دنباله ها و سری ها (Sequences and Series)

[P O U R I A]

فهرست مطالب:

1. سری تیلور (Taylor series)
2. سری مکلورن (Maclaurin Series)
3. دنباله (Sequence)
4. تصاعد هندسی - سری هندسی (Geometric progression - Geometric Series)
5. سری لوران (Laurent series)
6. سری گریگوری (Gregory Series)
7. سری هارمونیک (Harmonic Series)
8. سری لایبنیتز (Leibniz series)
9. اتحادهای مربوط به سری ها (series)
10. سری های (series) معادل برای توابع مثلثاتی (Trigonometric functions)

 

[P O U R I A]

سری تیلور (Taylor series)

سری تیلور (Taylor series)

سری تیلور (Taylor series)، به صورت بسط سری (series expansion) یک تابع (function)، در اطراف یک نقطه (point) تعریف می شود.


فرض کنید یک تابع حقیقی (real function) به شکل (f(x داریم. سری تیلور یک بعدی (one-dimensional Taylor series) تابع (f(x ، در اطراف نقطه x=a ، به صورت زیر می باشد :



اگر a را به صورت a=0 در نظر بگیریم، آنگاه بسط (expansion) فوق، به سری مکلورن (Maclaurin series) تبدیل می شود.

 

[P O U R I A]

سری مکلورن (Maclaurin Series)

سری مکلورن (Maclaurin Series)

فرض کنید یک تابع حقیقی (real function) به شکل (f(x داریم. سری تیلور یک بعدی (one-dimensional Taylor series) تابع (f(x ، در اطراف نقطه x=a ، به صورت زیر می باشد :

http://www.www.www.iran-eng.ir/attachment.php?attachmentid=246047&d=1436284957​

اگر a را به صورت a=0 در نظر بگیریم، آنگاه بسط (expansion) فوق، به سری مکلورن (Maclaurin series) تبدیل می شود.

بنابراین، سری مکلورن (Maclaurin Series) برای تابع حقیقی (real function) به شکل (f(x ، به صورت زیر می باشد :

 

[P O U R I A]

دنباله (Sequence)

دنباله (Sequence)

به فهرستی از اعداد که پشت سرهم چیده شده اند، یک دنباله (Sequence) از اعداد گفته می شود.



برای نمایش دنباله ای از اعداد، از علامت های { و } و تعدادی علامت , استفاده می کنیم. به مثال زیر توجه کنید :

[h=4]مثال :[/h]یک دنباله از اعداد به شکل زیر می نویسیم :

[COLOR=#000000][FONT=Tahoma][FONT=monospace]{3, 5, 7, 9}[/FONT]
[/FONT][/COLOR]

این دنباله، یک دنباله متناهی (finite sequence) می باشد.

[h=4]مثال :[/h]یک دنباله از اعداد به شکل زیر می نویسیم :

[COLOR=#000000][FONT=Tahoma][FONT=monospace]{3, 5, 7, ...}[/FONT]
[/FONT][/COLOR]

علامت سه نقطه (...) به معنای ادامه داشتن دنباله عددها است و در واقع، ادامه اعداد را نمایش نداده ایم زیرا این دنباله، یک دنباله نامتناهی (infinite sequence) می باشد و تا بینهایت ادامه دارد. در اینگونه موارد، معمولا از همان تعداد اعدادی که نمایش داده شده است، می توان قاعده (Rule) دنباله را متوجه شد.

 

[P O U R I A]

تصاعد هندسی - سری هندسی (Geometric progression - Geometric Series)

تصاعد هندسی - سری هندسی (Geometric progression - Geometric Series)

شکل کلی سری هندسی (Geometric Series) به صورت زیر می باشد :




که در آن، a برابر اولین جمله (first term) سری می باشد و r ، نسبت مشترک (common ratio) بین جملات (terms) نامیده می شود.

 

[P O U R I A]

سری لوران (Laurent series)

سری لوران (Laurent series)

فرض کنید که تابع (f(z در ناحیه حلقه ای (annular region) بین دو دایره K1 و K2 که متحدالمرکز (concentric circles) هستند و دارای مرکز z=a و شعاع های r1 و r2 می باشند (r1<r2)، تحلیلی (analytic) باشد، آنگاه یک سری منحصربفرد (unique) از بسط جملات با توان های مثبت و منفی از (z−a) وجود دارد که به صورت زیر می باشد :

 

[P O U R I A]

سری گریگوری (Gregory Series)

سری گریگوری (Gregory Series)

سری گریگوری (Gregory Series)، یک فرمول عدد پی (pi formula - فرمولی که برای بیان عدد π به کار می رود) می باشد که توسط Gregory و Leibniz ارئه شد (با قرار دادن مقدار x=1 در سری لایبنیتز (Leibniz series)) :






فرمولی که بیان شد، به آهستگی همگرا می شود، برای سریعتر شدن همگرایی (convergence)، می توانیم از برخی از تبدیل ها (transformations) استفاده کنیم :



که در آن، (ζ(z برابر تابع Riemann zeta می باشد.

 

[P O U R I A]

سری هارمونیک (Harmonic Series)

سری هارمونیک (Harmonic Series)

سری زیر، سری هارمونیک (Harmonic Series) نامیده می شود :



گاهی اوقات، سری زیر نیز سری هارمونیک (Harmonic Series) نامیده می شود :

 

[P O U R I A]

سری لایبنیتز (Leibniz series)

سری لایبنیتز (Leibniz series)

سری معادل برای تابع تانژانت معکوس (inverse tangent) را در نظر بگیرید :




مقدار x=1 را در آن جایگذاری می کنیم :




این سری، سری لایبنیتز (Leibniz series) نامیده می شود که یک فرمول عدد پی (pi formula - فرمولی که برای بیان عدد π به کار می رود) می باشد.

 

[P O U R I A]

اتحادهای مربوط به سری ها (series)

اتحادهای مربوط به سری ها (series)

در این مبحث، تعدادی از اتحادهای مربوط به سری ها (series) را بیان می کنیم :

 

[P O U R I A]

سری های (series) معادل برای توابع مثلثاتی (Trigonometric functions)

سری های (series) معادل برای توابع مثلثاتی (Trigonometric functions)

در این مبحث، سری های (series) معادل برای توابع مثلثاتی (Trigonometric functions) را ذکر می کنیم.

بسط سری تیلور (Taylor Series Expansion) برای توابع مثلثاتی (Trigonometric Functions) :



در فرمول بالا، Bn برابر اعداد برنولی (Bernoulli Numbers) می باشد.



در فرمول بالا، E[SUB]n[/SUB] برابر اعداد اویلر (Euler Numbers) می باشد.



در فرمول بالا، B[SUB]n[/SUB] برابر اعداد برنولی (Bernoulli Numbers) می باشد.



در فرمول بالا، B[SUB]n[/SUB] برابر اعداد برنولی (Bernoulli Numbers) می باشد.