگی، فقط مدارهای دایروی را در نظر گرفت. او فرض‌های متعدد دیگری نیز به مدل خود اضافه نمود که علیرغم تضادشان با فیزیک کلاسیک، در توضیح خصوصیات اتم هیدروژن، بسیار موفق بودند:

شکل 4- ترازهای انرژی در مدل اتمی بوهر​

​

​

​

​

​

​

​

 

[P O U R I A]

• به‌جای مدارهای پیوسته، که در مکانیک کلاسیک ممکن هستند، فقط مجموعه‌ی گسسته‌ای از مدارهای پایدار دایروی، که حالت‌های مانا (stationary states) نامیده می‌شوند، مجاز می‌باشند. اتم‌ها فقط می‌توانند در حالت‌های پایدار مشخصی با انرژی‌های متناهی E3،E2،E1 و ... وجود داشته باشند.
• اندازه حرکت زاویه‌ای الکترون در هر یک از حالت‌های مجاز، برابر با مضرب صحیحی ازħ می‌باشند:

​

​

​

​

​

(1)

این رابطه به «قاعده‌ی کوانتش» بوهر برای اندازه حرکت زاویه‌ای معروف است.

• تا زمانی که الکترون در مدار مانا قرار دارد، انرژی الکترومغناطیسی تابش نمی‌کند. تابش یا جذب امواج الکترومغناطیسی، تنها زمانی رخ می‌دهد که الکترون از یک مدا مجاز، به مدار مجاز دیگر جهش کند.
  تابش متناظر با گذار الکترون از مداری با انرژی E nبه مدار دیگری با انرژی Em توسط فوتونی با انرژی

(2)

​

​

انجام می‌شود. بنابراین یک اتم، ضمن جهش الکترون به مدار پایین‌تر (یا بالاتر)، تابشی با انرژیِ معادل تفاوت انرژی دو مدار، گسیل (یا جذب) می‌کند.

شکل 5- گذار الکترون به مدار پایین‌تر باعث گسیل الکترون می‌شود.
​

​

​

 

[P O U R I A]

2- ظهور مکانیک کوانتومی
هرچند نتایج به دست آمده از مدل اتمی بوهر با طیف نگاری تجربی به خوبی سازگار بودند، اما این مدل به خاطر فقدان اصول و مولفه‌های یک نظریه‌ی نوعی ، مورد انتقاد بود. همانند ایده‌ی ماهرانه‌ی "کوانتش امواج" که پلانک در سال 1900 به کار گرفت، اصول موضوعه و فرض‌هایی هم که بوهر در سال 1913 ارائه داد، کاملاً دلخواه و اختیاری بودند و از اصول اولیه نظریه‌سازی پیروی نمی‌کردند. اختیاری بودن ایده‌ی پلانک و اصول موضوعه‌ی بوهر راضی کننده نبود و لازم می‌نمود که همه‌ی این فرضیات در قالب یک نظریه‌ی سازگار گنجانده شوند. مساله ای که همت هایزنبرگ و شرودینگر را برای یافتن مبانی نظری پشتیبانِ این ایده‌های جدید، برانگیخت و تلاش آنها در سال 1925 نتیجه داد. آن‌ها اصول موضوعه بوهر و یافته‌های تجربی را به روشی ماهرانه، درنظریه‌ایی به نام "مکانیک کوانتومی"، با هم پیوند زدند. این نظریه، علاوه بر بازتولید دقیق داده‌های تجربی، قدرت پیش بینی بالایی داشت که امکان کشف و حل مسائل رو نشده‌ای را در سطح میکروسکوپی به طور حیرت انگیزی فراهم می‌آورد. نظریه‌ی جدید، پایانی بر بیست و پنج سال (1925-1900) سرهم بندیِ ایده‌های پلانک و بوهر بود که بعدها به نظریه‌ی "مکانیک کوانتومی قدیم" شهرت یافت.

3- دیدگاه کوانتومی ذرات و امواج
در مقاله اول، "نگاهی به تاریخچه فیزیک کلاسیک"، دیدگاه کلاسیکی ذرات و امواج بررسی شد و در این مقاله با توضیحآزمایش دو شکافی برای ذرات مادی کوانتومی، مانند الکترون ها، به دیدگاه کوانتومی ذرات و امواج پرداخته می شود. شکل 6، سه آزمایش را نشان می دهد که در آنها چشمه‌ی Sجریانی از الکترون‌ها را، ابتدا وقتی تنها S1 باز است، سپس وقتی تنها S2 باز است، و سرانجام وقتی هردو شکاف باز هستند، شلیک می‌کند. در دو حالت اول، تغییرات توزیع الکترون‌ها روی پرده، هموار است؛ جمع این توزیع ها نیز به نرمی و به صورت هموار تغییر می‌کند و درنتیجه نموداری زنگوله مانند،شبیه آن چه که برای ذرات کلاسیک ارائه شد، حاصل می شود.

شکل 6- آزمایش دو شکافی: S چشمه‌ای از الکترون‌هاست، I1 و I2به ترتیب شدت‌های ثبت شده روی پرده هستند، هنگامی‌که فقط S2 ، و هنگامی که تنها S2 باز است. وقتی هردو شکاف باز هستند، شدت کل برابر است باجمع I1 و I2و یک جمله‌ی نوسانی.
​

​

​

 

[P O U R I A]

اما هنگامی که هر دو شکاف باز باشد، توزیعی با تغییرات تند، یا به عبارت دیگر یک الگوی تداخلی مشاهده می‌شود. در نتیجه، به نظر می‌رسد که الکترون‌ها، با وجود مجزا بودن‌شان، با یکدیگر تداخل می‌کنند؛ این بدان معناست که ظاهراً هر الکترون در یک لحظه از هر دو شکاف عبور کرده است! از آنجایی که الکترون جزء ذرات بنیادی است (ذرات بنیادی ذراتی هستند که به ذرات دیگر تجزیه نمی شوند.)، شاید این پرسش مطرح شود که اگر الکترون نمی‌تواند شکافته شود، پس چگونه همزمان از هردو شکاف خارج می شود؟ جالب تر این است که این الگوی تداخل ارتباطی با شدت پرتو الکترونی نیز ندارد. برای بررسی این مطلب، آزمایش‌هایی با پرتوهایی چنان ضعیف انجام شده است که هربار فقط یک الکترون فرستاده شود (یعنی، هر الکترون زمانی فرستاده شده که الکترون قبلی به پرده رسیده باشد). در این حالت، اگر هر دو شکاف باز باشند، و اگر به اندازه‌ی کافی صبر کنیم تا تعداد الکترون‌های مناسبی به پرده برخورد کنند، باز هم الگوی تداخلی تشکیل می‌شود!
در این جا، مسئله‌ی اساسی یافتن شکافی است که الکترون از آن عبور کرده است. بدین منظور آزمایشی برای مشاهده‌ی الکترون‌هایی که شکاف‌ها را ترک کرده‌اند، انجام شد. در این آزمایش یک منبع نوری، مطابق شکل 7، بین شکاف ها و پرده نصب کردند و شمارنده‌های گایگر را در سرتاسر پرده طوری قرار دادند که هر وقت الکترونی به پرده رسید، صدای "کلیک" شنیده شود.

شکل 7- آزمایش دو شکافی: S چشمه‌ای از الکترون‌هاست. یک منبع نور پشت پرده‌ی شامل S 1و S2 قرار داده شده است. این منبع نور، زمانی‌که هر دو شکاف باز است، الگوی تداخلی را تخریب می‌کند و در این حالت، شدت کل برابر است با جمع I1 و I2​

​

با توجه به اینکه بارهای الکتریکی نور را پراکنده می‌کنند(برهم کنش فوتون و الکترون)، هروقت یک الکترون از میان یکی از شکاف‌ها عبور می‌کند، در مسیرش تا شمارنده، به چشمان ما نور می‌تاباند. در نتیجه، هر وقت یک کلیک شنیدیم، نزدیک یکی از شکاف‌های S1 یا S2 (و نه نزدیک هر دو در آن واحد) یک درخش (فلش) خواهیم دید. بعد از ثبت تعدادی شمارش با شکاف های باز، خواهیم دید که توزیع شدت، شبیه توزیع گلوله‌های کلاسیکی، که در مقاله اول، "نگاهی به تاریخچه فیزیک کلاسیک"، نشان داده شد، می‌باشد. الگوی تداخل ناپدید شده است! اما اگر چشمه‌ی نور را خاموش کنیم، الگوی تداخلی دوباره ظاهر می‌شود.

از این آزمایش نتیجه می‌گیریم که صرف عمل نگاه کردن به الکترون‌ها، توزیع آن‌ها را بی اندازه تحت تأثیر قرار می‌دهد. واضح است که الکترون ها بسیار حساس‌اند و هنگامی که به آن‌ها نگاه می‌کنیم، رفتارشان تغییر می‌کند. این یک اصل کاملاً کوانتومی است که می‌گوید:
اندازه‌گیری، حالت اجسام میکروسکوپی را تحت تأثیر قرار می‌دهد.

 

[P O U R I A]

ممکن است اینگونه به نظر برسد که می‌توان روشنایی (شدت) چشمه‌ی نور را به‌قدری کاهش داد که توانایی تخریب مسیر الکترون‌ها را نداشته باشد. اما مشاهدات نشان می‌دهد که در این حالت نیز، نوری که از الکترون‌های در حال عبور، پراکنده شده و به چشم ما می‌رسد، ضعیف نمی شود؛ و همان درخش‌های قبلی، با همان شدت قبلی، دیده می‌شوند، اما فقط هر چند وقت یکبار. این بدان معناست که در شدت‌های ضعیف‌تر، بیشتر الکترون‌ها را از دست می‌دهیم. در این مورد نتیجه می‌گیریم که بعضی از الکترون‌ها بدون اینکه دیده شوند از شکاف‌ها عبور کرده‌اند، زیرا فوتونی موجود نبوده است که در آن لحظه با آن‌ها برخورد کند. این فرآیند نیز مهم است چون تأیید می‌کند که نور خاصیت ذره ای دارد و به صورت توده‌ای (فوتون) به پرده می‌رسد.

از این آزمایش با چشمه‌های کم نور، دو نوع توزیع داریم: یکی مربوط به الکترون‌هایی که دیده شده‌اند، ودیگری مربوط به آن‌هایی که دیده نشده‌اند (ولی با شمارنده شنیده شده‌اند). در توزیع اول، هیچ نشانی از تداخل نیست (یعنی، چیزی مشابه گلوله‌های کلاسیکی)؛ اما توزیع دوم یک الگوی تداخلی را به نمایش می‌گذارد. این اتفاق از این واقعیت نتیجه می‌شود که وقتی الکترون‌ها دیده نشوند، تداخل رخ می دهد.

وقتی الکترون‌ را "نمی‌بینیم"، هیچ فوتونی هم آن را مختل نمی‌کند، اما هنگامی که آن را "می‌بینیم"، فوتونی در کار است که آن را مختل می‌کند.
در مورد الکترون‌هایی که تداخل نشان می‌دهند، غیر ممکن است شکافی را که هر الکترون از آن عبور کرده، مشخص کنیم. این یافته‌ی آزمایشگاهی، مفهوم اساسی جدیدی را معرفی می‌کند که دنیای میکروسکوپی تعیّن ناپذیر (indeterministic) است. برخلاف فیزیک کلاسیک که می‌توانیم مسیر ذرات را بطور دقیق پیگیری کنیم، حرکت یا مسیر ذره‌ی میکروسکوپی را نمی توان دنبال کرد. از لحاظ تکنیکی، ردیابی دقیق الکترون‌ها، غیر ممکن است. چنین نتایجی، هایزنبرگ را به سمت مفهوم اصل عدم قطعیت هدایت کرد که می‌گوید: "غیر ممکن است بتوان ابزاری را طراحی کرد که ما را قادر سازد تا شکافی را که الکترون از میان آن عبور می‌کند، بدون برهم زدن نقش تداخل، مشخص کنیم."

الگوی تداخلی بدست آمده از آزمایش دوشکافی، روشن می‌سازد که الکترون‌ها هر دو خاصیت موجی و ذره ای را نشان می‌دهند. وقتی الکترون‌ها یکی یکی مشاهده شوند، شبیه ذرات رفتار می‌کنند؛ اما وقتی بعد از تعدادی اندازه‌گیری، مشاهده شوند (توریع الکترون‌های آشکار سازی شده)، شبیه امواجی با طول موج

رفتار می‌کنند و یک الگوی تداخلی را نشان می‌دهند.

4- اصل عدم قطعیت هایزنبرگ
همانطور که گفته شد، در آزمایش‌های دیویسون-گرمر و دوشکافی، ذرات مادی میکروسکوپی، از خود الگوی تداخلی نشان می‌دهند که برای توجیه این رفتار، باید ذرات میکروسکوپی را با امواج توصیف کرد. امواج در فضا جایگزیده نیستند (یعنی مکان آنها به طور دقیق مشخص نیست و با خطایی بیان می شود) و درنتیجه به ناچار باید از دقت توصیف ذرات میکروسکوپی صرف نظر کرد، زیرا امواج در بهترین حالت، فقط نتیجه‌ای احتمالی به دست می‌دهند. از طرف دیگر در آزمایش دوشکافی دیده شد که ردیابی حرکت الکترون‌های منفرد غیر ممکن است؛ هیچ وسیله‌ی آزمایشگاهی وجود ندارد که تعیین کند که یک الکترون مفروض از کدام شکاف عبور کرده است. این عدم توانایی در پیشگویی پدیده‌های منفرد، در تضاد کامل با اصل اساسی فیزیک کلاسیک، یعنی قابلیت پیشگویی یا قابلیت تعیّن، می‌باشد. با الهام از این یافته‌های تجربی، هایزنبرگ ذات نامعیّن دنیای میکروفیزیکی را «اصل» گرفت، و آن را اصل عدم قطعیت نامید.

 

[P O U R I A]

در فیزیک کلاسیک، با داشتن شرایط اولیه و نیز نیروهای وارد بر یک سیستم، رفتار سیستم فیزیکی (مسیر یکتای آن) را می‌توان دقیقاً تعیین کرد. بدین صورت که اگر مکان اولیه

سرعت اولیه

و همه نیروهای وارد بر ذره معلوم باشند، با استفاده از قانون دوم نیوتن، مکان

و سرعت

به طور منحصر به فرد و یکتا مشخص می‌شوند. بنابراین فیزیک کلاسیک کاملاً قابل تعیّن است.
یک ذره‌ی میکروسکوپی در فیزیک کوانتومی به وسیله یک تابع موج مربوط به موج ذره نمایش داده می‌شود، و چون تابع موج نمی‌تواند جایگزیده شود، بنابراین یک ذره‌ی میکروسکوپی اندکی در فضا گسترده است و برخلاف ذرات کلاسیکی، در فضا نمی‌تواند جایگزیده شود. همانطور که در آزمایش دوشکافی دیدیم، اگر بخواهیم شکافی را که الکترون از میان آن عبور کرده مشخص کنیم، آشکارسازی الکترون غیر ممکن می‌شود. از این رو، دیگر در مقیاس میکروسکوپی، مفاهیم کلاسیکی مانند مکان دقیق، اندازه حرکت دقیق و مسیر یکتای ذره، معنایی ندارند. این، اساس اصل عدم قطعیت هایزنبرگ است.

اصل عدم قطعیت هایزنبرگ، می‌گوید که اگر مولفه‌ی x اندازه حرکت یک ذره با عدم قطعیت

اندازه‌گیری شود، مکان x آن را، در همان زمان، نمی‌توان با دقتی بیشتر از

اندازه‌گیری کرد. صورت سه بعدی روابط عدم قطعیت برای مکان و اندازه حرکت را می توان به صورت زیر نوشت:

(3)

​

​

این رابطه می‌گوید هرچند که اندازه‌گیری اندازه حرکت و مکان یک ذره به طور جداگانه امکان‌پذیر است، اما اندازه‌گیری این دو مشاهده پذیر به طور همزمان به صورت دقیق امکان پذیر نیست و خطا دارد.یعنی اگر موقعیت یک سیستم کوانتومی به خوبی تعریف شده باشد، اندازه حرکت آن به طور کامل تعریف نشده خواهد بود.
بطور مثال برای اندازه‌گیری موقعیت یک الکترون در اتم، ناچارید که از تابش با طول موج کوتاه (هم اندازه‌ی اتم) استفاده کنید. انرژی این تابش به حدی است که می‌تواند اندازه حرکت الکترون را به طور قابل ملاحظه‌ای تغییر دهد؛ بنابراین با مشاهده‌ی الکترون، حرکت آن را آن‌قدر دگرگون می‌کند که می‌تواند آن را از مدارش خارج سازد. بنابراین، تعیین مکان و اندازه حرکت به طور همزمان با هر دقت دلخواه، انجام نشدنی است.
اگر یک ذره به طور دقیق جایگزیده شده باشد (یعنی

)، اندازه حرکتش کاملاً نامعلوم خواهد بود (یعنی

). یعنی این که، چون همه‌ی پدیده‌های کوانتومی با امواج توصیف می‌شوند، در توانایی اندازه‌گیریِ همزمانِ دو متغیرِ مکمل، محدودیت وجود دارد.
اصل عدم قطعیت هایزنبرگ را می‌توان به هر جفتی از متغیرهای دینامیکی مکمل، یا مزدوج متعارف (کانونی)، تعمیم داد.
برای نمونه، انرژی و زمان، تشکیل یک جفت متغیر مکمل می‌دهند. اندازه گیری همزمان آن‌ها باید از رابطه عدم قطعیت زمان-انرژی پیروی کند:

​

​

​

​

​

​

​

این رابطه می‌گوید که اگر دو مرتبه انرژی سیستم با اختلاف زمانی Δt اندازه‌گیری شود ، اختلاف انرژی‌های اندازه‌گیری شده به اندازه‌ی ΔE خواهد بود ، و این اختلاف به هیچ وجه کم‌تر از ħ/2 نیست.

(14)

این رابطه می‌گوید که اگر دو مرتبه انرژی سیستم با اختلاف زمانی Δt اندازه‌گیری شود ، اختلاف انرژی‌های اندازه‌گیری شده به اندازه‌ی ΔE خواهد بود ، و این اختلاف به هیچ وجه کم‌تر از ħ/2 نیست.