ماتریس ها (Matrix)

[P O U R I A]

فهرست:

• ماتریس مربعی (Square Matrix)
• ماتریس وارون پذیر (Invertible Matrix)(نامنفرد - nonsingular)
• ترانهاده (Transpose) یک ماتریس (Matrix)
• دترمینان (Determinant) یک ماتریس (Matrix)
• قطر اصلی (Main diagonal) ماتریس (Matrix)
• ماتریس بالا مثلثی (Upper triangular Matrix)
• ماتریس پایین مثلثی (Lower triangular Matrix)
• ماتریس قطری (Diagonal Matrix)
• ماتریس متعامد (Orthogonal Matrix)

 

[P O U R I A]

ماتریس مربعی (Square Matrix)

ماتریس مربعی (Square Matrix)

ماتریسی که تعداد ردیف ها (row) و ستون های (column) آن برابر باشد را ماتریس مربعی (Square Matrix) می نامیم.

 

[P O U R I A]

ماتریس وارون پذیر (Invertible Matrix)(نامنفرد - nonsingular)

ماتریس وارون پذیر (Invertible Matrix)(نامنفرد - nonsingular)

فرض کنید ماتریسی با نام A و با اندازه n در n داشته باشیم. در صورتی که یک ماتریس B یافت شود که در رابطه زیر صدق کند، آنگاه ماتریس A را ماتریس وارون پذیر (نامنفرد) می نامند : *



در رابطه بالا، In یک ماتریس واحد (identity matrix) با اندازه n در n است.


مثال :
دو ماتریس زیر را در نظر بگیرید :


بنابراین ماتریس A ، یک ماتریس وارون پذیر (نامنفرد) می باشد.

 

[P O U R I A]

ترانهاده (Transpose) یک ماتریس (Matrix)

ترانهاده (Transpose) یک ماتریس (Matrix)

برای به دست آوردن ترانهاده (Transpose) یک ماتریس، باید جای ردیف ها (row) و ستون های (column) آن را با هم عوض کنیم. اگر ماتریس مورد نظرمان دارای نام A باشد، آنگاه ترانهاده آن را با نماد A[SUP]T[/SUP] نمایش می دهیم.

مثال :

 

[P O U R I A]

دترمینان (Determinant) یک ماتریس (Matrix)

دترمینان (Determinant) یک ماتریس (Matrix)

دترمینان (Determinant)، یک عدد حقیقی (real number) است که برای هر ماتریس مربعی (square matrix) به دست می آید. دترمینان ماتریس A را با علامت های detA یا |A| نمایش می دهند.



دترمینان (Determinant) یک ماتریس مربعی (square matrix) با اندازه 2 در 2 :

فرض کنید یک ماتریس مربعی (square matrix) با اندازه 2 در 2 داشته باشیم :



دترمینان (Determinant) آن به صورت زیر به دست می آید :

 

[P O U R I A]

قطر اصلی (Main diagonal) ماتریس (Matrix)

قطر اصلی (Main diagonal) ماتریس (Matrix)

قطر اصلی (Main diagonal) یک ماتریس (Matrix)، شامل عناصری از آن ماتریس می باشد که از گوشه بالا سمت چپ تا گوشه پایین سمت راست، چیده شده اند.

 

[P O U R I A]

ماتریس بالا مثلثی و پایین مثلثی

ماتریس بالا مثلثی و پایین مثلثی

ماتریس بالا مثلثی (Upper triangular Matrix) :
چنانچه در یک ماتریس مربعی (square matrix)(یعنی ماتریسی که تعداد ردیف ها و ستون های آن برابر باشد)، تمامی عناصر پایین قطر اصلی (main diagonal) ماتریس، برابر صفر باشند، آنگاه آن ماتریس را ماتریس بالا مثلثی (Upper triangular Matrix) می نامیم.


ماتریس پایین مثلثی (Lower triangular Matrix) :
چنانچه در یک ماتریس مربعی (square matrix)(یعنی ماتریسی که تعداد ردیف ها و ستون های آن برابر باشد)، تمامی عناصر بالای قطر اصلی (main diagonal) ماتریس، برابر صفر باشند، آنگاه آن ماتریس را ماتریس پایین مثلثی (Lower triangular Matrix) می نامیم.

 

[P O U R I A]

ماتریس قطری (Diagonal Matrix)

ماتریس قطری (Diagonal Matrix)

چنانچه در یک ماتریس مربعی (square matrix)، تمامی عناصری آن (به جز عناصری که بر روی قطر اصلی (main diagonal) قرار دارند) برابر صفر باشند، آنگاه آن را ماتریس قطری (Diagonal Matrix) می نامیم.

مثال :
یک مثال برای ماتریس قطری (Diagonal Matrix) :

 

[P O U R I A]

ماتریس متعامد (Orthogonal Matrix)

ماتریس متعامد (Orthogonal Matrix)

ماتریس A با اندازه n در n را در نظر بگیرید. اگر ماتریس A در رابطه زیر صدق کند، آنگاه یک ماتریس متعامد (Orthogonal Matrix) می باشد : *

AA[SUP]T[/SUP]=I​

که در آن، A[SUP]T[/SUP] ، برابر ترانهاده (Transpose) ماتریس A است و I ، ماتریس واحد (identity matrix) می باشد.

یک ماتریس متعامد (Orthogonal Matrix)، همیشه وارون پذیر (invertible) است و در رابطه زیر صدق می کند : *

A[SUP]−1[/SUP]=A[SUP]T[/SUP]​

و یا اگر بخواهیم بر اساس عناصر آن بنویسیم :


رابطه ذکر شده، باعث می شود که محاسبات مربوط به ماتریس متعامد (Orthogonal Matrix) ساده تر باشد، زیرا محاسبه ترانهاده (Transpose) ماتریس، ساده تر از محاسبه وارون (Inverse) ماتریس است.