خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

MOJTABA 77 · Apr 20, 2011

1.Hadfeild *- افراد ميدان وابسته (Field – dependent) کساني هستند که در مسائل داراي رويکرد کلي هستند و در جداسازي عناصر و اجرا محيط و بافت اصلي خود ( تجزيه و تحليل ساختارها ) دچار مشکل اند ؛ در حالي که افراد ميدان ناوابسته داراي رويکرد تحليلي بوده و قابليت بيشتري در جداسازي و شناخت عناصر سازنده يک سامانه دارند ؛ در نتيجه بهتر مي توانند اطلاعات و اجزاي مزاحم را از عناصر مربوط و علامت دهنده تشخيص دهند

2.Fennema & Sherman برخي از پژوهشگران مانند برتون و راسل 1 دريافتند که فقدان زمينه کافي در رياضيات براي انجام فعاليت هاي رياضي و کمبود عزت نفس در رياضي موجب تقويت اضطراب رياضي خواهند شد. بنابر اين احساس فقدان يا ترديد در توانايي نسبت به انجام فعايت هاي مناسب رياضي در موقعيت هاي مختلف ، فرد را در معرض بروز تقويت اضطراب رياضي قرار خواهد داد و هرگاه اين احساس در يادگيرنده نهادينه شود علاوه بر ابتلاي به اضطراب رياضي نوعين طرز تقلي منفي نيز نسبت به رياضيات در کل در او ايجاد خواهد شد. گاه مشاهده مي شود که حتي دانشجويان نسبتاً خوب رياضي به دليل فقدان احساس اطمينان رياضي مناسب ، با اندک تغييري در شرايط دچار هراس واضطراب مي شوند.

به عنوان نمونه دانشجويي در مراجعه به نگارنده اظهار مي داشت. حتي تأخير در شروع جلسه امتحان رياضي او را مضطرب مي کند و يا دانشجوي نسبتاً مستعدي از گروه رياضي تقاضا داشت که به جاي شرکت درجلسه رسمي و اضطراب آور امتحان هاي رياضي ، استاد از او به طور جداگانه و يا زماني که خود دانشجو در طول ترم تعيين مي کند ، امتحان بگيرد. اينها و ده ها نمونه ديگر در ميان فراگيران رياضي گوياي اين واقعيت است که چگونه نهادينه شدن ترديد در قابليت هاي رياضي با ابتلاي فرد به اضطراب رياضي ، رفتار رياضي او را دچار مشکلات جدي مي کند.

اضطراب رياضي و شيوه هاي آموزشي اتخاذ شيوه آموزشي مناسب به مثابه عاملي بروني مي تواند به گونه اي مؤثر در شکل دهي رفتار رياضي دانش آموزان و دانشجويان عمل نمايد. از آنجايي که رفتار رياضي رشد يابنده و پويا محصول تعامل و تقابل مؤثر عوامل بروني و دروني است ، بنابر اين شيوه آموزشي مفاهيم ومهارت هاي رياضي بدون توجه به عوامل دروني ، به ويژه تفاوت هاي فردي يادگيرنده ها امري غير علمي است و طبعاً بهره وري مطلوب را در يادگيري رياضيات به همراه نخواهد داشت .

در اين ميان بينش معلمان و مربيان رياضي نسبت به حالات هيجاني و روحي شاگردان در خور اهميت است تا با انتخاب روش مناسب آموزشي و فعاليت هاب کلاسي شايسته ، زمينه مشارکت بيشتر و مطلوبتر فراگيران خود را فراهم آورند. پس بدون ترديد اقتدار علمي معلمان و شيوه آموزشي آنان در تدريس و هدايت فعاليت هاي رياضي مي تواند موجب تشديد اضطراب رياضي درافراد و يا تنش زدايي آن بشود. ___________ 1.Burton & Russell کلوت (1984) در پژوهشي پي برد که تعامل و ارتباط معناداري بين (p<0/01) اضطراب رياضي و اتخاذ شيوه آموزشي وجود دارد ؛ به طوري که دانشجويان با سطح اضطراب بالاي رياضي از شيوه توصيفي در آموزش سود بيشتري مي برند ، در حالي که دانشجويان با اضطراب پايين شيوه اکتشافي را مفيد تر يافته اند.

درواقع افراد مضطرب نيازمند آرامش بيشتر و تکيه بر مباحث خوب سازمان يافته و با طراحي شفاف تر براي ياد گيري رياضي هستند. از اين رو ، نگرش توصيفي به آموزش وتدريس با ساختارهاي روشن در محيطي با نشاط و آرام در کاهش اضطراب آنها سودمند است. برعکس ، همان طوري که قبلاً بحث شد غالب فراگيران با اضطراب اندک با برخورداري از اطمينان رياضي بالاتر تمايل زيادتري به مناقشه هاي علمي و بحث و جدل با معلمان خود دارند ، در حالي که فراگيران فاقد اطمينان رياضي از درگير شدن با چنين کشمکش هايي که طبعاً اضطراب زا هستند بيزارند ( ري ز3، 1980) .

بنابر اين منطقي به نظر مي رسد که شيوه آموزش اکتشافي ، که موجب ايجاد بسط شرايط محيطي دلهره آور خواهد شد ، براي فراگيراني مناسب تر است که از اطمينان رياضي بالاتر و در نتيجه اضطراب رياضي کمتري برخورداند. ضمناً تشکيل گروه هاي کوچک کاري براي انجام فعاليت هاي رياضي در ميان فراگيران ميدان بحث و اظهار نظر را در بين آنان گشوده و با هدايت آگاهانه معلم ، گروه مي تواند فرصت مناسبي را براي يادگيري هاي مشارکتي در ميان هم شاگردان ايجاد کند و موجب رشد طرحواره مفهومي و آمادگي هاي ذهني افراد شود. در نتيجه دانش رياضي يادگيرنده ها گسترده تر مي شود .

بدين ترتيب در محيطي نسبتاً بي دغدغه شايد خود اتکايي و اطمينان رياضي فراگيران افزايش يابد و درگروهي متجانس از افراد با اضطراب بالاتر اين باور ايجاد شود که توانايي و قابليت نسبي فهم رياضي وکار رياضي را دارند. دانش ، تجربه و هنر معلمي اقتضا مي کند که با توجه به قابليت ها و وضعيت رواني کلاس تلفيقي متعادل ومتناسب از شيوه هاي آموزشي شامل روش توصيفي ، اکتشافي ، کارگروهي و انجام پروژه هاي کوچک علمي در حوصله درس ، موجبات لذت بخشي رفتار رياضي فراهم آيد.

بديهي است که لذت ناشي از مسرت بخش شدن کار رياضي در کنترل و تخفيف اضطراب رياضي به نحو قابل ملاحظه اي مؤثر است. اضطراب رياضي و جنس تفاوت و ويژگي هاي رفتار رياضي در دو جنس امري است که مورد علاقه پژوهشگران آموزشي رياضي است.

واقعاً زن بودن يا مرد بودن چگونه ممکن است بر عملکرد افراد در دروس مختلف رياضي مؤثر افتد ؟ آيا اصولاً پسران به لحاظ طبيعت و فرصت هاي اجتماعي در انجام فعاليت هاي رياضي بر دختران برتري دارند ؟

آيا جنبه هاي مختلف زيستي ، روان شناختي و حالات مختلف هيجاني از جمله اضطراب و اطمينان رياضي هيچگونه تفاوتي را در رفتار رياضي زنان و مردان نشان نمي دهد ؟

در اين خصوص دستاوردها و مناقشات علمي فراوان است اما در مورد اضطراب رياضي مي توان گفت که برخي از پژوهش ها از جمله پژوهش بروش 1(1978) نشان داده شده است که از نظر آماري به طور معناداري زنان ، در مقايسه با مردان ، نمره بالاتري را در مقياس درجه بندي اضطراب رياضي موسوم به MARS کسب کرده اند. به علاوه ، طبق گزارش بنسون 3( 1987) زنان در مقايسه با همکلاسي ها ي مرد خود در دانشگاه نمرات بالاتري را در آزمون هاي اضطراب کلي و اضطراب آمار و رياضي به دست آورده اند. در عين حال لئون (1992) پي برد که ميزان اضطراب رياضي در دانشجويان و معلمان ضمن خدمت علوم اجتماعي ، ارتباطي با جنس افراد نداشته است ؛ بلکه بايد عوامل ديگري را به منظور تبيين تفاوت عملکرد رياضي ميان زنان ومردان جستجو کرد.

1.Brush 2.Mathematics Anxiety 3.Benson در هر حال، اگر توانايي ها و قابليت هاي متفاوت ذهني و رواني و فرصت هاي مختلف اجتماعي فرهنگي مردان و زنان در عرصه ء کار رياضيات مورد تأمل قرار گيرد ، طبيعي است که ابتلاي زود هنگام تر زنان به اضطراب رياضي و ترديد شان نسبت به اطمينان رياضي را در مقايسه با مردان بپذيريم. هر چند که اين امر نيازمند مطالعات بيشتري است تا معلوم شود که چگونه پيشرفت در رياضيات تحت تأثير اضطراب رياضي و جنس قرار مي گيرد.

بديهي است که دستاوردهاي ناشي از چنين پژوهش هايي نتايج ارزشمندي را براي يادگيرندگان ، معلمان و برنامه ريزان آموزشي در رياضيات فراهم خواهد آورد. آزمون هاي اندازه گيري اضطراب رياضي چگونه مي توان ميزان اضطراب رياضي را در افراد تعيين کرد تا از گمان هاي غير علمي جلوگيري شود؟ سويين 1(1970) براي سنجش سطح اضطراب رياضي آزمون را MARS طراحي و اجرا کرد. اين آزمون شامل 98 پرسش است که بر انگيختگي هاي اضطراب آور را در فعاليت هاي رياضي افراد اندازه مي گيرد .

در اين آزمون اضطراب اشخاص بر حسب ميزان ابتلاي آنان به پنج درجه تقسيم مي شود. آزمون هاي تغيير يافته ديگري بر اساس MARS تحت عنوان RMARS توسط پژوهشگران ديگر از جمله فرگاسون2( 1986) طراحي و اجرا شده است . آزمون فرگاسون شامل 30 پرسش است که 20 پرسش آن از MARS اقتباس شده است. به اعتقاد فرگاسون ده پرسش جديد ، به گونه اي است که مي تواند عامل ديگري را در اضطراب رياضي تحت عنوان اضطراب تجريد 3 اندازه گيري کند. در واقع به کمک اين ده پرسش جديد مي توان اضطراب ناشي از کارکردن و برخورد با مقولات مجرد و نمادهاي رياضي را در افراد به ويژه در مقاطع متوسطه ، مورد سنجش قرار داد.

او با انجام پژوهش نشان داده است که اضطراب تجريد نيز عاملي است که بايد در اندازه گيري اضطراب يا رياضي اشخاص به حساب آيد. مثلاً کار کردن با مجموعه ها متغيير ها و … x,y و پارامترها m,n,a,… به جاي اعداد در مقاطع ابتدايي و راهنمايي و حتي بالاتر يا نمادهايي مانند [IxI] و [x] يا کار کردن با انتگرال هاي دو گانه يا چند گانه و… مي توانند اضطراب آور باشند. شيوه هاي علمي کنترل و کاهش اضطراب رياضي به منظور بهره وري بيشتر و رشد رفتار رياضي افراد بديهي است پس از شناخت واقعيت هاي مربوط به حالات عاطفي و هيجاني و عمدتاً اضطراب رياضي و تأثيرشان بر عملکرد رياضي دانش اندوزان بايد راه کارهاي علمي مهار و کاهش آنها را شناسايي کرده و به طور مؤثر به کار گيريم. بديهي است که در اين ميان نقش سه گروه معلمان ؛ دانش آموزان و دانشجويان ؛ خانواده ها از جايگاه ويژه اي برخورداراست. البته سهم هر يک ونقشي که گروه هاي سه گانه در اين جايگاه ويژه اي برخوردار است. البته سهم هر يک ونقشي که گروه هاي سه گانه در اين مهم مي توانند ايفا کنند ، در مقطع هاي مختلف تحصيلي متقاوت است ، مثلاً در رياضيات مدرسه اي ، به ويژه سال هاي نخست فراگيري مفاهيم و مهارت رياضي ، معلمان و خانواده ها در مقايسه با دانش آموزان سهم عمده تري را در شناخت و کاهش تأثيرهاي هيجاني و تنش زا بر عهده دارند ؛ در حالي که در رياضيات دانشگاهي دانشجو اولويت و سهم بيشتري دارد. در هر صورت همکاري هاي مؤثر ومتقابل سه عنصر معلم ، دانش آموز و خانواده در قالب يک نگرش نظام دار مي تواند سازو کارهاي لازم را براي حذف موقعيت هاي هراس آور و اضطراب زا در انجام فعاليت هاي رياضي فراهم آورد. در اين زمينه توجه به نکات زير سودمند خواهد بود :

MOJTABA 77 · Apr 21, 2011

1- شناخت پديده هاي هيجاني و فشارهاي رواني ، به ويژه مقوله اضطراب ، در عرصه فعاليت هاي رياضي و تلاش براي مسلط شدن بر اين حالت ها به کمک راهکارهاي علمي . راسل در کتاب اميدهاي نو مي نويسد : بر خورد علمي با بلا و مصيبت دو حسن دارد ، يکي اينکه باعث مي شود شخص با ميل و اراده خودش آن را بپذيرد ؛ ديگر اينکه سبب خواهد شد عقل انسان در جستجوي وسايل تسکين آن بر آيد . بنابر اين برخورد علمي با پديده اضطراب رياضي از سوي همه گروه هاي ذينفع به ويژه شاگردان و انديشيدن و باور به امکان حل آن نيمي از موفقيت است.

2- توجه و برخورد علمي با تفاوت هاي فردي در ابعاد گوناگون ، به ويژه از سوي معلمان و والدين اين تفاوت ها مي تواند شامل سبک هاي مختلف شماختي " يادگيري " ظرفيت حافظه فعال ، فرايندهاي ذهني و پردازش اطلاعات ، دانش قبلي ، رجحان ها و انگيزش ها ، جنبه هاي عاطفي و رواني ، مؤلفه هاي فرهنگي – اقتصادي ، خانوادگي و جنس و… باشد.

3- تلاش براي ايجاد اعتماد متقابل بين معلمان و دانش اندوزان . نگارنده در طي نشست و گفتگويي که با جمعي از دانشجويان رياضي در يکي از دانشگاه هاي ايران داشت ؛ به ضرورت اعتماد متقابل ميان معلم و شاگرد ، به ويژه در ميان دختران دانشجو و در سال هاي اوليه ورود به دانشگاه ، به عنوان عاملي در کاهش افسردگي ها و نگراني ها پي برد.

4- تلاش براي ايجاد نگرش مثبت نسبت به رياضيات ، تقويت اطمينان رياضي در افراد ، لذت بخش ساختن فعاليت هاي رياضي و آشناسازي فراگيران با منافع و کاربرد هاي علوم رياضي در جامعه و ساير علوم بشري. متأسفانه تلقين هاي اجتماعي در همه جا از جمله جامعه خودمان به گونه اي است که افراد حتي از نخستين روزهاي آغاز رياضيات مدرسه با نوعي هراس مواجه هستند که اين هراس طبعاً اضطراب آور است. بنابر اين وحشت زدايي و مبارزه با پيشداوري هاي منفي و يأس آور همواره بايد مورد عنايت مربيان رياضي و والدين باشد. ايجاد جو ارعاب و وحشت نسبت به رياضيات نه تنها فراگيران را به تلاش هاي جدي تر وادار نمي کند ، بلکه با بر انگيختگي هاي نابهنجار ، آنان را دچار مشکلات جدي ونفرت از کار رياضي مي کند. از سوي ديگر ، تقويت باورهاي دانش آموز نسبت به قابليت ها و ظرفيت هايش واينکه هر فردي با هوش و توانايي هاي متعارف قادر به انجام نسبي کار رياضي است ، در ايجاد نگرش مثبت نسبت به رياضيات و مسرت بخش ساختن کلاس درس رياضي تأثيري جدي دارد.

5- شناخت دانش قبلي دانش آموز و رفع و ترميم کمبودهاي و مشکلات علمي فرد ، به ويژه به هنگام وارد شدن در عناوين جديد رياضي . اين عمل به نحو قابل ملاحظه اي موجب مي شود که فهم و يادگيري معنادار مفاهيم و مهارت هاي رياضي اتفاق افتد و از آموزش هاي غير معنادار و طوطي وار جلوگيري شود. به گفته اسکمپ (1989) يادگيري معنادار و احساس رضايت ناشي از آن بهترين پاداش براي فراگيران در فعاليت هاي رياضي است. آزوبل 1 معتقد است که براي آموزش بايد از محتواي دانش قبلي فرد آغاز کنيم با اين باور که واقعاً همه دانش آموزان ما يکسان نمي انديشند.

6- اصلاح شيوه هاي سنتي و متعارف سنجش رفتار رياضي ( امتحان ). شيوه کاغذ مدادي ، معمول ما براي اندازه گيري دانش آموزان و دانشجويان ، آن هم گاه با يک بار امتحان ، شايد نه عادلانه باشد و نه علمي . بلکه بيم و هراس ناشي از شرکت و توفيق در امتحان هاي رياضي همواره از آغاز سال تحصيلي ذهن و انديشه فرد را به خود مشغول مي کند و طبعاً بسياري از فراگيران را به سمتي سوق مي دهد که تنها موفقيت آنان را در اين امتحان هاي رسمي و خشک فراهم آورد. انجمن رياضي معلمان آمريکا در سال 1995 بولتني را تحت عنوان معيارهاي سنجش براي رياضيات مدرسه 2 منتشر کرده است که مطالعه و توجه به آنها براي معلمان رياضي خالي از فايده نخواهد بود.

7- اتخاذ شيوه آموزشي مناسب که اجمالاً مورد بحث قرار گرفت.

8-انتخاب آزاد دسته اي از مسائل و تکليف هاي رياضي براي درگير شدن فراگيران و هدايت آنان براي انتخاب مسائلي که هم جذاب باشد و هم چالش انگيز. اين کار براي فراگيران اين فرصت را ايجاد خواهد کرد که خود برگزينند و مسئوليت هاي انتخاب خويش را نيز برعهده گيرند ، با اين شرط که اين انتخاب ها نهايي نيستند و آنان خود بايد موجب رشد احساس قدرت و اطمينان رياضي شان بشوند. واگذاري امور پژوهش متناسب با توانايي هاي فراگيران و همسو با برنامه هاي درسي نيز از جايگاه بالايي در تعليم و تربيت رياضيات برخوردار بوده و افزايش مشارکت فعال فراگيران را به همراه خواهد داشت و از نگراني هايشان مي کاهد.

9- استفاده مناسب و بهينه از زمان درطول دوره تحصيل واراده براي کار و تلاش بيشتر. عدم تنظيم درست اوقات درسي وانباشته شدن مطالب براي روزهاي پاياني ترم بدون ترديد موجب افزايش نگراني واضطراب فراگيران خواهد شد. متأسفانه انباشتگي کتاب هاي درسي رياضي و غير رياضي در نظام آموزشي جديد ايران و زمان ناکافي و متناسب با حجم مطالب – در مقايسه با زمان نسبتاً فراخ نظام قبلي – براي آموزش و يادگيري ، هم معلمان و هم دانش آموزان را دچار نوعي اضطراب کرده است که طبعاً نقصان در عملکرد رياضي دانش آموزان را به همراه خواهد داشت.

10- تحسين و قدر شناسي همواره يکي از مشخصه هاي فعاليت هاي هنري است ، به طوري که همواره هنرمندان هر چند در ارائه ايده ها و کارهاي خود دچار نقصان و اشتباه باشند باز هم از سوي جمعي مورد حمايت وتحسين قرار مي گيرند ؛در حالي که معمولاً تلاش هاي دانشمندان و شايد فعاليت هاي خستگي ناپذير رياضي دانان کمتر مورد ستايش عمومي واقع مي شود ، زيرا طبيعتاً زيبايي و عظمت کار آنان معمولاً نامريي است . مطمئناً مي توانيم به عنوان يک مربي رياضي با ارائه زيبايي هاي نامرئي کار برخي از رياضي دانان و نيز کار خود دانش آموزان ، آنان را به انگيزش براي تلاش بيشتر و انديشيدن بهتر وادار نماييم و بسيارند دانش آموزاني که در انجام تکاليف رياضي خود از شيوه هاي ابتکاري و زيبا بهره مي گيرند. مورد تحسين قرارد دادن اين شيوه ها و بيان زيبايي هاي آنها بدون ترديد موجب تقويت اطمينان رياضي افراد مي شود و رضايت بخشي حاصل از اين ارزش گذاري بهترين انگيزش براي کار و تلاش بي دغدغه و هراس آور خواهد بود . به علاوه ، دانش آموزان درس هاي ارزشمندي را از نحوه کار و زندگي و تلاش رياضي دانان حرفه اي خواهند آموخت. رياضي دانان ازاين مزيت انتخاب برخوردارند که چگونه و با چه کساني کار کنند ، درک اين امر براي فراگيران حائز اهميت است که اين اجازه را بيابند که خودشان کار کنند و يا با دوست و دوستاني همکاري هاي مفيد علمي داشته باشند.

11- اصلاح و رفع اشتباهات درسي و علمي دانش آموزان در کلاس درس به کمک خود آنان و باطرح پرسش و پاسخ هاي مناسب وادار ساختن آنان به نوشتن بيشتر. واگذاري مسئوليت پيشرفت رياضي خوانها به خودشان امري است که امروزه بيش از پيش محققان آموزشي رياضي بر آن واقفند . در اين ميان آگاهي درست فراگيران از اشتباهات و بدفهمي هاي علمي در موقعيت هاي يادگيري و حل مسئله مي تواند به مثابه عاملي تعيين کننده در احساس مسئوليت براي رشد عملکرد رياضي آنان به حساب آيد. ضمن اينکه به خوداتکايي ، خودباوري واطمينان رياضي افراد نيزکمک سودمندي خواهد کرد. به علاوه محترم بودن فراگير در نزد هم کلاس ها و احساس ايمني و امنيت در کلاس ، خود عواملي کار آمد در اضطراب زدايي است.

12- انجام مصاحبه و مشاوره هاي علمي با يادگيرنده گاني که به نوعي در معرض ابتلا به اضطراب شديد رياضي و عدم اطمينان رياضي هستند. شايد بتوان مدعي شد که معلمان مجرب وکار آمد بهترين کساني هستند که مي توانند مورد اعتماد دانش آموزان و دانشجويان قرار گيرند و با شناخت مشکلات هيجاني و رواني آنان ، راه کارها اجرايي غلبه بر اين حالات را به کمک خود فراگيران بيابند و در تنش زدايي درسي آنان مؤثر افتند.

s70 · Apr 21, 2011

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

نمایش سرعت نور باسریهای ریاضی محض

دانشمندان بعضی از ثابتهای جهانی را توانسته اند بوسیله ی ریاضیات محض نشان دهند. مثلا عدد پی(....3/14) که به عدد یا ثابت ارشمیدس *معروف است توسط فرمول والیس نشا ن داده شده است** دانشمند دیگری بنام یعقوب برنولی*** نیز عدد e رابا فرمول
e= (1 + 1/n)n
که یک فرمول ریاضی محض است نشان داد با این اوصاف چرا سرعت نور ( ۲۹۹۷۹۲۴۵۸ متر در ثانیه در خلاء) چنین نباشد؟

به عقیده ی اینجانب سرعت نور را { به عنوان یک ثابت جهانی} نیزمی توان با ریاضیات محض از طریق روابط و معادلات ریاضی خالص ویا سریهای ریاضی نشان داد. اگر چه راهی دراز تا رسیدن به یک تساوی ریاضی جامع الشرایط برای سرعت نور پیش بینی می شوداما شخصا دوست دارم که نتیجه ی زحمات فعلی خود را در ارتباط با این عقیده به اطلاع پژوهشگران برسانم امیدوارم سرآغازی باشد برای رسیدن به یک تساوی ریاضی جامع الشرایط در بیان سرعت نور
پس توجه شما ر ا به تساویهایی که تا به حال بدست آورده ام جلب می کنم .
بیان سرعت نور با سریهای ریاضیّات محض:
1-در اولین تساوی همانطوریکه می بینید ارقام سرعت دقیق نور در خلاء را اگر در هم ضرب
کنیم حاصل را می توان با فاکتوریل نشان داد

9×!9=81×!8 = 8×5×4×2×9×7×9×9×2

2- در تساوی دوم از توان سوم اعداد برای نمایش سرعت نوراستفاده شده است.

C=۶۷۰^۳-۹۹^۳-۶^۳-۳^۳

۳- تساوی زیبای سوم با زحمت بیشتری بدست آمده است.در اینجا از توانهای ۲ استفاده شده است.از اولین عددتوان ۲ داخل پرانتزها به ترتیب ۴ بعد ۶ وبعد ۸ کم شده است.
پرانتزها به ترتیب ۴ بعد ۶ وبعد ۸ کم شده است.

(17^2 +18^2 +19^2 +20^2 )+(22^2 +23^24+2^2)+28^2=C
(1^2 +3^2 +6^2 )+(11^2 +12^2 +13^2 +14^2 )+

s70 · Apr 21, 2011

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

ارشمیدس در رشته ریاضیات از ظرفیتهای هوشی بسیار والا و چشمگیری برخوردار بود او منجنیقهای شگفت آوری برای دفاع از سرزمینهای خود اختراع کرد که بسیار سودمند افتاد او توانست سطح و حجم جسمهایی مانند کره، استوانه و مخروط را حساب کند و روش نوینی برای اندازه گیری در دانش ریاضی پدید آورد همچنین بدست آوردن عدد نیز از کارهای گرانقدر وی است او کتابهایی در باره خصوصیات و روشهای اندازه گیری اشکال و احجام هندسی از قبیل مخروط منحنی حلزونی و خط مارپیچ، سهمی، سطح کره «ماده غذایی» و استوانه می دانست علاوه بر آن او قوانینی در باره سطح شیب دار، پیچ اهرم و مرکز ثقل کشف کرد.
ارشمیدس در مورد خودش گفته ای دارد که با وجود گذشت قرنها جاودان مانده و آن این است «نقطه اتکایی به من بدهید، من زمین را از جا بلند خواهم کرد» عین همین اظهار به صورت دیگری در متون ادبی زبان یونانی از قول ارشمیدس نقل شده است اما مفهوم در هر دو صورت یکی است. ارشمیدس هم چون عقاب گوشه گیری و منزوی بود در جوانی به مصر مسافرت کرد و مدتی در شهر اسکندریه به تحصیل پرداخت و در این شهر دو دوست قدیمی یافت یکی کونون(این شخص ریاضیدان قابلی بود که ارشمیدس چه از لحاظ فکری و چه از نظر شخصی برای وی احترام بسیار داشت) و دیگری اراتوستن که گر چه ریاضیدان لایقی بود اما مردی سطحی به شمار می رفت که برای خویش احترام خارق العاده ای قائل بود.
ارشمیدس با کونون ارتباط و مکاتبه دائمی داشت و قسمت مهم و زیبایی از آثار خویش را در این نامه ها با او در میان گذاشت .
یکی از روشهای نوین ارشمیدس در ریاضیات به دست آوردن عدد بود وی برای محاسبه عدد پی، یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن روشی به دست داد و ثابت کرد که عدد محصور مابین 3.17 و 3.1017 است گذشته از آن روشهای مختلف برای تعیین جذر تقریبی اعداد به دست داد و از مطالعه آنها معلوم می شود که وی قبل از ریاضی دانان هندی با کسر های متصل یا مداوم متناوب آشنایی داشته است.
در حساب روش غیر عملی و چند عملی یونانیان را که برای نمایش اعداد از علائم متفاوت استفاده می کردند، به کنار گذاشت و پیش خود دستگاه شمارشی اختراع کرد که به کمک آن ممکن بود هر عدد بزرگی را بنویسیم و بخوانیم.
دانش تعادل مایعات بوسیله ارشمیدس کشف شد و وی توانست قوانین آنرا برای تعیین وضع ))تعادل اجسام غوطه ور به کار برد.
همچنین برای اولین بار برخی از اصول ««مکانیک را به وضوح و دقت بیان کرد و قوانین اهرم را کشف کرد.
در سال 1906 ج.ل. هایبرگ مورخ دانشمند و متخصص تاریخ ریاضیات یونانی در شهر قسطنطنیه موفق به کشف مدرک با ارزشی شد. این مدرک کتابی است به نام قضایای مکانیک و روش آنها که ارشمیدس برای دوست خود اراتوستن فرستاده بود. موضوع این کتاب مقایسه حجم یا سطح نامعلوم شکلی با احجام و سطوح معلوم اشکال دیگر است که بوسیله آن ارشمیدس موفق به تعیین نتیج مطلوب می شد. این روش یکی از عناوین افتخار ارشمیدس است که ما را مجاز می دارد که وی را به مفهوم صاحب فکر جدید و امروزی بدانیم، زیرا وی همه چیز و هر چیزی را که استفاده از آن به نحوی ممکن بود به کار می برد تا بتواند به مسائلی که ذهن او را مشغول می داشتند حمله ور گردد دومین نکته ای که ما را مجاز می دارد که عنوان متجدد به ارشمیدس بدهیم روشهای محاسبه اوست. وی دو هزار سال قبل از اسحاق نیوتن و لایب نیتس موفق به اختراع حساب انتگرال شد و حتی در حل یکی از مسائل خویش نکته ای را به کار برد که می توان او را از پیش قدمان فکر ایجاد حساب دیفرانسیل دانست.
زندگی ارشمیدس با آرامش کامل می گذشت همچون زندگی هر ریاضیدان دیگری که تامین کامل داشته باشد و بتواند همه ممکنات هوش و نبوغ خود را به مرحله اجرا درآورد زمانی که رومیان در سال 212 قبل از میلاد شهر سیراکوز را به تصرف خود درآوردند سردار رومی مارسلوس دستور داد که هیچ یک از سپاهیانش حق اذیت و آزار و توهین و ضرب و جرح این دانشمند ومتفکر مشهور و بزرگ را ندارند با این وجود ارشمیدس قربانی غلبه رومیان بر شهر سیراکوز شد او به وسیله یک سرباز مست رومی به قتل رسید و این در حالی بود که در میدان بازار شهر در حال اندیشیدن به یک مسئله ریاضی بود، می گویند آخرین کلمات او این بود: دایره های مرا خراب نکن. به این ترتیب بود که زندگی ارشمیدس بزرگترین دانشمند تمام دوران ها خاتمه پذیرفت این ریاضیدان بی دفاع 75 ساله در 278 قبل از میلاد به جهان دیگر رفت.

s70 · Apr 21, 2011

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

سياه چاله ها در دنيای اعداد

در طبيعت هرگاه اشيا به سمت شي بخصوصي كشيده شده و در آن جذب شوند ( نا پديد شوند) به آن شي سياهچاله گويند.

اعداد هم سياهچاله هاي فراواني دارند . كه به اختصار در مورد آن صحبت مي كنيم .
همان طور که مي دانيد سياه چاله ها به مکان هايي در فضا گفته مي شود که همه سياره ها و ستاره هاي اطرافشان را به درون خود مي کشند . شايد باورتان نشود حتي نور را هم به سمت خود جذب ميکنند ! راستي ! در فضاي بي کران رياضيات هم ،سياه چاله داريم ...

هرگاه هر عدد طبق رابطه خاصي بصورت سري ادامه پيدا كند و در انتها براي هر عدد به ارقام مشترك برسيم به ارقام مشترك سياهچاله گويند.
قبل از آشنايي با مفهوم سياه چاله ها بياييد بازي زير را انجام دهيم :

1- عدد دلخواه در نظر بگيريد.
2- تعداد ارقام آن و تعداد ارقام زوج وهمچنين تعداد ارقام فرد آن را کنار هم بنويسيد . ( مثلاً اگر عدد 1479386 را در نظر بگيريم عدد 734 به دست مي آيد . )
3- اکنون براي عدد به دست آمده ، دوباره تعداد ارقام و تعداد ارقام زوج و تعداد ارقام فرد را به ترتيب کنار هم بنويسيد ( مثلاً براي عدد 734 در بالا ، عدد 312 به دست مي آيد . )
4- توجه کنيد که اگر عدد،رقم زوج يا رقم فرد نداشت بجاي آن صفر بگذاريد وعدد صفررابعنوان عدد زوج به حساب بياوريد .

چندين بار عمليات بالا را تکرار نمائيد . چه اتفاقي افتاد !؟

اعداد دلخواه ديگري در نظر بگيريد و همين عمليات را چندين بار تکرار کنيد .......
آيا به نتيجه خاصي رسيديد ! ؟
بله دوستان ، درست حدس زديد . بعد از چندين بار تکرار اين عمليات هميشه به عدد 312 مي رسيم .
حالا بياييد براي اعداد يک رقمي هم همين کار را انجام دهيم مثلاً براي اعداد 7 و 13 .
قشنگ بود ، نه !
مثال ::: سياهچاله 1

ارقام 1 - 2 - 4 با رابطه زير يك سياهچاله است .

عددي در نظر گرفته اگر زوج بود آن را بر 2 تقسيم كنيد و گرنه آنرا در 3 ضرب كرده و با 1 جمع مي كنيد سپس اين كار را باز ادامه دهيد و ....

هر عددي كه ابتدا در نظر گرفته باشيد در آخر با اين رابطه به ارقام 1 - 2 - 4 مي رسيم .

مثلا عدد 10

1 ------- 2 -------- 4 -------- 8 -------- 16 -------- 5 -------- 10

قابل توجه دوست داران رياضي اين سياهچاله يكي از معروفترين سئوالات رياضي است كه تقريب 80 سال است که نه كسي آنرا به اثبات رسانيده يا مثال نقضي براي آن پيدا كرده است .

MOJTABA 77 · Apr 21, 2011

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

عمل كاپركار

در سال 1949 رياضي‌دان هندي به نام كاپركار(D.R.Kaprekar)به نتيجه ي جالبي پي برد كه به"عمل كاپركار" مشهور شد. او يك عدد چهار رقمي دلخواه كه در آن تمامي رقم‌ها يكسان نبودند را انتخاب كرد،سپس بزرگ‌ترين و كوچك‌ترين عدد چهار رقمي كه با رقم هاي آن عدد ساخته مي شد را تشكيل داد و تفاضل آن ها را به دست آورد.براي عدد حاصل نيز همين روند را تكرار كرد و پس از چند مرحله درنهايت به عدد 6174 رسيد.

فرض كنيد با عدد 2005 شروع كنيم. بزرگ‌ترين عدد چهار رقمي كه با ارقام 2005 مي‌توان ساخت عدد 5200 و كوچك‌ترين،عدد 0025 يا همان 25 مي‌باشد.در اين جا عمل كاپركار به صورت زير است:

5175=0025-5200
5994=1557-7551
5355=4599-9954
1998=3555-5553
8082=1899-9981
8532=0288-8820
6174=2358-8532
6174=1467-7641

مشاهده مي‌كنيد كه وقتي به 6174 مي‌رسيم نتيجه تكرار مي شود و درهر بار تكرار به 6174 مي‌رسيم.عدد 6174 را "هسته ي عمل كاپركار" مي‌ناميم. اجازه دهيد با يك عدد ديگر،نتيجه ي بالا را امتحان كنيم.

عدد 1789 را درنظر بگيريد:

8082=1789-9871
8532=0288-8820
6174=2358-8532

دوباره به عدد 6174 مي‌رسيم.

امّا در مورد اعداد سه رقمي نيز نتيجه اي مانند نتيجه ي فوق صادق است. عمل كاپركار را براي عدد سه رقمي 753 انجام مي‌دهيم:

396=357-753
594=369-963
495=459-954
495=459-954

با انجام اين عمل بر روي هر عدد سه رقمي به 495 خواهيم رسيد.عدد 495 "هسته‌ي عمل كاپركار" براي اعداد سه رقمي است.

M_vulture · May 7, 2011

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

ریاضیدانان بزرگ معمولاً سرگذشتی غیر داستانی دارند. یا به طور دقیق تر ، داستان زندگی آنها را نوآوری ها و دستاوردهای ریاضیاتیشان تشکیل می دهد که غیر ریاضیدان ها به سختی می توانند آن را درک کنند. بزرگترین استثناء در این قاعده ، اواریست گالوا است. آنچه از زندگی گالوا می دانیم بیشتر شبیه به یک داستان رمانتیک و بلکه تراژدی است. زیرا در تراژدی حتماً نباید قهرمان داستان به طرز فجیعی کشته شود بلکه تراژدی را می توان به عنوان سرکوب نمودن نبوغ یک نابغه و در نظرنگرفتن و توجّه نکردن به او نیز دانست.

اواریست گالوا را حتّی کسانی که دستی بر ریاضیات دارند هم ، نمی شناسند چه رسد به افراد عادّی که بیشتر ریاضیدانان بزرگ و مشهوری چون نیوتن و اویلر و ... ر می شناسند. اواریست گالوا را حتّی دانشجویان ریاضی هم به خوبی نمی شناسند.

در یکی از روزهای سال 1811 میلادی ، در نزدیکی پاریس ، پسری به دنیا آمد که او را "اواریست" نام نهادند. چون والدین پسر ، خود، افرادی تحصیل کرده بودند ، تا سنّ 12 سالگی نزد مادرش به تحصیل و فراگیری علم پرداخت. پس از آن به مدرسه رفت. در دروس عادّی مدرسه دانش آموزی متوسّط بود. امّا هنگامی که کتاب اثر «لژاندر» به دستش رسید و آنرا مطالعه کرد به شدّت تحت تأثیر قرار گرفت. می گویند که او این کتاب را مانند یک کتاب داستان عادّی خوانده است و فقط با یک بار مطالعه آن ، بر مطالب کتاب احاطه کامل یافته است. از همین جا بود که با کارهای ریاضیدانان بزرگی چون لاگرانژ و آبل آشنا شد و آنها را مطالعه کرد. هنگامی که 15 ساله شد، خودش به تنهایی یک خواننده حرفه ای آثار ریاضی بود و کشف کردن در دنیای ریاضی را آغاز کرد و به کشفیّات مهمی نیز دست یافت. در آن سنّ و سال کم و بدون بهره بردن از هیچ تحصیلات عالی رسمی ، گالوا قادر بود به کشفیّاتی برسد که او را به شهرتی جاودانه در دنیای ریاضیات برساند. شهرتی که هیچ گاه طعم آنرا در زمان حیاتش نچشید.

"دوپوی" در جمله ای راجع به شرح حال گالوا می گوید:

« کتاب های جبر مقدّماتی هرگز گالوا را قانع نکرد زیرا در آنها جای پایی از مکتشفین نمی یافت. درست از اوّلین سال ریاضی به لاگرانژ روی آورد. »

دست نوشته هایش از نظم و ترتیب خوبی برخوردار نبود و به دلیل ذهن نیرومندی که داشت بیشتر محاسبات ریاضی را به صورت ذهنی انجام می داد و فقط نتایجش را یادداشت می کرد. مقالات و مطالبی که می نوشت مانند اکثر مقالات ریاضیدانان قرن هجدهم ، خلاصه و بی ترتیب بودند. سبک نوشتنی که در ریاضی نویسی امروزی ، کاملاً نامأنوس و نامرسوم است.

مدرسه پلی تکنیک پاریس ، مدرسه ای بود که ریاضیدانان بزرگی در آنجا تربیت شده بودند و دو بار تلاش گالوا برای ورود به این مدرسه، ناکام ماند. گالوا خود به خوبی می دانست که از بسیاری از کسانی که پذیرفته شده بودند ، شایستگی بهتری دارد. امّا او ناامید نشد و خود به مطالعه ریاضی پرداخت. به عقیده بسیاری از ریاضیدانان بزرگ ، پذیرفته نشدن گالوا در مدرسه پلی تکنیک پاریس ، خُسران زیادی برای علم ریاضیات به همراه داشته است.

کشفیّات اساسی او در معادلات چند جمله ای بود که در سال 1829 برای اوّلین بار ، طی مقاله ای ، آنها را به آکادمی علوم پاریس فرستاد. کسی که مقالات ارسالی به آکادمی را از نظر علمی ، قضاوت و داوری می کرد ، "آگوستن لویی کُشی" بود. کُشی ریاضیدان بزرگ و ماهری بود و این توانایی را داشت که بتواند با مطالعه مقاله گالوا ، آنرا بفهمد و به ارزش کشفیّات او پی ببرد. امّا در این بین ، کُشی ، مقاله گالوا را گم کرد و دیگر نتوانست آن را پیدا کند. شاید این گم شدن مقاله را بتوان به حساب بدشانسی خود گالوا گذاشت!!

بعد از این ماجرا ، گالوای شجاع ، کارهایش را در مسابقه سال 1830 جایزه بزرگ آکادمی در ریاضیات شرکت داد. مقاله گالوا بدون شک باید برنده این جایزه می شد. امّا این بار هم بخت با گالوا یار نبود زیرا "فوریه" که منشی آکادمی بود ، مقاله گالوا را با خود به خانه برد و به طور ناگهانی پیش از خواندن آن فوت کرد و مقاله گالوا دوباره گم شد!!

گالوا نسخه دوّم مقاله اش را به آکادمی فرستاد. این بار قضاوت درباره مقاله ، بر عهده "پواسون" بود. هنگامی که پواسون مقاله گالوا را مطالعه کرد ، در حاشیه یکی از برهان های گالوا ، یادداشتی به این مضمون نوشت:

« برهان این هم ناکافی است امّا بنابر بخش 100 از مقاله آقای لاگرانژ ، برلین ، 1771 ، درست است. »

چه اتّفاقی افتاده بود ؟ مگر می شود برهان یک قضیه ، ناکافی امّا درست باشد ؟

گالوا در یادداشتی دست نویس به پواسون پاسخ داد : « اثبات خواهد شد. »

شاید منظور گالوا ، چیزی شبیه به "آن بماند تا ببینیم" بوده است. با این حال منظور گالوا این بوده است که " لطفاً به بررسی بقیه قسمت های مقاله بپردازید تا من برهان را در آینده کامل کنم. "

امّا پواسون در گزارش خود به آکادمی از مقاله گالوا به عنوان یک کلّیت یاد کرده و می نویسد:

« ما تمام کوشش خود را برای درک برهان آقای گالوا به کار بردیم ، امّا استدلال های ایشان به اندازه کافی روشن نیست و به اندازه کافی پرورانده نشده اند تا م بتوانیم درباره درستی آنها قضاوت کنیم ... »

پواسون امیدوار بود که گالوا به اصلاح و توسعه کار عرضه شده خویش بپردازد تا بتواند برهان کاملتری را به آکادمی ارائه دهد. امّا گالوا می دانست که برهانهایش درست هستند و به علاوه ، دانش و درک او از جبر ، بسیار فراتر از دانش کسانی است که مقاله او را داوری می کنند.

واقعیّت نیز همین بود که داوران آکادمی ، دانش و توانایی فهمیدن استدلال های گالوا را نداشتند. از طرف دیگر ، سنّ کم گالوا که در آن زمان فقط 19 سال داشت و مواجه شدن داوران با دست نوشته ای نا مفهوم و همچنین اعتقادات ضدّ دولتی گالوا ، همه و همه دست به دست هم داده بودند تا مقاله گالوا مورد تأیید آکادمی علوم پاریس قرار نگیرد. به طوری که پواسون در انتهای گزارش خود به آکادمی می نویسد:

« به صورتی که در حال حاضر مقاله به آکادمی ارائه شده ، نمی توانیم تصویب آنرا به شما توصیه کنیم. »

و این یعنی مقاله گالوا رد شده است.

پس از رد شدن مقاله توسط پواسون، گالوا به شدّت ناراحت و تلخ کام شد و بعد از آن برای پروراندن مقاله خود و قابل فهم تر ساختن آن چنانکه پواسون می خواست ، ابداً هیچ کوششی نکرد.

به خاطر این وقایع یا به خاطر آنکه پدرش طرفدار جمهوری بود ، گالوا به انتقاد شدید از رژیم بوربونها دست زد و به گارد ملّی فرانسه یعنی سازمان جمهوری خواهان پیوست. در این زمان ، فرانسه ، سخت گرفتار آشوبهای سیاسی بود. گالوا به خاطر فعالیّت های سیاسی اش محاکمه شد و به عنوان زندانی سیاسی ، چند ماهی را در زندان گذراند.

پس از آزادی از زندان در سال 1832 ، گرفتار عشق دختری عشوه گر شد. امّا گالوای بدشانس در بازی عشق نیز شانس نیاورد و بر سر دستیابی به این دختر ناگزیر به انجام یک دوئل مرگبار شد.

شب قبل از آن دوئل مرگ آفرین ، نامه ای به دوستش "ژوزف لیویل " می نویسد و در آن ، ناگفته ها و یافته های ریاضی اش را به اختصار شرح می دهد و از او می خواهد تا توجّه جهان ریاضی را به اهمیّت کارهایش جلب کند. او حتّی در این نامه از ژاکوبی یا گاوس درخواست می کند که نظرشان را نه در مورد اهمیّت این قضایا ، بلکه در مورد اهمیّت آنها ، بیان کنند.

جمله معروف " من وقت ندارم " را گالوا در یک یادداشت حاشیه ای ، احتمالاً در شب قبل از دوئل ، در ارتباط با برهان گزاره دوّم خود که گفته است نیاز به تکمیل شدن دارد ، نوشته است. چون دیگر وقت کافی برای تکمیل آن برهان نداشت. گرچه در ابتدا ، اثباتش غلط به نظر می رسد.

او درباره دوئلی که فردای آن شب جان او را گرفت نیز می نویسد:

« من قربانی یک زن عشوه گر گمنام شده ام... این یک نزاع اسف بار است که جان مرا می ستاند ... آه! چرا باید برای یک چیز بی ارزش بمیرم ... »

سرانجام ، دوئل در 25 قدمی صورت گرفت. تیر به شکم گالوای بدشانس خورد و به زمین افتاد. ساعت ها در آنجا ماند تا آنکه دهقانی که از آنجا عبور می کرد ، او را به بیمارستان برد.گالوا روز بعد ، یعنی 31 مه 1832 در سنّ 20 سالگی فوت کرد و در بخش عمومی قبرستان مونت پارناس به خاک سپرده شد.

14 سال پس از مرگ گالوا یعنی در سال 1846 ، طرفداران اندکش موفق شدند مخاطبینی برای کارهایش پیدا کنند و به عمق کشفیات او تا حدودی دست یابند. قسمتی از نوشته هایش توسط ژوزف لیویل در مجله ریاضیات به چاپ رسید.

لیویل در اطلاعیه پیش از چاپ کارهای گالوا ، وقتی که فهمیده بود روش هاس گالوا درست بوده اند و می توان قضیه هایش را با دقّت زیاد اثبات کرد ، از آن به عنوان "یک لذّت جاوید در زندگی اش" یاد می کنند. پس از آن ، شناسایی و درک اهمیّت فراوان کارهایش به سرعت آغاز و احترام به گالوا بیشتر شد. شهرت گالوا 14 سال پس از مرگش آغاز شد. به طوری که در حال حاضر یکی از بزرگترین ریاضیدانان خلاّق تمام عصرها به شمار می آید.

او زنده نماند تا به گسترش عمیق تر کاربردها و توسعه ی نظریه خود که بعدها "نظریه گالوا" نام گرفت ، بپردازد. نظریه گالوا امروزه یکی از مباحث مهم و پرکاربرد جبر مجرد و نظریه گروه ها است. حتّی امروز ، ریاضیات در اثر حادثه غم انگیزی که برای او روی داده است ، احتمالاً بضاعت کمتری دارد.

s70 · May 28, 2011

ساعتی فقط با عدد 9

ساعتی فقط با عدد 9

ali561266 · Jun 8, 2011

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

http://salijoon.ws/

در ۱۳۲۸ خورشیدی، ریاضیدان هندی، Kaprekar، فرآیندی را ابداع کرد که به عملیات Kaprekar شهرت یافت.
در این عملیات، ابتدا عددی ۴ رقمی بایستی انتخاب شود؛ با این شرط که تمام ارقام با یکدیگر یکسان نباشند (مثلا، انتخاب اعدادی مانند ۷۷۷۷ یا ۵۵۵۵ و … نقض شرط است). پس از انتخاب عدد، بایستی ارقام آن عدد را به صورت بزرگترین و کوچکترین عدد مرتب کنیم. مثلا، اگر عدد ۸۴۵۷ را انتخاب کردید، بزرگترین ترتیبش می‌شود: ۸۷۵۴ و کوچکترین ترتیب نیز می‌شود: ۴۵۷۸٫ سرانجام، بایستی این دو عدد را از یکدیگر کم کنیم تا عددی جدید به دست آید و این مرحله را تکرار کنیم.
عملیات ساده‌ای است، اما Kaprekar متوجه موضوعی شگفت‌انگیز شد. اجازه دهید این عملیات را با عدد ۱۳۹۰ امتحان کنیم.

وقتی که به عدد ۶۱۷۴ رسیدیم و اگر بخواهیم عملیات را ادامه دهیم در هر خط دوباره به عدد ۶۱۷۴ می‌رسیم. اجازه دهید این بار با عددی دیگر، مثلا با ۶۵۱۷ این عملیات را بررسی کنیم.

عملیات اندکی طولانی‌تر می‌شود اما باز به همان نتیجه رسیدیم؛ یعنی عدد ۶۱۷۴٫ اگر اعداد دیگر را نیز امتحان کنید همواره به ۶۱۷۴ خواهید رسید؛ این همان اتفاق عجیبی بود که Kaprekar آن را کشف کرد.

این عملیات حداکثر ممکن است ۷ مرحله تکرار شود. بیشتر اعداد ۴ رقمی بدون ارقام تماما یکسان (۲۱۲۴ عدد) سه مرحله‌ای به ۶۱۷۴ می‌رسند، پس از آن ۱۹۸۰ عدد ۷ مرحله‌ای به این نتیجه می‌رسند.

مشابه این نتیجه‌ی منحصر به فرد تنها در اعداد سه رقمی تکرار شده است. بدین صورت که اگر همین عملیات را برای اعداد سه رقمی تکرار کنیم همواره به ۴۹۵ می‌رسیم.

منبع: math.org

مي مو · Jun 17, 2011

مردی که دنیایش <عدد پی> بود

مردی که دنیایش <عدد پی> بود

معمولاً فقط برای ریاضیدان ها و مهندس ها عدد پی جزء اولویت های زندگی، آن هم نه اولویت های مهم بلکه اولویت های درجه دوم یا سوم است و سایر مردم حداکثر آن را در حد دروس مدرسه، با عدد ۱۴/۳، یا کم حافظه ترها با عددی حول و حوش ۳ به یاد می آورند.

اما برای آکیرا هاراگوچی عدد پی چیزی بیش از یک عدد صرف است. او می گوید عدد پی در واقع مرگ او در زندگی و تجسم دنیای معنای ورای دنیای ظاهر و در یک کلام معنای دنیای پیرامون است، درست است که کامپیوتر توانسته رقم اعشاری عدد پی را تا یک میلیارد رقم محاسبه کند اما این محاسبه نشان داده است که اعداد اعشار عدد پی از هیچ نظم و قاعده مشخصی پیروی نمی کند و در واقع هیچ دسته عددی در آنها نیست که تکرار شود، با این وجود آقای هاراگوچی که یک مهندس شصت و یک ساله بازنشسته ساکن شهر شیبای ژاپن است بیش از بیست سال وقت گذاشته است تا اعداد اعشار عدد پی را تا یکصد هزار رقم به خاطر بسپارد و در نهایت نمایش تکرار این یکصدهزار عدد در مقابل چشم تماشاگران با چک شدن آن توسط کامپیوتر به یک نمایش باشکوه بدل شد، نمایشی که نام او را در کتاب رکوردهای گینس ثبت کرد، اما این مرد می گوید هدفش از این همه تلاش صرفاً ثبت نامش در کتاب رکوردها نبوده است و او هدفی متعالی تر از این داشته است.

تلاش های قبلی او (شمردن عدد پی تا پنجاه هزار اعشار در سپتامبر ۲۰۰۴ و تا هشتاد و چهار هزار رقم اعشار در جولای ۲۰۰۶) در کتاب رکوردهای گینس ثبت نشد اما او بالاخره با تکرار این عدد یکصد هزار و دو رقمی نامش را در کتاب رکوردها وارد کرد. تکرار این ارقام توسط او شانزده ساعت و بیست دقیقه به طول انجامید.

او پس از ثبت این رکورد گفت؛ «طی این سال ها قاعده خاصی برای به خاطر سپردن این ارقام در ذهنم ایجاد کرده ام، اگرچه این عدد نامنظم است اما من توانسته ام در ذهنم به آن نظمی بدهم.» هاراگوچی می گوید که در سنین کم، علاقه مند به ماوراء الطبیعه شد و این گونه بود که تمام اوقات خود را صرف مطالعه کتاب های مذهبی و فلسفی کرد، او در نهایت به این نتیجه رسید که می توان جهان ماورا را در طبیعت حس کرد. او می گوید؛ «من به این نتیجه رسیدم که طبیعت از خطوط مستقیم شکل نگرفته است بلکه همه چیز در این جهان در واقع در یک مسیر دورانی است، این دوران و این حرکت در مسیر دایره یی رمز طبیعت است.» او می گوید با همین فلسفه عدد پی سمبل زندگی است، سمبل طبیعت و موجودات و زندگی ابدی و اما او چگونه توانسته این اعداد را حفظ کند؟

وی شیوه یی منحصر به فرد را برای این کار در پیش گرفته، در واقع برای هر عدد یک حرف جایگزین کرده و سپس با این حروف شعرهایی ساخته و در نهایت این شعر را که در هر کتاب است حفظ کرده است. او می گوید طی بیست سال تمام اوقات فراغت خود را صرف به خاطر سپردن این ارقام کرده است و به خصوص هر شب قبل از خواب چند ساعت را به این کار اختصاص داده است.

هاراگوچی عقیده معمول را که حافظه با بالارفتن سن نقصان می یابد رد می کند و می گوید؛ هرچه سن من بالاتر رفت کارم راحت تر شد، در واقع هرچه سنم بالاتر رفت حافظه بیشتر یاری ام کرد و کارم راحت تر شد... و این را هم بگویم که این تمرین باعث شد حافظه من در همه جهات رشد کند و بتوانم خیلی چیزهای دیگر را در ذهنم داشته باشم.

ro0zhin · Jul 10, 2011

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

ا اینكه مدت‌هاست «پی» به عنوان مهمترین عدد جهان شناخته شده، اما ریاضیدانان اكنون به این نتیجه رسیده‌اند كه دیگر «پی» باید جایگاه خود را تعویض كند.

به گزارش سرویس علمی خبرگزاری دانشجویان ایران (ایسنا)، به ادعای كارشناسان دانشگاه لیدز،‌ عدد پی كه از عددهای ثابت ریاضی و نشان دهنده نسبت محیط دایره به قطر آن است، اشتباه بوده و باید با یك ارزش دیگر موسوم به «تاو» (tau) جایگزین شود.

به گفته ریاضیدانان با اینكه ارزش 3.14159265 برای پی نادرست نیست، اما بنا به ادعای آنها این عدد شاخص متناسبی برای خصوصیات دایره نیست.

آنها همچنین از هم اكنون در حال مبارزه برای بازنویسی كتاب‌های مدارس و جایگزینی عدد تاو هستند كه از ارزشی دوبرابر پی - در حدود 6.28 - برخوردار است. در مسیر این مبارزه، آنها 28 ژوئن (28/6) مصادف با هفتم تیرماه را روز تاو نامگذاری كرده‌اند.

از مدت‌ها پیش این عدد به عنوان اصلی اساسی برای بسیاری از فرمول‌های ریاضی و همچنین اصلی بسیار حیاتی در معادلات علوم و مهندسی به شمار می‌رود.

از عدد پی برای محاسبه محیط یك دایره با ضرب قطر در این عدد استفاده می‌شود. این در حالی است كه برای استنباط مساحت آن باید عدد پی را ضرب در مجذور شعاع آن كرد.

از سویی ریاضیدانانی كه خواهان تعویض این عدد با دوپی یا تاو هستند بر این گفته پافشاری می‌كنند كه از آنجایی كه بسیاری از فرمول‌ها نیازمند استفاده از عدد تاو هستند، باید از این عدد به عنوان عدد ثابت اصلی دایره استفاده كرد.

به گفته این دانشمدان، ریاضیدانان زوایا را با درجه اندازه‌گیری نكرده بلكه از واریان برای سنجش استفاده می‌كنند و در یك دایره رادیان‌های دوپی وجود دارند.

این مساله منجر به پریشانی بسیار در ریاضی می‌شود. اگر تنها یك چهارم دایره را در نظر بگیریم، اندازه آن با یك چهارم رادیا‌نهای دوپی یا نیمی از پی سنجیده می‌شود. برای سنجش تعداد رادیان‌ها در سه چهارم دایره باید فكر كرد و اندازه آن به شكل ساده قابل اندازه‌گیری نیست. اما مورد تاو این مساله فرق دارد. در این حالت، دایره از رادیانهای تائو برخوردار بوده و یك نیم دایره با نیم تاو، یك چهارم دایره با یك چهارم تاو و به همین شكل اندازه گیری می‌شوند.

عدد پی كه از حروف اول كلمه یونانی به معنی محیط گرفته شده در ابتدا در سال 1706 به وسیله ویلیام جونز به این نام خوانده شد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است.

در قرن نهم هجری دانشمند وریاضی دان ایرانی غیاث‌الدین جمشید کاشانی عدد پی را تا شانزده رقم اعشار محاسبه کرده بود به نحوی که تا صد و پنجاه سال بعد کسی نتوانست آن را گسترش ده

آیورودا · Aug 13, 2011

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

گفته میشود که انسانها تنها از 10 درصد قدرت فکر خود استفاده میکنند و تفاوت بین نوابغ و افراد معمولی تا حد زیادی به این مسآله برمیگردد.

با بهکارگیری 64 روشی که در ذیل شرح داده شده میتوانید میزان یادگیری خود را چند برابر کنید. توصیه میشود این روشها را با فونت بزرگ چاپ کرده و روی دیوار اتاقاتان نصب کنید طوری که هر روز آن را ببینید.

این 64 روش در ده بخش ارائه میشود شامل:

سلامت

1- هنگام مطالعه پای خود را حرکت دهید.

در طول مطالعه و نشستن در یک مکان برای مدت طولانی، پای خود را هر چند وقت یکبار به سمت بالا و پایین تکان دهید. این کار موجب افزایش جریان خون شده و یادگیری و تمرکز را افزایش میدهد.

2- برای فکر کردن غذا بخورید.

خوردن صبحانه بسیار ضروری است زیرا پروتئین مغز را تامین میکند. کمبود پروتئین برای مغز باعث سردرد میشود.

3- ناهار سبکی بخورید.

ناهار سنگین باعث خواب آلودگی میشود اگر بعد از ناهار فرصت خوابیدن ندارید، سعی کنید ناهار سبکی انتخاب کنید.

4- از داروهای تقویت حافظه استفاده کنید.

داروی گیاهی ژینکگو بیلوبا - که باعث افزایش جریان خون در مغز میشود - بدون عوارض جانبی در بازار موجود است.

تعادل

5- از اضطراب و افسردگی به دور باشید.

استرس و ناراحتی باعث کاهش یادآوری اطلاعات میشود و از این رو کاهش قدرت یادگیری میشود. گاهی اتاق روشنتر و خوردن غذاهای طبیعی بیشتر باعث افزایش شادابی و آرامش میشود.

6- برای ارائهی ایدهی جدید بخوابید!

7- بین مطالعه استراحت کنید.

تغییر وضعیت روحی و جسمی باعث مشخص شدن استرسهایی میشود که در حال مطالعه بر ما حکمفرما شدهاند و ما از آنها بیخبریم. مطالعه همراه با استراحتهای هرچند کوتاه بسیار مفیدتر از مطالعهی طولانی بیوقفه است. برای این منظور، به ازای هر 90 دقیقه مطالعه، 20 دقیقه استراحت داشته باشید.

8- حین مطالعه در فواصلی پیادهروی هم داشته باشید.

پیادهروی و قدم زدن هر چند کوتاه باعث تغییر تمرکز ذهن شده و به ذهن مجال بازآوری مطالب و خلاقیت را میدهد.

9- موضوع مورد تمرکز خود را تغییر دهید.

گاهی که فرصت کافی برای استراحت و تجدید قوا ندارید، میتوانید نقطهی تمرکز خود را از یک موضوع خاص به موضوعی که با آن آشناتر هستید تغییر دهید.

تمرکز و خط فکری

10- موضوع مورد تمرکز خود را تغییر دهید.

3 راه مختلف برای یادگیری وجود دارد: دیداری، شنیداری و حرکتی. اگر در یکی از آنها موفق نیستید، دیگر راهها را امتحان کنید.

11- پیادهروی همراه با مدیتیشن.

پیادهروی که در قسمت قبل توضیح داده شد، اگر همراه با مدیتیشن باشد بسیار مفید است.

12- تمرکز کنید و خودتان را در مطالعه غرق کنید.

حین مطالعه، از تماشای تلویزیون و نگرانی در مورد کارهای دیگر پرهیز کنید. نگرانی مانع دریافت اطلاعات و ایدهها میشود.

13- اگر علاقهای به انجام مدیتیشن ندارید، چراغها رو خاموش کرده و وسط اتاق تاریک خود بنشینید.

این کار به تمرکز شما میافزاید.

14- دوش بگیرید. دوش و حمام کردن به یادگیری کمک میکند.

این کارها ذهن شما رو برای دریافت ایدههای هوشمندانه آمادهتر میکند.

15- به موسیقی گوش دهید.

اگر مطلبی را حین گوش کردن به قطعهای از موسیقی خاص یاد بگیرید، بعدها، گوشکردن و یا مرورکردن ذهنی آن قطعه به یادآوری مطلب کمک شایانی میکند.

16- تندخوانی کنید.

خیلیها عقیده دارند که تندخوانی باعث از قلم افتادن مطالب مهم شود. واقعیت این است که تندخوانی باعث ***** شدن مطالب بی ربط و فرعی شده و به درک ایدههای اصلی نوشتار کمک میکند. کندخوانی فقط برای مطالب جدید و تخصصی پیشنهاد میشود.

17- از علامتها و نمادها برای حفظکردن مطالب استفاده کنید.

ترفندهای زیادی برای به خاطر سپردن اطلاعات حفظی وجود دارد. علامتهای اختصاری و شکلهای نمادین نمونههایی از این ترفندها هستند.

تکنیک دیداری

18- تصویری از مطلب مورد مطالعه داشته باشید.

هر تصویر میتواند بیانکنندهی مطالبی است. طرحی از چیزی که میخواهید یاد بگیرید، داشته باشید. این کار موجب داشتن هدفی مشخص در ذهن شما شده که خود باعث حرکت به سمت آن هدف میگردد.

19- از درخت حافظه استفاده کنید.

استفاده از درخت حافظه هم به خلاصه کردن و هم به درک ارتباط درونی مطالب کمک میکند.

20- از سمبل و نمادها استفاده کنید.

- از نقشهی اطلاعاتی بهره ببرید.

وقتی اطلاعات دارای طرح درونی (Information Design) است، از آن استفاده کنید طوری که اطلاعات را به وضوح بیان کند. نقشهی اطلاعاتی هنر و دانش آماده کردن اطلاعات است طوری که بیشترین بازدهی و کاربرد را داشته باشد.

22- از روشهای یادگیری دیداری استفاده کنید.

23- مراحل یادگیری یک موضوع را مشخص کنید. فراگیری یک مطلب نیاز به دریافت اطلاعات با ترتیبی مشخص دارد. سازماندهی تفکر بر روی آن چیزی که باید انجام شود روشی موثر برای آمادگی یادگیری مطالب جدید یا پاسخگویی به سؤالات است.

آیورودا · Aug 13, 2011

تکنیک گفتاری و شنیداری

24- از روشهای ایجاد انگیزه استفاده کنید.

از بازیها و کلمههای بیمعنی موزون استفاده کنید. این امر باعث انعطاف فضای یادگیری و یادگیری بیشتر میشود .

25- با گوش کردن به نظرات دیگران در درون گروه مطالعه به دنبال فکر بکر باشید.

26- در خواب به فایل صوتی گوش کنید.

قسمتی از مطلبی که میخواهید فرا گیرید را ضبط و هنگام خواب زیر متکای خود قرار داده و به آن گوش دهید. این روش برای یادگیری زبان خیلی موثر است.

27- بخندید.

خنده باعث آرامش میشود و تن آرام مطالب را بهتر فرامیگیرد.

تکنیک های حرکتی

28- نوشتن از تایپ کردن مفیدتر است!

نوشتن با قلم باعث تحریک ایدههای جدید میشود. گرفتن و حرکت دادن قلم نقاط حساسی از دست را ماساژ داده و موجب ایدههای جدید میشود.

29- همیشه یک دفتر یادداشت همراه داشته باشید.

بعضی ایدهها و پاسخها - که گاهی بسیار ارزشمند هستند- در مواقعی به ذهن میآیند که مشغول مطالعه نیستیم. تا حد امکان باید آنها را ثبت کرد زیرا معمولا فقط یکبار به سراغ ما میآیند.

30- مجلهی شخصی برای خود درست کنید.

فرق مجله با دفتر یادداشت این است که شما میتوانید با کمک ذهن خلاق خود، نقاشی، تصاویر، جداول و درخت حافظه را به مجله اضافه کنید که کمکی است در جهت به خاطر سپردن بهتر اطلاعات.

31- از برچسبهای رنگی برای طبقهبندی دفتر یادداشت و مجلهی خود استفاده کنید.

استفاده از برچسب رنگی رجوع به مطالب را آسانتر میکند.

32- از یادداشتهای پایانی استفاده کنید.

بعد از پاراگرافهای کتاب، نظر شخصی خود را درج کنید.

تکنیک هایی برای انگیزه پیدا کردن

33- به خود نمره بدهید.

اگر شما ذهنتان را روی نتیجهی مورد نظر متمرکز کنید ایدههای بهتر را شناسایی خواهید کرد. یکی از معمولترین و قابل دسترسترین انگیزهها گرفتن نمرهی بهتر است.

34- انگیزهی خودتان را مشخص کنید.

اگر ندانید به چه علت میخواهید چیزی بیاموزید، حواس پرتی به سراغتان خواهد آمد.

35- هدفتان را مشخص کنید.

طبق گفتهای معروف: ذهن، هر آنچه را که درک کند میتواند به دست آورد. به هر چه فکر میکنید لازم است خود را مجهز کنید.

36- مثبت اندیش باشید.

بعد از مشخص کردن اهداف خود باید امیدوار باشید که توانایی لازم را دارید به آنچه میخواهید دست یابید.

37- برنامهریزی کنید (2).

یادگیری فقط یک جنبه از کارهای روزمره زندگی است. باید ساعاتی که امکان یادگیری وجود ندارد را شناسایی کرده تا بتوانید کارهای دیگر را در آن زمانها انجام داد.

38- هر مهارتی را میتوان یاد گرفت.

به استثنای بعضی محدودیتهای جسمی هر مهارتی را که افراد خبره آموختهاند شما هم میتوانید یاد بگیرید؛ فقط شاید وقت و انرژی بیشتری باید صرف کنید.

39- خود را برای آموختن آماده کنید.

برای یادگیری فقط مثبت اندیشی کافی نیست. در زندگی امروزه با وجود موضوعات مختف، هنگام یادگیری میبایست بقیهی موضوعات را فراموش کرد و الا یادگیری تبدیل به تجربهای کسل کننده میشود.

40- مواظب وقت مطالعهی خود باشید.

اگر شما دوستانی دارید که ممکن است خواسته یا نا خواسته شما را از پرداختن به مطالعه یا یادگیری باز دارند با بهکار بردن ترفند و سیاست (البته به طوری که از شما نرنجند) پیشنهاد آنها را مثلا برای رفتن به سینما رد کنید.

41- خود را محدود کنید.

گاهی آزادی و راحتی زیاد باعث هرج و مرج میشود. برای یادگیری بهتر مطالب، فرجهی زمانی مشخص کنید. داشتن چارچوب برای انجام کارها باعث نتیجهگیری بهتر و سریعتر میشود.

تکنیک های تکمیلی

42- تا آنجا که میتوانید مطالعه کنید.

43- زبان خارجی بیاموزید.

یادگیری زبانهای بیشتر ما را با افقهای بیشتری آشنا کرده و بیان بعضی مفاهیم را برای ما آسانتر میکند. همچنین گاهی درک کامل یک مطلب فقط در زبان اصلی میسر است.

44- یاد بگیرید که چگونه یاد بگیرید.

روشهای مختلف یادگیری را امتحان کنید تا به آنچه مطلوب شماست برسید (در مطالب بعدی به معرفی و شرح این روشها خواهیم پرداخت).

45- بهتر است مشخص شود که چه چیزهایی را میدانید و چه چیزهایی را نمیدانید.

در مورد یک موضوع ابتدا مشخص کنید چه اطلاعاتی از قبل دارید؛ بعد مشخص کنید چه مطالبی را نمیدانید و میخواهید بدانید.

46- از ضمیر ناخودآگاه خود هم کار بکشید!

آیا میدانید میتوان دو مطلب را هم زمان فرا گرفت!؟ ذهن بطور غیر ارادی میتواند درگیر یادگیری باشد. مثلا اگر قرار است مطالبی در مورد دو موضوع بنویسیم میتوانیم یک موضوع را در ذهن داشته باشیم و به سراغ موضوع دوم برویم. مادامی که مشغول نوشتن موضوع دوم هستیم، ذهن ما موضوع اول را پردازش میکند.

47- کلی فکر کنید.

یکی از روشهای خوب یادگیری این است که مطالب را به طور کلی بیاموزیم.

48- مطالب را تکرار کنید.

برای درک کامل مطالب پیچیده باید آنها را مرور کرد. همچنین مرور دوبارهی مطالب به ما دید عمیقتری در مورد مطلب میدهد. تکرار مفاهیم و تئوریها با بهکارگیری مثالهای مختلف، سرعت یادگیری آنها را چند برابر میکند.

49- از روش یادگیری کوانتومی استفاده کنید

«روش یادگیری کوانتومی» (Quantum Learning Model) (QL) روشی است که بر اساس به کارگیری و مرتبط کردن دانستهها در زندگی روزمرهی دانشآموزان شکل گرفته است.

50- از ابزارهای لازم برای یادگیری استفاده کنید (کامپیوتر، ویدیو و ...).

51- از «روش فکرکردن انتقادی» (Critical Thinking) استفاده کنید.

«روش فکرکردن انتقادی» شامل دریافت اطلاعات، ارزیابی آن و نتیجهگیری منطقی بر اساس آنها میباشد.

تکنیک هایی برای معلمین و والدین

52- از دانشآموزان سؤال بپرسید و آنها را در بحث وارد کنید.

53- از هرم اطلاعات استفاده کنید. یادگیری دارای لایههایی است و میبایست مفاهیم پیشرفتهتر بعد از فراگیری مفاهیم پایه صورت گیرد.

54- در کنار لذت بردن از بازیهای کامپیوتری روش حل مسآله و بسیاری از مفاهیم دیگر را بهتر میتوان آموخت.

55- از قانون 80 به 20 پیروی کنید.

طبق قانون 80 به 20، یادگیری 20 درصد از مفاهیم نیاز به صرف 80 درصد وقت و انرژیای دارد که برای مفاهیم دیگر اختصاص میدهیم؛ لذا باید هنگام برنامهریزی به این نکته توجه داشت.

56- برای مفاهیم قصهبافی کنید!

مثلا اتم را منطقهای گانگستری در نظر بگیرید که در آن پروتون و نوترون همسایهی همدیگر بوده، با هم رقیباند و لذا هرگز در محدودهی هم وارد نمیشوند.

57- فراتر از برنامهی درسی مدرسه و دانشگاه بروید.

با ابزارهای یادگیری که امروزه موجود است حتی یک فرد 60 ساله هم میتواند ریاضی را در حد دانشگاه فرا بگیرد. لذا هر مطلبی را که لازم میدانید یا علاقه دارید، بیاموزید.

58- از دانستههای خود عملا استفاده کنید.

مثلا در آموزش ریاضی بهتر است دانشآموزان مفاهیم چهارگانهی ریاضی را برای اندازهگیری مواد لازم برای پخت کیک به کار ببرند.

تکنیک هایی برای دانش آموزان

59- همیشه درگیر یادگیری باشید.

اگر فکر میکنید از معلمتان بیشتر میدانید و مطالب کلاس برایاتان کسالتآور است با معلمتان وارد بحث شوید و از دانستههای خود برای پیروز شدن در بحث استفاده کنید.

60- خودتان بیاموزید.

در بسیاری از موارد، معلمان همهی مطالب را در بحث خود مطرح نمیکنند. شما باید بسیاری از مطالب را خود فرابگیرید؛ پس منتظر نباشید همهی مطالب به شما آموخته شود.

61- اگر به تنهایی نمیتوانید یاد بگیرید با دوستانتان مطالعه کنید.

62- به دیگران درس بدهید.

بهترین روش یادگیری این است که مطلبی را به دیگران آموزش دهید. این شما را مجبور به یادگیری کامل آن مطلب میکند.

63- محک زدن آنچه که یادگرفتهاید یادگیری شما را تضمین میکند.

استفاده از فلشکارت یکی از بهترین روشها برای محک زدن آنچیزی است که یادگرفتهاید.

64- در ابتدا مفاهیم اساسی را یاد بگیرید.

یادگیری مطلب جدید باید شبیه یادگیری زبان توسط یک کودک باشد که به گرامر و املای کلمهها توجهی نمیکند.

*** s.mahdi *** · Oct 2, 2011

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

رياضي ،‌ زبان زيباي علم ....

جام جم آنلاين: همه ما مي‌دانيم كه رياضيات از جمله علوم كاربردي است و دانشمندان مي‌توانند با استفاده از اين علم قواعدي را براي توجيه و تفسير اتفاقات و رويدادهاي ناشي از پديده‌هاي درون اتمي بيابند يا اين‌كه مهندسان مي‌توانند به كمك علم رياضي مسير حركت سفينه‌هاي فضايي را محاسبه كنند و چنانچه گاليله نيز پيش از اين گفته بود از رياضيات به عنوان زبان علم نام برده شود.

با در نظر داشتن چنين ديدگاهي انتظار مي‌رود كه قوانين علم رياضي بتواند توجيه‌كننده نتايج به دست آمده از آزمايش‌ها و تحقيقات علمي بوده، حتي بتواند آنچه در اثر وقوع پديده‌هاي نادر شاهد آن خواهيم بود را نيز توجيه كند.
قدرت و توانايي علم رياضي در مقايسه با ديگر علوم بسيار حيرت‌‌انگيز است. براي مثال معادلات معروفي كه توسط فيزيكدان اسكاتلندي جيمز كلرك ماكسول ارائه شد در نظر بگيريد.
اين معادلات نه‌تنها هر‌آنچه را كه محققان در دهه 1860 ميلادي به آن دست يافته بودند در خود جاي داده بود، بلكه وجود امواج راديويي را نيز 2 دهه پيش از اين كه فيزيكدان آلماني هينريخ هرتز موفق به كشف آن شود، پيش‌بيني كرده بود.
اين ويژگي از جمله ويژگي‌هايي است كه در هيچ زباني نمي‌توان آن را مشاهده نمود و به عبارت ديگر هيچ زبان ديگري را پيدا نمي‌كنيد كه بتواند مجموعه‌اي از اطلاعات ارزشمند را با چنين دقتي در يك عبارت كوتاه در كنار هم قرار دهد.
آلبرت اينشتين همواره در اين انديشه بود كه چگونه ممكن است علم رياضيات كه برگرفته از تفكرات انساني است و بشر بدون نياز به انجام آزمايشات تجربي، قوانيني را در آن يافته است، بتواند با پديده‌هاي فيزيكي دنياي واقعي تطابق داشته باشد؟
چنانچه اويگن ويگنر از برندگان جايزه نوبل فيزيك و از جمله افراد متخصص در فيزيك نجومي نيز در دهه 1960 ميلادي به اين نكته اشاره كرده بود كه علم رياضي از جمله علوم تاثيرگذاري است كه حتي وقتي در زمينه فيزيك تحقيق مي‌كنيد نيز بيش از پيش به اهميت آن پي خواهيد برد.
پيش‌بيني‌هاي علمي از جمله مسائلي هستند كه همواره ذهن بسياري از افراد و علاقه‌مندان به علم را به خود مشغول مي‌كنند.
كمتر كسي است كه درباره حقايق علمي كه دانشمندان با استفاده از علم رياضي اثبات كرده و پيش‌بيني‌هايي را نيز بر همين اساس ارائه داده‌اند بينديشد و اين در حالي است كه در چنين زمينه‌هايي علم رياضي توانسته‌ بسياري از حقايق دنيا را به دقت تفسير كند.
اما سوالي كه هنوز پاسخ قابل قبولي براي آن يافت نشده اين است كه اساسا رياضي اختراعي برگرفته از ذهن انسان است يا اين كه كشف حقايقي است كه در دنياي واقعي وجود داشته و انسان هيچ نقشي در خلق اين قوانين پيچيده نداشته و تنها با نگريستن به رويدادهاي طبيعي آنها را بازنويسي كرده است؟

Scientific american

salizadeniri · Oct 8, 2011

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

مارپيچ‌هاي طبيعي فرما

شما تو درساتون منحني‌ها و توابع مختلف رو ديدين ولي آيا مي‌دونيد اونا از كجا اومدن؟مي‌دونستيد مي‌شه با توجه به ساختار يه گل آفتاب گردون مدل‌هاي رياضي جالبي رسم كرد؟.

تعدادي از رياضيدانان اومدن و مدل نوعي گل آفتاب گردون با گلبرگ‌هاي سفيد و پرچم‌ها ريز زرد رنگ رسم كردن

.
پرچم‌هاي استوانه‌اي اين گل بسيار منظم دركنار هم چيده‌ شدن. هر چي از مركز گل دور مي‌شن بزرگتر مي‌شن. آنها به صورت يك مارپيچ از مركز گل تا ابتداي گلبرگها ادامه دارن جهت چرخش اين مارپيچ از داخل به بيرون ساعتگرد يا در بعضي طرح‌ها پادساعتگرد مي‌باشد.

يك روش براي مدل‌سازي آن اينست كه مارپيچ را به وسيله‌ي يك منحني به نام مارپيچ فِرما رسم كنيم. اين منحني به نام مارپيچ سهمي‌گون هم شناخته شده.

معادله‌ي آن از معادله قطبي گرفته شده.r = ka[SUP]1/2[/SUP]در اينجا r فاصله از مبدأ، k مقداريست ثابت كه نشان‌‌دهنده‌ي مقدار پيچش منحني مي‌باشد و a زاويه قطبيست.

با قرار دادن نقاط به جاي خطوط منحني شما مي‌توانيد طرح ديگري از اين مارپيچ داشته باشيد. مدل‌هاي مختلف را با توجه به زاويه‌هاي كه پرچمها مي‌سازند رسم مي‌كنيم. در شرايط مختلف از طرحهاي مختلف استفاده مي‌كنيم.
از زاويه 222.49 براي مدل‌سازي استفاده كنيد.اگر شما براي مدل‌سازي از گروه زوج تايي از گوشه‌ها يا دواير متحدالمركز استفاده كنيد بسيار شبيه پرچم‌هاي آفتاب‌گردون مي‌شود.

با انتخاب زواياي ديگه شما مي‌تونيد طرح‌هاي مختلف كه به صورت ساعت‌گرد يا پاد ساعت‌گرد مي‌باشند رو داشته باشيد كه البته تمام اين طرحها به نوعي با هم در ارتباطند.

روبرت ديكسون تعدادي از اين طرح‌ها رو در كتاب خودش به نامmathographics آورده.
روبرت كروزيك (Krawczyk)از شيكاگو طرحهايي شبيه موج مدل‌سازي كرده و با تركيب همون طرح‌ها، مدل‌هاي جديدي بدست آورده كه شبيه شكل‌هاي زيره.

سپس وي با قرار دادن نقاط به جاي گوشه‌ها و منحني‌ها طرح مشكل و متفاوتي رو بدست آورده.

در پايان هم با بيشتر كردن بافت طرحش و نشون دادن پيچ و تابهاي منحني طرحش رو به اتمام مي‌رسونه

.منبع:
http://loveme77.blogfa.com/post-32.aspx

*** s.mahdi *** · Oct 22, 2011

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

محاسبه رقم 10 تريليونيوم عدد پي

جام جم آنلاين: دو دانشمندان ژاپنی مشتاق عدد پی بیشترین ارقام ممکن را برای این عدد محاسبه کرده‌اند و به 10 تریلیون رقم دست یافته‌اند.

به گزارش مهر، "الکساندر یی" مهندس رایانه و "شیگرو کوندو" مهندس سیستم‌های رایانه‌ای پس از غلبه بر اختلالات رایانه ای در میان زمین لرزه و سونامی ژاپن، توانستند رکورد سابق پنج تریلیون رقمی ادامه عدد پی را بشکنند.
در واقع محاسبه ادامه عدد پی هیچ حاصلی ندارد زیرا این رقم برای همیشه ادامه دارد و تنها 39 رقم از ادامه آن برای محاسبه مساحت یک دایره در ابعاد جهان قابل مشاهده با خطایی کوچکتر از شعاع اتم هیدروژن کافی خواهد بود.
"یی" محاسبات عدد پی را با کمک یک نرم افزار انجام داده است در حالی که کوندو این کار را با کمک رایانه‌ای که خود آن را طراحی کرده انجام داده است. این محاسبات از 16 اکتبر سال گذشته آغاز شد و در 9 دسامبر دیسک سخت رایانه دچار اختلال شد، سپس در 11 مارچ زمین لرزه بزرگ ژاپن رخ داد، یعنی درست در زمانی که 47 درصد از محاسبات انجام شده بود.
اما از آنجایی که رایانه کوندو به شبکه برقی آسیب ندیده ژاپن متصل بود، محاسبات آنها تحت تاثیر زمین لرزه قرار نگرفت. با این همه بروز دوباره نقص در دیسک سخت و جا به جایی‌های پی در پی روند محاسبات را به تاخیر انداخت تا در نهایت این محاسبات در 26 آگوست به پایان رسید. این محاسبات به اندازه‌ای طولانی و پیچیده بود که درجه حرارت اتاق رایانه کوندو به 40 درجه نیز می‌رسید.
پس از آن این دو باید ثابت می‌کردند که رقم‌های به دست آمده درست هستند زیرا تا کنون کسی نتوانسته تا رقم 10 تریلیون عدد پی را محاسبه کند. این دو دانشمند با استفاده از فرمول ویژه‌ای که برای این کار نوشته شده تمامی این ارقام را کنترل کرده و به اثبات رساندند.
مرحله نهایی این محاسبات تبدیل ارقام به دست آمده از مبناي 16 به 10 بود که در نهایت روز یکشنبه هفته گذشته این تغییرات نیز به پایان رسید و رکورد جدیدی در محاسبه ادامه عدد پی به ثبت رسید.

Mute · Dec 2, 2011

آیا 0/0 با 0^0 برابر است؟

آیا 0/0 با 0^0 برابر است؟

سلام دوستان.
تو اثبات و یا رد سوال زیر مشکل دارم.
اگه می تونین کمکم کنین.
سپاس. :gol:

-آیا 0/0 با 0[SUP]0[/SUP] برابر است؟

Carlina · Feb 27, 2012

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

حتما خیلی از ما از جمله خود من تا امروز توجه نمی کردیم که ریاضیدانان بعد از بیلیون یا تریلیون تا چه واحدهائی جهت شمارش اعداد، پیش رفته اند.

البته مثل همیشه حتما عده ای هم هستند که بنوعی با این ارقام نجومی سرو کار داشته و شاید این مطلب زیاد بکارشون نیآید، اما فکر نکنم تعدادشون زیاد باشد.

در زیر من شمارش ارقام را تا 34 واحد پس از صد هزار درج می کنم که امیدوارم در شمارش و نگهداری ثروت آینده یا کنونی تان، مثمر به ثمر واقع گردد:

در ضمن می توانید از توضیح فارسی هر واحد بعنوان معادل جانشین آن در زبان شیرین پارسی استفاده فرمائید.

مثلا بجای تریلیون می توان گفت: {یک با دوازده صفر جلوی خود}. اینطوری تجسم و یادگیری آنهم راحتتر می شود.

Million: یک با شش صفر در پیش رو

Billion ) Milliard): یک با نه صفر در جلو

Trillion: یک با دوازده صفر جلوی خود

Quadrillion: یک با پانزده صفر خوشگل

Quintillion: یک با هجده صفر زیبا

s e xtillion: یک با بیست و یک صفر قشنگ

Septillion: یک با بیست و چهار صفر مامان

Octillion: یک با بیست و هفت صفر باحال

Nonillion: یک با سی صفر با مرام

Decillion: یک با سی و سه صفر بی ریا

Undecillion: یک با سی و شش صفر با وفا

Duodecillion: یک با سی و نه صفر بلا

Tredecillion: یک با چهل و دو صفر جیگر

Quattuordecillion: یک با چهل و پنج صفر فنا

Quindecillion: یک با چهل و هشت صفر عسل

***decillion: یک با پنجاه و یک صفر فداکار

Septendecillion: یک با پنجاه و چهار صفر الکی

Octodecillion: یک با پنجاه و هفتِ صفر کیلومتر

Novemdecillion: یک بهمراه شصت صفر خز

Vigintillion: یک بهمراه شصت و سه صفر ناقلا

Unvigintillion: یک بهمراه شصت و شش صفر

Duovigintillion: یک بهمراه شصت و نه صفر الّاف

Tresvigintillion: یک بهمراه هفتاد و دو صفر شهید

Quattuorvigintillion: یک بهمراه هفتاد و پنج صفرِ هلاک

Quinquavigintillion: یک بهمراه هفتاد و هشت صفر همیجوری

sesvigintillion: یک بهمراه هشتاد و یک صفر بی صفت

septemvigintillion: یک بهمراه هشتاد و چهار صفر ممتد

octovigintillion: یک بهمراه هشتاد و هفت صفر کلک

novemvigintillion: یک بهمراه نود صفر متین

trigintillion: یک بهمراه نود و سه صفر باوقار

untrigintillion: یک بهمراه نود و شش صفر فانی

duotrigintillion: یک بهمراه نود و نه صفر یا حضزت فیل

Googol: و بلاخره عدد معروف گوگول که ظاهرا از فارسی گرفته شده و برای اندازه گیری حماقت بکار می رود. چون به آدمهای اینطوری در فارسی گاگول گفته می شود. یعنی یک بهمراه صد صفر نابِ م.

trestrigintillion: و بلاخره یک بهمراه صد و سه صفر نجومی

nice_Alice · Apr 10, 2012

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

Beauty of Math!*

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

&nbspe3B &nb3p; 9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Brilliant, isn't it?
And look at this symmetry:

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=12345678987654321

Kruger · Apr 11, 2012

عدد و شمارش

عدد و شمارش

دقیقا مشخص نیست که انسان پیش از تاریخ، چه زمانی از مفاهیمی همچون عدد و شمارش
استفاده کرده است؛ اما لزوماْ به مفاهیمی مانند کم و زیاد، تعداد افراد قبیله، میزان وسایل
زندگی خود و دیگران، تعداد دوست و دشمن و چیزهایی از این قبیل نیاز داشت. آنگونه که از گزارش
های باستان شناسان بر می آید، معمولا از روش تناظر یک به یک استفاده میکرد (رجوع کنید به
شکل های صفحه ۸ و ۹ و پاورقی صفحه ۹ از کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). با پیشرفت بشر و
نیاز به شمارش های وسیع تر، انگشتان به عنوان پایه و مبنای شمارش، انتخاب و به هر انگشت،
نمادی منسوب شد و اعداد بزرگ تر به صورت ترکیبی ار این نمادها نوشته شدند. به طور مثال
دوازده یعنی دو از ده و twelve که که احتمالاْ از twe lif (دو روی ده) گرفته شده است. البته اعداد
۲، ۳، ۴، ۵، ۱۲، ۲۰ و ۶۰ نیز قرنها در میان قبایل و اقوام مختلف به عنوان مقیاس به کار رفته است.

چند مثال برای اعداد رومی در پایه ۱۰ :

علائم اصلی برای نوشتن اعداد رومی:

اعداد اصلی	۱	۲	۳	۱۰	۱۰۰	۱۰۰۰	۵	۵۰	۵۰۰
علائم اصلی	I	II	III	X	C	M	V	L	D

برای نوشتن اعداد، رومیها از قانونی به نام اصل تفریق استفاده میکردند، بدین ترتیب که وقتی
علامتی برای واحد کوچکتر قبل از علامت به کار رفته برای واحد بزرگتر قرار می گرفت، به معنی
تفاضل این دو واحد بود. به چند مثال در جدول زیر توجه فرمایید:

عدد	علامت رومی
۴	IV
9	IX
200	CC
1944	MCMXLIV

دستگاه شمارش رمزی یا الفبایی یونانی:

در این دستگاه، از ۲۷ رمز برای نوشتن اعداد استفاده می شد. به دو جدول زیر که این رمزها را در قالب علائم اصلی توضیح می دهد، توجه فرمایید:

حال به چند مثال توجه کنید:

دستگاه شمارش موضعی:

در این دستگاه، ابتدا یک پایه b انتخاب و سپس نمادهایی برای ۰، ۱، ۲،...، b-۱ معین میشود. هر عدد طبیعی n را می توان به طور یکتا به صورت زیر نوشت:

.

در این صورت n را با

نمایش می دهیم که

.

اگر b=۱۰، این دستگاه را "دستگاه شمار هندی- عربی" گوییم. این دستگاه به هندیان که احتمالاْ مخترع آن هستند و به مسلمانان که آنرا تکمیل کردند و به دیگران آموختند، منسوب است.

ظاهراْ بابلیهای قدیم، در فاصله های بین ۳۰۰۰ و ۲۰۰۰ قبل از میلاد، دارای یک دستگاه شمار در پایه ۶۰ بودند. البته این دستگاه برای صفر علامتی نداشت. بد نیست بدانیم که قوم مایاها در آمریکا از دستگاهی استفاده می کردند که اساساْ در مبنای ۲۰ بود و علامتی برای صفر هم داشتند.

جمع و ضرب اعداد:روشهای جمع و ضرب کنونی، قدمت زیادی ندارند و در قرن پانزدهم میلادی ابداع شدند. اما ظاهرا علت پیدایش دیررس این روشها، ممکن است به دو علت مشکلات ذهنی ( به خاطر نقص در دستگاههای شمارش با نمادهای بسیار) و نیز مشکلات مادی (مانند نبودن کاغذ) باشد. بشر تا حدی با اختراع چرتکه این مشکل را حل کرد. اما روشهای کنونی،مدیون اختراع هندیان و نیز تکامل آن به وسیله مسلمین است به ویژه خوارزمی که نقش برجسته ای در این کار دارد. نماد صفر را هندیان وارد دستگاه شمارش کردند و لازم است ذکر شود که zero ی انگلیسی احتمالاْ از زفیروم (به کسر زا ء) لاتین و آن از صفر عربی و آن از سونیای هندی به معنی پوچ یا تهی گرفته شده است. نیز واژه کنونی cipher انگلیسی، همان صیفرای عربی است.

Kruger · Apr 11, 2012

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

[h=2][/h] [SIZE=2.5]

عدد هفت عددی است که شاید مثل همه ی عدد های دیگر در نظر ما عادی جلوه کند اما نگرش ما وقتی متبلور می شود که خواص عدد هفت را بدانیم و ببینیم چه «هفت» هایی در زندگی ما وجود دارند و ما در گیر و دار زندگی ماشینی و با بی تفاوتی از کنار آن ها رد می شویم
الف) مقدمه:
عدد هفت عددی است که شاید مثل همه ی عدد های دیگر در نظر ما عادی جلوه کند اما نگرش ما وقتی متبلور می شود که خواص عدد هفت را بدانیم و ببینیم چه «هفت» هایی در زندگی ما وجود دارند و ما در گیر و دار زندگی ماشینی و با بی تفاوتی از کنار آن ها رد می شویم مثلا شاید جالب باشد که بدانیم، رنگین کمان دارای هفت رنگ است .عجایب جهان، هفت تا هستند.(که به عجایب هفت گانه معروفند ) یا در یونان باستان، اسطوره ای با نام هفت خدای، در ذهن مردم نقش بسته است، ویا شهر عشق، که دراشعار عطار آمده است، هفت شهر می باشد، سوره ی مبارکه حمد، که اوّلین سوره ی قرآن کریم است، هفت آیه دارد. آسمان دارای هفت طبقه است. بهشت وجهنم هر کدام دارای هفت طبقه و درجه هستند و طواف خانه خدا هفت دور است، موسیقی ایران و یونان هفت دستگاه داد، هفت نوع ساز بادی وجود دارد و علاوه بر این هفت نت موسیقی وجود دارد(دو، ر، می، فا، سل، لا، سی) و…
ب) تاریخچه:
در سال ۱۸۸۹ میلادی کتابی ار یک جهان گرد منتشر شد که، از جمله روش شمردن را در میان قبیله ای از تورس شرح داده است. اینها برای شمردن تنها از دو واژه استفاده می کردند: یک و دو. برای عدد سه می گفتند «دو و یک » برای چهار «دو و دو»، برای پنج «دو و دو یک » و برای شش «دو و دو و دو» ولی برای عددهای بزرگ تر از ۶، هر قدر بود، می گفتند «خیلی ». گرچه این آگاهی مربوط به پایان سده ی نوزدهم است ولی می تواند گواهی بر شیوه ی شمردن در آغاز شکل گیری مفهوم عدد در میان انسان های نخستین باشد. بعد ها که برای عددهای بزرگتر هم نامی در نظر گرفتند به احتمالی برای عدد «هفت» از همان واژه ی قبلی «خیلی» یا «بسیار» استفاده کردند. عدد هفت که سده های متوالی برای آنها نا شناخته بود، اندک اندک به صورت عددی مقدس در آمد. وقتی که مصری ها، بابلی ها و دیگر امت ها توانستند پنج سیاره ی نزدیک تر به خورشید را بشناسند، با اضافه کردن ماه و خورشید، به عدد هفت رسیدند و این بر تقدس عدد ۷ افزود وقتی در قصه های کهن تر، که تا زمان ما هم ادامه پیدا کرده است، صحبت از شهری می شود که هفت برج و هفت بارو داشت، به معنای آن است که این شهر برج و باروهای بسیار داشت. هفت آسمان و هفت دریا و هفت کشور، به معنای آسمان ها و کشور ها و دریاهای بزرگ است نه هفت آسمان و هفت دریا (نه کم و نه زیاد ). هنوز در زبان فارسی اندرز می دهند « هفت بار گز کن یک بار پارچه کن ». این جمله به معنای آن نیست که برای دقت کار و کم کردن اشتباه در اندازه گیری یا هر کار دیگری باید درست ۷ بار آزمایش کرد، نه شش یا هشت بار. در اینجا هم هفت به معنی «بسیار» است. عدد۱۳ هم چنین سرنوشتی دارد….
ب) هفت و…
نزد بسیاری از اقوام عهد باستان «هفت» عدد ویژه ای بود. در فلسفه و نجوم مصریان و بابلی ها، عدد هفت به عنوان مجموع هر دو زندگی، سه و چهار، جایگاه ویژه ای داشت.(پدر و مادر و فرزند؛ یعنی سه انسان، پایه و اساس زندگی هستند و عدد چهار مجموع چهار جهت آسمان و باد است.)
ایرانیان قدیم در آیین زرتشت، اهورامزدا را مظهر پاکی میدانستند و برای او هفت صفت را بر می شمردند و در مقابل او اهریمن را پدید آورنده ی پلیدیها می دانستند و می گفتند در پیرامون اهورامزدا فرشتگانی هستند که مظاهر صفات حسنه هستند و برای احترام به آن ها که اول هرکدامشان سین بود هنگام سال تحویل سفره می گستراندند و هفت قسم خوراکی که نام هریک با سین شروع می شود: سیر، سرکه، سیب، سماق، سمنو، سنجد، سکه، و سبزی را سر سفره می گذاردند که به سفره ی هفت سین معروف بود.
برای فیلسوف و ریاضیدان یونانی«فیثاغورث» نیز عدد هفت، مفهموم ویژه ی خود را داشت که از مجموع دو عدد سه و چهار تشکیل می شود: مثلث و مربع نزد ریاضیدانان عهد باستان اشکال هندسی کامل محسوب می شدند، از این رو عدد هفت به عنوان مجموع سه و چهار برای آن ها عدد مقدسی بود. علاوه بر این در یونان هر هفت سیاره را خدایی میدانستند : سلن، هیلیوس،آرس،هرمس، زئوس، آفرودیت و کرونوس.
یهودیان قدیم نیز برای عدد هفت معنای ویژه ای قایل بودند. در کتاب اول عهد عتیق (تورات) آمده است که خداوند جهان را در شش روز خلق کرد، در روز هفتم خالق به استراحت پرداخت. موسی در ده فرمان خود از پیروانش می خواهد که این روز آرامش را مقدس بدارند(روز شنبه و روز تعطیل یهودیان). علاوه بر این در آن کتاب مقدس هفت با عنوان عدد تام و کامل نیز استعمال شده است. از آن زمان عدد هفت نزد یهودیان و بعد ها نیز نزد مسیحیان که عهد عتیق را قبول کردند، به عنوان عددی مقدس محسوب می شد.
به این ترتیب بود که از دوران باستان هفتگانه های بیشماری تشکیل شدند: یونانیان باستان همه ساله هفت تن از بهترین هنرپیشگان نقش های سنگین و غمناک و نقش های طنز و کمدی را انتخاب میکردند. آن ها مانند رومی های باستان به هفت هنر احترام میگذاشتند. روم بر روی هفت تپه بنا شده بود. در تعلیمات کلیسای کاتولیک هفت گناه کبیره(غرور، آزمندی، بی عفتی، حسد، افراط، خشم و کاهلی) و هفت پیمان مقدس(غسل تعمید، تسلیم و تصدیق، تقدیس و بلوغ، ازدواج، استغفار و توبه، غسل قبل از مرگ با روغن مقدس، در آمدن به لباس روحانیون مسیحی) وجود دارد. برای پیروان محمد(ص) آخرین مکان عروج، آسمان هفتم محسوب می شود. در بیست و هفتم ژوئن هر سال، روز «هفت انسان خوابیده » مسیحیان یاد آن هفت برادری را که در سال ۲۵۱ بعد از میلاد، برای عقیده و ایمان خود، زنده زنده لای دیوار نهاده شده و شهید شدند، گرامی می دارند؛ مردم عامه می گویند که اگر در این روز باران ببارد، به مدت هفت هفته بعد از آن هوا بد خواهد بود، آن گاه انسان باید هفت وسیله ی مورد نیازش را بسته بندی کند و با چکمه های هفت فرسخی خود به آن دورها سفر کند. صور فلکی خوشه ی پروین یا ثریا به عنوان «هفت ستاره» معروف است، در حالی که حتی با چشم های غیر مسلح میتوان در این صورت فلکی تا یازده ستاره را دید.
عرفای بزرگ عشق و وصال را در هفت مرحله و هفت وادی نشان داده اند و فاصله ی بین هستی و تباهی را پنچ مرحله دانسته اند.
در افسانه ها نیز با هفت سحر آمیز برخورد می کنیم: سوار ریش آبی هفت همسر داشت، سفید برفی با هفت کوتوله پشت هفت کوه زندگی می گرد و افسانه ی اژدهای هفت سر…
علاوه بر این می توان به هقت اقلیم، هفت اورنگ، هفت دفتر شاهنامه، هفت پیکر، هفت هیکل، هفت گناه کبیره، هفت خان رستم، هفت الوان، هفت گنج، هفت رکن نماز،هفت تحلیل و هفت طواف (در اعمال حج)، هفت قبله(مکه، مدینه،نجف،کربلا،کاظمین،سا مرا،مشهد) و… اشاره کرد و به این ترتیب بود که تعداد بیشماری هفتگانه در دنیا بوجود آمد و به عدد هفت تقدس خاصی بخشید.
منبع:۱) هفت در قلمرو تمدن و فرهنگ بشری/زهره والی-تهران:اساطیر، ۱۳۷۹.
۲) هفت در قلمرو فرهنگ جهان/موید شریف محلاتی، سال ۱۳۳۷.
۳) سرگذشت ریاضیات/ پرویز شهریاری_تهران: نشر مهاجر، ۱۳۷۹.
۴) دهکده ی ریاضی(گاهنامه)/شماره ی اول_مهرماه ۸۱.

[/SIZE]

Kruger · Apr 11, 2012

جهان ریاضیات در فضای نانو

جهان ریاضیات در فضای نانو

[h=2][/h]

علوم نانو و فناوری نانو بیانگر رهگذری به سوی دنیایی جدید هستند. سفر به اعماق سرزمین اتمها و مولکولها نوید دهندة اثراث اجتماعی شگفت‌انگیزی است: در علوم بنیادین، در فناوریهای نو، در طراحی مهندسی و تولیدات، در پزشکی و سلامت و در آموزش.
پیش‌بینی‌های گسترده در حوزه کشفیات جدید، چالشها، درک مفاهیم، حتی هنوز فرم و محتوای موضوع، مه‌آلود و اسرارآمیز است. این مقاله می‌کوشد تا چالشهای دنیای ریاضیات را در مواجهه با دنیای شگفت‌انگیز نانو بررسی کند. به عبارت دیگر، ریاضیات در معماری پازل نانو چه نقشی خواهد داشت ؟

همگان بر این نکته توافق دارند که پیشرفتهای بزرگ، مستلزم تعامل میان مهندسان، ژنتیست‌ها، شیمیدانان، فیزیکدانان، داروسازان، ریاضیدانان و علوم رایانه ای ها است. شکاف میان علوم و فناوری، میان آموزش و پژوهش، میان دانشگاه و صنعت، میان صنعت و بازار بر مجموعه تأثیرگذار خواهد بود. دلایل کافی مبتنی بر فصل مشترک میان نظامهای کلاسیک و فرهنگ ها موجود است.

این انقلاب علمی و فناورانه، منحصر به فرد است. این بدین معنی است که می‌بایستی نه تنها در بعد علمی، که در سایر ابعاد، نیز زیرساختهای بنیادین با حداکثر انعطاف پذیری در برابر تغییرات را پیش‌گویی و پیش‌بینی کنیم.
دانش ریاضیات به عنوان خط مقدم جبهة علم مطرح است. ویژگی بدیهی ریاضیات در علوم نانو «محاسبات علمی» است. محاسبات علمی در فناوریی که به عنوان فناوری انقلابی مطرح شده است. محاسبات علمی در طول، تفسیر آزمایشات، تهیة پیش‌بینی در مقیاس اتمی و مولکولی بر پایة تئوری کوانتومی و تئوریهای اتمی است.
همانگونه که ریاضیات زبان علم است، محاسبات، ابزاری عمومی علم و کاتالیزوری برای تعاملات عمیق‌تر میان ریاضیات و علوم است. یک تیم محاسبات، دربارة مدلشان و اثر محاسباتشان و تطبیق‌پذیری آن با واقعیت، به بحث می‌پردازند. «‌محاسبات» رابطی میان آزمایش و تئوری است. یک تئوری و یک مدل ریاضی، پیش نیاز محاسبات است و یک آزمایش تنها اعتبار بخش هر نوع تئوری، مدل و محاسبات است.

مدلهای ریاضی، ستونهای راهگشا به سوی بنیاد علم و تئوریهای پیش بین هستند. مدلها، رابطهایی بنیادین در پروسه‌های علمی هستند و اغلب اوقات در سیستم‌های آموزشی به فاز مدلسازی و محاسبات، تأکید کافی نمی‌شود. یک مدل ریاضی بر پایة فرمولاسیون معادلات و نامعادلات اصول بنیادین استوار است و مدل درگیر با درک کامل پیچیدگیهای مسأله نظیر، جرم، اندازة حرکت و توازن انرژی است. در هر سیستم فیزیکی واقعی تقریب اجازه داده می‌شود، تا مدل را در یک قالب قابل حل عرضه کنند. اکنون می‌توان مدل را یا به صورت «تحلیلی» و یا بصورت «عددی» حل کرد. در این حالت مدلسازی ریاضی یک پروسه پیچیده است،زیرا می‌بایستی دقت و کارآیی را همزمان نشان دهد.

در علوم نانو و فناوری نانو، مدلسازی نقش محوری را بر عهده دارد، بویژه وقتی که بخواهیم عملکرد ماکروسکوپی مواد را از طریق طراحی در مقیاس اتمی و مولکولی کنترل کنیم، آن هم در شرایطی که درجات آزادی زیاد باشد. مدلسازی ریاضی یک ضرورت در این فضای مه آلود است. تفسیر داده‌های آزمایشگاهی یک ضروت حتمی است. همچنین برای هدایت، تفسیر، بهینه سازی، توجیه رفتارهای آزمایشگاهی، مدلسازی ریاضی ضرورت می‌یابد.
یک مدل مؤثر، راه رسیدن به تولیدات جدید، درک جدید رفتارشناسی، را کوتاه می‌کند و تصحیح گر هوشمندی است که از نتایج گذشته درس می‌گیرد.
مدلسازی نه تنها ویژگی منحصر به فرد ریاضیات است بلکه پلی بسوی فرهنگهای مختلف علمی است.
تئوری در هر مرحله از توسعة علم، نقش محوری دارد، ارزیابی حساسیت مدل به شرایط پروسه‌های فیزیکی ، و حصول اطمینان از اینکه معادلات و الگوریتمهای محاسباتی با شرایط کنترل آزمایشگاهی سازگارند، از چالشهای مهم است. تئوری نهایتاً بسوی تعریف نتایج و درک فیزیکی سیستم، میل خواهد کرد و اغلب اوقات ریاضیات جدیدی لازم نیست تا به منظور رسیدن به درک رفتار، ساخته شود.
عبور از تئوریهای موجود ارزشمند است و اغلب نیز اتفاق می‌افتد. زمانی مدلها، مشابه سیستم‌های شناخته شده هستند که دقت ریاضی بالایی را داشته باشند اما در جهان شگفت ‌انگیز نانو، مدلهای مختلف و جدید، چالشهای جدی را در دانش ریاضیات پدید می‌آورند. تئوریهای جدید در مقیاسهای زمانی غیر قابل پیش‌گوئی اتفاق می‌افتند و تئوریهای قدرتمند در قالبهای عمیق شکل می‌گیرند. میان‌برهای اساسی لازم است تا شبیه‌سازی صورت گیرد:
طراحی در مقیاس اتمی و مولکولی، کنترل و بهینه سازی عملکرد مواد و ابزار آلات، و کارآیی شبیه‌سازی رفتار طبیعی، از مهمترین چالشها است. این چالش‌ها نوید دهندة برهم کنشهای کامل میان حوزه‌های مختلف ریاضی خواهد بود.
آثار اجتماعی این چالش‌ها زیاد و متنوع خواهد بود.
منافع حاصل از مشغولیت ریاضیدانان فعال، توازن با چالشهای اصلی در زمینه رشد زیرساختهای ریاضیات، تغییرات در ساختار آموزش ریاضیات، از جمله آثار ورود ریاضیات به دنیای شگفت انگیز نانو خواهد بود.
جامعه ریاضی می‌بایستی اصلاح شود: تئوریهای بنیادین، ریاضیات میان رشته‌ای و ریاضیات محاسباتی و آموزش ریاضیات.
ریاضیات چه حوزه‌هایی را در بر خواهد گرفت؟ الگوریتمهای اصلی در حوزه‌های ریاضیات کاربردی و محاسباتی، علوم کامپیوتر، فیزیک آماری، نقش مرکزی و میان بر ساز را در حوزة نانو بر عهده خواهند داشت.

برای روشن شدن موضوع برخی از اثرات ریاضیات را در فرهنگ نانو بررسی می‌کنیم:
ـ روشهای انتگرال گیری سریع و چند قطبی سریع: اساسی و الزامی به منظور طراحی کدهای مدار (White, Aluru, Senturia) و انتگرال گیری به روش Ewala در کد نویسی در حوزه‌های شیمی کوانتوم و شیمی مولکولی (Darden ۱۹۹۹)
ـ روشهای« تجزیه حوزه»، مورد استفاده در شبیه‌سازی گسترش فیلم تا رسیدن به وضوح نانوئی لایه‌های پیشرو مولکولی با مکانیک سیالات پیوسته در مقیاسهای ماکروسکوپیک (Hadjiconstantinou)
ـ تسریع روشهای شبیه سازی دینامیک مولکولی (Voter ۱۹۹۷)
ـ روشهای بهبود مش‌بندی تطبیق پذیر: کلید روشهای شبیه پیوسته که ترکیب کنندة مقیاسهای ماکروئی، مزوئی، اتمی ومدلهای مکانیک کوانتوم از طریق یک ابزار محاسباتی است (Tadmor, Philips, Ortiz)
ـ روشهای پیگردی فصل مشترک: نظیر روش نشاندن مرحله‌ای Sethian, Osher که در کدهای قلم زنی و رسوب‌گیری جهت طراحی شبه رساناها مؤثرند (Adalsteinsson, Sethian) و نیز در کدگذاری به منظور رشد هم بافت ها (Caflisch)
ـ روشهای حداقل کردن انرژی هم بسته با روشهای بهینه سازی غیر خطی (المانی کلیدی برای کد کردن پروتیئن‌ها) (Pierce& Giles)
ـ روشهای کنترل (مؤثر در مدلسازی رشد لایه نازک‌ها (Caflisch))
ـ روشهای چند شبکه‌بندی که امروزه در محاسبات ساختار الکترونی و سیالات ماکرومولکولی چند مقیاسی بکار گرفته شده است.
ـ روشهای ساختار الکترونی پیشرفته ، به منظور هدایت پژوهشها به سمت ابر مولکولها (Lee & Head – Gordon)

نویسنده : شاهرخ رضایی
ستاد ویژه توسعه فناوری نانو

nice_Alice · Apr 19, 2012

تقریب مساحت دایره به کمک انیمیشن !

تقریب مساحت دایره به کمک انیمیشن !

nice_Alice · Apr 19, 2012

اشکال جدید هندسی ! ( جالبه!)

اشکال جدید هندسی ! ( جالبه!)

[FONT=arial,helvetica,sans-serif]الف) دلگون(Cardioid) :اگر دايره اي به شعاع 1 واحد مماس بر دايره اي به شعاع 1 واحد، حول آن بغلتد،شكلي كه يك نقطه از محيط دايره ي غلتان بر آن حركت مي كند را [/FONT][FONT=arial,helvetica,sans-serif]دلگون[/FONT][FONT=arial,helvetica,sans-serif] گويند . [/FONT]

[FONT=arial,helvetica,sans-serif]ب)نفروئيد(Nephroid):[/FONT][FONT=arial,helvetica,sans-serif] [/FONT][FONT=arial,helvetica,sans-serif]اگر دايره اي به شعاع 1 واحد مماس بر دايره اي به شعاع2 واحد، حول آن بغلتد،شكلي كه يك نقطه از محيط دايره ي غلتان بر آن حركت مي كند را نفروئیدگويند .[/FONT]
[FONT=arial,helvetica,sans-serif] [/FONT][FONT=arial,helvetica,sans-serif]
[/FONT]

[FONT=arial,helvetica,sans-serif] [/FONT][FONT=arial,helvetica,sans-serif]ج)دلتاگون(Deltoid):[/FONT][FONT=arial,helvetica,sans-serif] [/FONT][FONT=arial,helvetica,sans-serif]اگر دايره اي به شعاع 1 واحد مماس بر دايره اي به شعاع3 واحد، درون آن بغلتد،شكلي كه يك نقطه از محيط دايره ي غلتان بر آن حركت مي كند را دلتاگون گويند .[/FONT]

[FONT=arial,helvetica,sans-serif] [/FONT][FONT=arial,helvetica,sans-serif]د)ستاره گون(Astroid):[/FONT][FONT=arial,helvetica,sans-serif] [/FONT][FONT=arial,helvetica,sans-serif]اگر دايره اي به شعاع 1 واحد مماس بر دايره اي به شعاع4 واحد، درون آن بغلتد،شكلي كه يك نقطه از محيط دايره ي غلتان بر آن حركت مي كند را ستاره گون گويند .

[/FONT]

nice_Alice · Apr 21, 2012

اهمیت فوق العاده ای که ریاضیات ، در جامعه ی امروزی و در فعالیت گوناگون ترین تخصص ها دارد، بر کسی پوشیده نیست . باوجود این ، خیلی زیاد نیستند کسانی که علاقمند به ریاضیات باشند. البته تنها کسانی که کار و فعالیتشان به ریاضیات مربوط می شود ، علاقمند به ریاضیات نیستندبلکه کم هم نیستند مشتاقانی که ساعت های فراغت خود را ، با ریاضیات می گذرانند. همه ی این ها چه حرفه ای ها و چه علاقمندان ، نه تنها فایده و اهمیت ریاضیات را می شناسند بلکه در ضمن ، به ریاضیات شوق می ورزند و می توانند زیبایی و ظرافتی که در مسأله ها ، قضیه ها و روش های ریاضی وجود دارد را احساس کنند .

احساس و منطق را با هیچ نیرویی نمی توان از هم جدا کرد و هر جدایی ساختگی منجر به تحریف هر دوی آنها می شود . هر احساس اگر احساس واقعی باشد، خردمندانه است چراکه احساس واقعی نمی تواند جدا از اندیشه و خرد آدمی پدید آید.

ارتباط هنر و ریاضی :

هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه ی سر سبز آرامش خود را باز می یابد ، در عین حال ، به فکر فرو می رود . شاعر احساس درونی خود را بیان می کند . نقاش با قلم و بوم خود تلاش می کند که دیگران را در شادی خود شریک کند .

گیاه شناس در پی گیاه مورد نظر در رده های خاصی می رود . زبان شناس می خواهد ریشه و سر چشمه ی نام گذاری گیاه و دلیل آن را پیدا کند . داروشناس در جستجوی ویژگی درمانی گیاه است و ریاضی دان نحوه ی قرار گرفتن گل و گلبرگ ها یا اندازه و شکل ها را مورد مطالعه قرار می دهد . ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان و اگر بخواهیم برخورد انسان با گیاه را بررسی کنیم ناچاریم ، به همه ی این جنبه ها توجه داشته باشیم .

ریاضیات و رابطه آن با هنر :

" اشر" نقاش معروف هلندی در سال 1971 میلادی در سن 72 سالگی و یک سال پیش از مرگ خود نوشت :

« وقتی که هوشمندانه با رمز و راز های دور و بر خود برخورد کردم و وقتی به تجزیه و تحلیل مشاهده های خود پرداختم ، به ریاضیات رسیدم . من آموزش جدی در دانش ندیده ام ولی گمان می کنم بیش تر با یک ریاضی دان وجه مشترک داشته باشم تا با یک هنرمند . »

و " رودن" (1840- 1917 ) مجسمه ساز مشهور فرانسوی می گوید :

« من یک رویا پرداز نیستم ، بلکه یک ریاضی دان ام . مجسمه های من تنها به خاطر این خوب اند که ساخته و پرداخته ی اندیشه ی ریاضی اند . »

از آن طرف "ج.ه هاردی" ریاضی دان انگلیسی معتقد است :

« معیار ریاضی دان مانند معیار نقاس یا شاعر ، زیبایی است . اندیشه ها هم مانند رنگ ها یا واژه ها باید در هماهنگی کامل و سازگار با یکدیگر باشند . زیبایی نخستین معیار سنجش است . »

جایگاه هنر در درس ریاضی :

اگر این را بپذیریم که ، تصور و خیال ، یکی از سرچشمه های اصلی آفرینش های هنری است ، آن وقت ناچاریم قبول کنیم که ، در ریاضیات هم ، دست کم عنصر های زیبایی و هنر وجود دارد چرا که مایه ی اصلی کشف های ریاضی ، همان تصور و خیال است .

به قول ولادیمیر ایلیچ نویسنده ی « دفاتر فلسفی » ، تصور و خیال « حتی در ریاضیات هم لازم است ، حتی کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال هم ، بدون تصور و خیال ، ممکن نبود . »

با هیچ نیرنگی ، نمی توان از کشش انسان ها به سمت زیبایی ها جلوگیری کرد و آن چه زشت و نازیبا است را جانشین زیبایی ها کرد .

آدمی ، از همان روزهایی که می شنود ، می بیند و درک می کند ، از موسیقی و تقاشی و شعر لذت می برد و چه به صورت لالایی مادر باشد یا آهنگ گوش نواز چایکووسکی ، چه بیتی عامیانه و کوچه باغی باشد یا سرودی از لسان الغیب ، چه هنرمندانه قالی های دست باف باشد و چه ظرافت ها و رنگ های چشم نواز بهزاد و کمال الملک ، همه جا انسان را به سوی خود می کشاند و غرق در آرامش و لذت می کند . ولی همه ی این ها ، یک شرط اساسی دارد و آن ، این است که با آفریده ای از یک استاد هنرمند سروکار داشته باشید و گرنه ، حرکت ناشیانه ی آرشه بر ویلون ، روح شما را می آزارد و ردیف بی ربط واژه های شعر سخن ناشناس ، شما را بیزار و کسل کند . در واقع تمامی عرصه ی ریاضیات ، سرشار از زیبایی و هنر است . زیبایی ریاضیات را می توان ، در شیوه ی بیان موضوع ، در طرز نوشتن ارائه ی آن ، در استدلال های منطقی آن ، در رابطه ی آن با زندگی و واقعیت ، در سر گذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد .

هندسه ، به مفهوم عام آن ، زمینه ای است سر شار از زیبایی ، می گویند . افلاطون ، تقارن را مظهر و معیار زیبایی می دانست و چون ، گمان می کرد تنها هندسه است که می تواند رازهای هندسه را بر ملا کند و از ویژگی های آن برای ما سخن بگوید ، به هندسه عشق می ورزید و بر سر در آکادمی خود نوشته بود : « هر کس هندسه نمی داند وارد نشود . »

و هنوز هم ، با آن که هنر کوبیسم بسیاری از سنت ها را درهم شکست و زیبایی های خیره کننده ی نا متقارنی را آفرید ، باز هم از قدر و قیمت تقارن چیزی نکاست ، و چه مردم عادی و چه صاحب نظران ، همچنان اوج زیبایی را در تقارن و تکرار می بینند . شاید بتوان گفت که کوبیسم ، مفهوم زیبایی ناشی از تقارن را ، گسترش داده و تکامل بخشیده است .

هندسه ، همچون دیگر شاخه های ریاضیات ، زاده ی نیازهای آدمی است ، ولی در این هم نمی توان تردید کرد که ، در کنار سایر عامل ها یکی از علت های جدا شدن هندسه از عمل و زندگی و شکل گیری آن به عنوان یک دانش انتزاعی ، کشش طبیعی آدمی به سمت زیبایی و نظم بوده است . و هرچه هندسه تکامل بیشتری پیدا کرده و عرصه های تازه ای را گشوده ، نظم و زیبایی خیره کننده ی آن ، افزون تر شده است .

از همین جا است که ، یکی از راه های شناخت زیبایی ریاضیات و به خصوص هندسه ، آگاهی بر نحوه ی پیشرفت و تکامل آن است . مفهوم نقطه و خط راست ، از کجا آغاز شد و چگونه از فراز و نشیب ها گذشت ، تا به ظرافت و شکنندگی امروز رسید . ما در طبیعت دور و بر خود ، نه تنها نقطه و خط راست هندسی ، بلکه دایره مستطیل و کره و متوازی السطوح هم به معنای انتزاعی خود نمی بینیم .

این ذهن زیبا جو و در عین حال ، آفریننده ی انسان بوده است که چنین شکل ها و جسم های به

غایت ظریف و زیبا را ابداع کرده است و سپس کاربرد های عملی زیبا تری هم برای آن ها یافته است .

و در همین جا است که می توان جنبه ی دیگری از زیبایی ریاضیات را جست و جو کرد . ریاضیات با همه ی انتزاعی بودن خود ، بر همه ی دانش ها حکومت می کند و جزء جزء قانون های آن ، همچون ابزاری نیرومند دانش های طبیعی و اجتماعی را صیقل می دهد و به پیش می برد ، تفسیر می کند و در خدمت انسان قرار می دهد .

با چند ضلعی های محدب منتظم ، که نمونه های جالبی از شکل های متقارن اند ، می توان تصویر های جالب و زیبایی به دست آورد . ولی جالب تر از آن ها ، چند ضلعی منتظم مقعر ، یا چند ضلعی منتظم ستاره ای اند . ساده ترین آن ها ، یعنی پنج ضلعی منتظم ستاره ای را به سادگی می توان رسم کرد . بررسی ویژگی های چند ضلعی های منتظم ( محدب و مقعر ) و بدست آوردن شکل های ترکیبی از آن ها ، زمینه ی گسترده ای برای جلب دانش آموزان ، به زیبایی های درس های ریاضی است . از آن جالب تر ، کار با چند وجهی های منتظم است .

نشان دادن فیلم ها و اسلاید ها از چند وجهی های افلاتونی و چند وجهی های نیمه منتظم ، یه ویژه اگر همراه با توضیح ساختمان بلور ها و دانه های برف باشد ، می توانند وسیله ی بسیار خوبی ، برای بیدار کردن احساس زیبایی دوستی دانش آموزان باشد .

ولی نباید گمان کرد که در اشکال نا منتظم نمی توان زیبایی ها را جست جو کرد . نسبت ها و اندازه گیری ها ، زمینه ی بسیار مساعدی است که می تواند موجب رشد احساس زیبایی شناسی دانش آموزان بشود و آن ها را به طرف ریاضیات جلب کند . مسأله های مربوط به ماکزیمم و می نیمم یکی از جالب ترین و دلکش ترین زمینه ها در هندسه است که ، نه تنها نیروی تفکر و استدلال دانش آموز را بالا می برد ، بلکه در ضمن ، احساس هنری و زیبا شناسی او را هم بیدار می نماید .

در هندسه وقتی پاره خطی را طوری به دو بخش تقسیم کنیم که مجذور بخش بزرگتر برابر با

حاصل ضرب تمام پاره خط در بخش کوچکتر باشد ، می گویند که : « پاره خط را به نسبت زرین تقسیم کردیم . » تقسیم پاره خط به نسبت زرین» از دوران یونان باستان شناخته شده بوده است و ریاضی دانان یونان باستان مستطیلی را که روی این دو بخش پاره خط ساخته شود زیباترین مستطیل می دانسته اند و آزمایش فوق توانست درستی نظر ریاضی دانان باستانی را تایید کند .

درباره ی نسبت زرین باید یاد آوری کرد که از همان دوران باستان ، از این نسبت در مجسمه سازی و معماری به فراوانی استفاده می کرده اند . از همان دوران باستان ریاضی دانان در جست و جوی زیباترین راه حل برای مسأله ها بوده اند . در ریاضیات اغلب از اصطلاح زیباترین راه حل یا زیبایی راه حل استفاده می کنند . معلم ابتدا مسأله را به طریق عادی حل می کند و سپس راه حل هوشمندانه و ساده ای را برای حل مسأله وجود دارد ، به دانش آموزان نشان می دهند . از ساده ترین مسأله هایی که در دبستان مطرح می شود ، تا دشوارترین مسأله های سال آخر دبیرستان ، می توان از این شیوه استفاده کرد .

زیبایی شناسی در درس ریاضی :

علاقه به هنر و توجه به زیبایی های طبیعت و زندگی یکی از جنبه های شخصیت انسانی را تشکیل می دهد و این علاقه را می توان ، و باید از همان سال های نخست تحصیل ، شکل دادو تقویت کرد . مبارزه با زیبایی و کشاندن کودکان و نوجوانان به سمت پدیده های اندوه بار و تلاش برای دور نگه داشتن آنها از زیبایی های درون و بیرون خود ، به معنای ستیز با طبیعت انسانی آن هاست ودر بهترین صورت خود موجب یأس و سرخوردگی و یا عصیان و بی بند و باری می شود .

درس های ریاضی می تواند نقش عمده ای در شکوفایی زیبایی شناسی داشته باشد و معلم با تجربه می تواند از هر فرصتی برای تقویت درک هنری دانش آموزان استفاده کند و ظرافت بیشتری به روحیه ی زیبا شناسی آن ها بدهد . کودکان و نوجوانان هر چیز جالب را دوست دارندو در ریاضیات ، موضوع های جالب و زیبا ،فراوان است .

ریاضیات دانشی است منطقی ، دقیق و قانع کننده و همه ی بخش های آن ، مثل حلقه های زنجیر به هم پیوسته اند. سرچشمه ی تأثیر احساسی و هنری ریاضیات را ، باید در قطعی بودن نتیجه گیری ها و عام بودن کاربردهای آن و هم چنین ، در کامل بودن زبان ریاضیات ، شاعرانه بودن تاریخ آن و در مسأله های معمایی و سرگرم کننده ، جستجو کرد .

nice_Alice · Apr 24, 2012

دام های زمان در تدریس ریاضی

دام های زمان در تدریس ریاضی

ما معلمان همواره گفته ايم که: " وقت کافي براي تدريس نداريم ." اين در حالي است که زمان کافي در اختيار ما بوده است. به نظر مي رسد، ما مهارت هاي لازم را براي تنظيم زمان پيدا نکرده ايم. شايد اين عبارت کمي عجيب به نظر بيايد که:فقط عده کمي از مردم به قدر کافي زمان در اختيار دارند. با وجود اين، اگر همه مردم بخواهند، مي توانند وقت کافي براي انجام کارهاي خود پيدا کنند.
اما چنين امري عجيب نيست. مهم ترين وظيفه ما در اين زمينه، اين است که زمان را جدي بگيريم و براي بهره گيري درست از آن، برنامه ريزي کنيم.
در اين مقاله دام هاي زمان در تدريس معلمان، خصوصاً معلمان رياضي بررسي شده است:

مکتوب نکردن هدف ها و برنامه ها

بهترين روشي که ما معلمان را قادر مي سازد زمان موجود را سازماندهي کنيم و از آن براي رسيدن به هدف هاي شخصي و حرفه اي خود استفاده مناسب و بهينه نماييم، برنامه ريزي است. " برنامه ريزي " يعني: آماده کردن امکانات، منابع و وسايل براي تحقق بخشيدن به هدف ها.
تجربه هاي به دست آمده در زمينه تدريس نشان مي دهند که حتي تلاش براي مکتوب سازي برنامه ريزي زمان ( طرح درس )، ما را ياري مي دهد که در اجراي برنامه ها زمان کم تري صرف کنيم. زمان صرفه جويي شده همان زماني است که براي ما ذخيره مي شود.
در کار تدريس، برنامه ريزي در طرح درس روزانه تبلور پيدا مي کند و طرح درس روزانه مي تواند براي ما مزاياي زير را در بر داشته باشد:
کم کردن فشار ذهني: طرح درس مکتوب از اشتغال ذهني بيش از حد مي کاهد.
تمرکز: با طرح درس مکتوب، نه تنها کم تر از گذشته دچار آشفتگي در تدريس مي شويم؛ بلکه موفق خواهيم شد، کارها را طبق برنامه انجام دهيم.
بررسي کردن: با بررسي نتايج حاصل از کارها و پيگيري اين که کدام بخش از کار نگرفته است، بخش انجام نشده را به جلسه بعد موکول مي کنيم و به بررسي علل عدم تحقق آن مي پردازيم.
مستند سازي: اگر طرح درس هاي خود را در يک پوشه مجزا نگهداري کنيم، مي توانيم از آن ها به عنوان شاهد و مدرک کارهايي که انجام شده است، در موارد خاص، به خصوص در طراحي سؤالات امتحاني و استفاده در سال هاي بعد کمک بگيريم.

برنامه به روش « LEADS» يکي از راه هاي ساده و قابل استفاده در مديريت زمان است و به سادگي اين امکان را به وجود مي آورد که روزانه با مصرف 8 دقيقه وقت براي برنامه ريزي کارهايي که در طول روز مي خواهيم انجام دهيم، زمان بيش تري براي انجام کارهاي ضروري خود در اختيار داشته باشيم .
فعاليت ها را فهرست کنيد،
زمان مورد نياز را تخمين بزنيد،
زماني را به کارهاي برنامه ريزي نشده تخصيص دهيد،
درباره اولويت ها تصميم بگيريد،
در پايان هر روز، برنامه زماني پيش بيني شده را براي انجام کارهايتان بازبيني کنيد.

تسلط نداشتن بر موضوع تدريس

رياضيات شاخه هاي متعددي دارد و برخي از معلمان در شاخه خاصي از آن تجربه و تبحر دارند. بنابر اين تدريس آنان در موضوعاتي که بر آن ها تسلط کافي ندارند، سبب مي شود، هنگام تدريس زمان زيادي تلف شود؛ خصوصاً هنگامي که درس براي اولين بار تدريس مي شود.

براي جلوگيري از اين اتلاف وقت، راه حل هاي زير ارائه مي شوند :
1- خودداري از تدريس موضوعاتي که بر آن ها تسلط کافي نداريم .
2- مطالعه بيش تر براي اين که مفهوم براي خود معلم جا بيفتد.در غير اين صورت، آن مفهوم براي دانش آموز نيز جا نمي افتد و معلم مجبور خواهد بود، براي تفهيم بيش تر موضوع، از مثال هاي متعدد استفاده کند که خود اين مثال ها نيز مشکلات ديگري براي دانش آموزان ايجاد مي کنند.
3- استفاده از تجربه هاي ديگران، خصوصاً همکاراني که در آن درس تجربه کافي دارند.

آغاز بَد

مفاهيمي مانند: مجموعه، تابع، حد، مشتق و گراف را که دانش آموزان اولين بار با آن ها آشنا مي شوند، چگونه بايد تدريس کنيم ؟ يک آغاز بد مي تواند زمان زيادي از تدريس را هدر دهد. در حالي که آغازي خوب به ما کمک مي کند، در زمان صرفه جويي کنيم . راهبردهايي که براي کلاس هاي مختلف با استعدادهاي گوناگون وجود دارند، بايد شناخته شوند و بر حسب موقعيت زماني و مکاني از آنان استفاده شود.
مثال
در مفهوم سازي براي " حد" ، معلم از حرارت دادن يک ميله و اندازه گيري طول آن صحبت مي کند و اين که هر چه حرارت بيش تر مي شود، طول ميله افزايش مي يابد و... در اين مثال، معلم توانسته است يک مفهوم را در زنجيره مفاهيم قبلي دانش آموز وارد کند.
اغلب، تاريخچه اي از روند شکل گيري مفهوم مي تواند مفيد باشد. انگيزه هاي شکل گيري مفاهيمي مانند تابع، حد، مشتق و هندسه، مي تواند زمينه مناسبي براي يادگيري چنين مفهوم هايي توسط دانش آموز فراهم سازد.

nice_Alice · Apr 24, 2012

عدم ارائه مفاهيم از ساده به پيچيده

اغلب شکوه هايي که دانش آموزان از نحوه تدريس ما معلمان دارند، به اين دليل است که هنگام تدريس، هنوز يک مفهوم براي آنان جا نيفتاده است، به مثال هاي مشکل روي مي آوريم به حل آن ها مي پردازيم و دانش آموز را درگير محاسبات پيچيده و طولاني مي کنيم . در صورتي که بايد براي جا انداختن مفاهيم مشکل، از سؤالات ساده تر شروع کنيم.
محاسبه حدود گوناگون، هم ارزي ها، دامنه و برد توابع پيچيده و مشتق گرفتن از آن ها بدون آن که مفهوم آن ها فهميده شود، از مواردي هستند که زمان زيادي را از دانش آموزان تلف مي کنند و نتيجه اي جز خستگي و سردرگمي به بار نمي آورند.
مثال
معلم بدون توجه به اين که دانش آموز درک درستي از ندارد، از وي مي خواهد معادله را حل کند. يا قبل از آشنايي با مفاهيم حد و همگرايي از او مي خواهد عبارت را محاسبه کند. نتيجه آن که بخش زيادي از وقت کلاس صرف مسائلي مي شود که اگر نشود هم هيچ مشکلي پيش نخواهد آمد.

ضعف در برقراري ارتباط

براي نفوذ در مخاطب، بايد ساز و کارهاي يادگيري او را شناخت و با او ارتباط بر قرار کرد. بعضي انسان ها از طريق تصوير و بعضي از طريق شنيدن بهتر ياد مي گيرند. اغلب، نشان دادن يک شکل همراه با يک مثال شهودي مي تواند، به تفهيم بهتر و بيش تر مطلب کمک کند. اگر ارتباط درستي با دانش آموز بر قرار نشود، زمان زيادي از تدريس صرف آموزش يک مفهوم خواهد شد.
برخي از نمودهاي ارتباط صحيح نداشتن با دانش آموز را در زير مي آوريم :
* سخن گفتن با تخته و ديوارها و کف اتاق و سقف، به جاي نگاه کردن به دانش آموزان هنگام سخن گفتن؛
* استفاده کردن از برخي جمله ها، نظير: اين مطلب ساده است، بديهي است، واضح است و ....؛
* نشان ندادن هيجان؛
* دائم به ساعت نگاه کردن؛
* به خاطر نسپردن نام دانش آموزان؛
* تشويق نکردن دانش آموزان؛
* داشتن رفتار اهانت آميز و تحقير کننده .

سپردن کارها به نحو غير مؤثر

اغلب ما معلمان ترجيح مي دهيم، تمام قسمت هاي آموزش را خودمان انجام دهيم . حتي بعضي از معلمان ترجيح مي دهند، تمامي تمرينات را خودشان حل کنند! چرا که معتقدند، دانش آموزان تسلط کافي ندارند و اگر آنان تمرينات را حل کنند، بخشي ازوقت کلاس گرفته مي شود. در صورتي که به جاي اين گونه صرفه جويي ها در زمان، بايد راهکارهاي ديگري يافت.

در اين رابطه مي توان به برخي از موارد راهگشا اشاره کرد:
* معرفي يک کتاب تمرين در کنار درس، مي تواند زمان زيادي براي آموزش بهتر ذخيره کند. اين که بدانيم کدام تمرينات را در کلاس حل کنيم، خود مسأله اي مهم است که از راه تجربه به آن مي رسيم . ولي پرداختن به برخي سؤالات و آن ها را بهتر و کامل توضيح دادن و راهنمايي کردن و دادن جواب نهايي به تمرين ها، مي تواند در زمان تدريس صرفه جويي کند.
* در مورد حل تمرين ها بايد توجه داشت که مدت تمرين کوتاه باشد، و در صورت لزوم با فاصله تکرار شود. کار تمرين به صورت عادي ممکن است کسالت آور شود و اگر مدت آن طولاني نيز باشد، علاقه به مطلب را از بين مي برد .
* تأکيد بر درستي جواب مسأله باشد، نه بر سرعت به دست آوردن آن.
برخي از بخش هاي آموزش را مي توان به خود دانش آموزان سپرد. کار گروهي و گروه بندي دانش آموزان و سپردن چند نفر به دست يک نفر و يا محول کردن برخي از موارد آموزشي به دانش آموزان برتر، مي تواند در کيفيت آموزش تأثير بسزايي داشته باشد، هر چند اين موارد در شروع کار کمي بيش تر از حد معمول وقت کلاس را مي گيرد، ولي به مرور به عاملي براي صرفه جويي در وقت تبديل مي شود.
موکول کردن انجام تمرينات به منزل اگر حساب شده نباشد و يا مواردي تکراري داشته باشد، انگيزه کار را از بين مي برد. از جمله نکاتي که در حل تمرينات توسط دانش آموزان در منزل بايد رعايت شود، استفاده نکردن از حل المسائل هاي رايج در بازار است. معلم بايد به گونه اي بر خورد کند که اثرات منفي اين کار براي دانش آموزان روشن شود و آن ها براي حل تمرين ها مجبور به فکر کردن شوند.
بازبيني تکاليف دانش آموزان از موارد مهمي است که زمان زيادي بايد صرف آن شود. معلم مي تواند بر حسب نوع کلاس، راهبردهاي گوناگوني را در اين زمينه انتخاب کند. برخي از اين راهبردها از اين قرارند :
* چند نفر را به تصادف انتخاب کنيد، خصوصاً با استفاده از اعداد تصادفي، با کمک ماشين حساب در حضور شاگردان و به بررسي تکاليف آن ها بپردازيد.
* هر دانش آموزي که براي حل تمرين پاي تخته فرا خوانده مي شود، دفتر او هم بازديد شود و حل برخي از تمرين هاي او کنترل شود.
* از سرگروه ها ( در صورت گروه بندي کلاس ) بخواهيم قبل از آمدن معلم، کار اعضاي گروه را کنترل کنند و در بدو ورود معلم گزارش کار را ارائه دهند.
* دفاتر دانش آموزان جمع شود و در يک زمان، در صورت امکان، خارج از وقت کلاس، ملاحظه شوند.
* در شروع هر کلاس از تمرينات انجام شده، با يک يا دو سؤال امتحان گرفته شود.

nice_Alice · Apr 24, 2012

استفاده نکردن از فناوري آموزشي

کسب رفتار جديد، در نتيجه تأثير متقابل فراگيرنده و محيط او صورت مي گيرد. حواس فراگيرنده مسيرهايي هستند که تأثيرات دريافتي شاگرد از محيط خارج را به مغز او مي رسانند. معلم جزئي از جهان خارجي فراگيرنده است . بنابر اين تنها وسيله ارتباط معلم با فراگيرنده، شاهراه هاي حواس او هستد. آموزش که فقط بر يک حس ( مثلاًً حس شنوايي ) متکي باشد، خيلي کم اثرتر از آموزشي است که در آن از چند حس استفاده مي شود.
وسايل کمک آموزشي، اسباب هايي هستند که روش چند حسي در تدريس رياضيات را ممکن مي سازند. رياضيات تنها از طريق شنيدن و ديدن فرا گرفته نمي شود، بلکه از طريق حس لامسه و حس بساوايي نيز آموخته مي شود.

روش "3H"

اين روش بر سه پايه استوار است« Heart» ، « Head» و « Hands» و H حرف اول اين سه کلمه است. « Heart» به معني قلب يعني : آموزش صورت نمي گيرد، مگر دانش آموز قلباً راضي به يادگيري آن باشد.

« Head» به معني سر و مغز، يعني: آموزش صورت نمي پذيرد؛ مگر آن که دانش آموز از حافظه، چشم، گوش و تمامي حواس خود استفاده کند. بدين منظور مي توان از نوارها، نرم افزارهاي آموزشي، فيلم هاي آموزشي و نظاير آن ها بهره جست.
« Hands» به معني دست ورزي، يعني اين که: دانش آموز خودش مسأله را تجربه کند و براي يادگيري " کاردستي " بسازد؛ مثلاً مسأله خطوط همرأس در مثلث را خودش با مقوا و کش تحقيق کند و يا قضيه فيثاغورث، حجم مخروط ونظاير آن را عملاً بياموزد.

در رابطه با استفاده از فناوري آموزشي، اين موارد مي تواند مورد توجه قرار گيرد:
* استفاده از اورهد و طلق شفاف به معلم کمک مي کند، با دقت و ظرافت شکل ها را رسم کند و براي بچه ها نمايش دهد.
* استفاده از کتاب هاي کمک آموزشي و معرفي آن ها به بچه ها، خصوصاً کتاب هايي که در کتابخانه مدرسه موجودند، کمک مؤثري به امر آموزش است.
* استفاده از مجلات تخصصي رياضي، نظير رشد آموزشي رياضي، اطلاعات معلم را به روز مي کند و او را از ابزارهاي کمک آموزشي جديد مطلع مي سازد.
* با استفاده از تجارب ديگران، خصوصاً با حضور در مجامع علمي، مي توان به اطلاعات و روش هاي جديد پي برد.
* اطلاع از تازه هاي نشر در حيطه کار و موضوع تدريس، توانايي معلم را در زمينه آموزش بالا مي برد.
* استفاده از فيلم هاي آموزشي، خصوصاً فيلم هاي آموزشي موجود در دانشگاه ها ي کشور و مناطق آموزش و پرورش و مدرسه ها، روند آموزش را تسهيل مي کند.
* استفاده از نرم افزارهاي رياضي و آمار در زمينه آموزش ماده درسي مورد نظر، خصوصاً در درس هايي نظير حسابان و حساب ديفرانسيل، رسم نمودارها و بررسي رفتار توابع و همچنين در درس آمار و مدلسازي واستفاده از نرم افزارهاي آماري" Mini tab " و « Excel» و مانند آن ها براي رسم نمودارها و تحليل آماري، مي تواند مفيد واقع شود.

nice_Alice · Apr 24, 2012

بي توجهي به سؤالات دانش آموزان

يک سؤال حساب شده و مناسب مي تواند، زمينه ساز يادگيري يک مفهوم باشد. مي تواند انگيزه دانش آموز را نسبت به آنچه به او آموزش داده مي شود بالا ببرد و همچنين، ذهن کنجکاو او را با مسأله درگير کند. از فرمايشات معصومين ماست که: " حسن السؤال نصف العلم "؛ نيمي از علم و يادگيري در خوب سؤال کردن است. ولي بعضي از اوقات در ارتباط با موضوع سؤال کردن برخوردهايي در کلاس مي شود که ظاهراً براي صرفه جويي در زمان تدريس است. ولي در باطن سرعت آموزش و ياددهي را کاهش مي دهد.

استفاده نامناسب از فضاي کلاس

فضاي نامناسب کلاس مي تواند تأثير منفي بر فراگيري رياضي بگذارد و از اين راه موجب اتلاف وقت دانش آموزان شود. بنابر اين معلم مي تواند با بهبود محسوس اين فضا کمک شاياني به پيشرفت فراگيري محصل بکند.تابلوهايي براي نصب اطلاعيه ها، وسايل آموزشي جالب، کتابخانه کلاسي و... مي توانند فضاي کلاس را از يکنواختي بيرون آورند و آن را دلپذيرتر و دلچسب تر کنند.

نحوه ارزشيابي از دانش آموزان

ارزشيابي يک فرايند دائمي است؛ بدين معني که معلم بايد همواره مراقب رفتار دانش آموزان در کلاس باشد و پيشرفت آن ها را در نيل به هدف ها و مقاصدي که آموزش تعيين کرده است، زير نظر داشته باشد.

زمان زيادي از کلاس براي ارزشيابي از آموخته هاي دانش آموزان صرف مي شود. اين که بخشي از زمان آموزش را به ارزشيابي از دانش آموزان تخصيص دهيم امري است که بر حسب تجربه به آن مي رسيم. اما در اين رابطه نکات زير مي تواند در بهبود کار مفيد واقع شود:
1- دفعات و چگونگي ارزشيابي از آموخته هاي دانش آموزان را مشخص کنيد.
2- توجه داشته باشيد که ارزشيابي زياد، اهميت آن را از بين مي برد و دانش آموز را نسبت به آن بي توجه بار مي آورد.
3- ارزشيابي از امتحان و بررسي نقاط ضعف و قوت دانش آموزان و معلم، به اصلاح ارزشيابي کمک مي کند.
4- تنوع در ارزشيابي مي تواند شور و شوق به دانش آموزان بدهد.
5- سؤال هاي سخت، اطمينان و اعتماد به نفس دانش آموز را کاهش مي دهد.
6- ارزشيابي دانش آموزان از کار معلم نيز مي تواند مشکلات کار او را شناسايي و به او ياري رساند که به رفع اين مشکلات بپردازد.

nice_Alice · Aug 6, 2012

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

رياضيدانان آمريكا مدل جديدي از جريان حرارت اشك انسان تهيه كرده اند كه نشان ميدهد، هرچه مدت اشك ريختن طولانيتر شود، دماي اشك نيز افزايش مييابد!

به گزارش سرويس علمي خبرگزاري دانشجويان ايران (ايسنا)، در هنگام پلك زدن، يك لايه مايع نازك بر سطح چشم پخش ميشود.

آزمايشات نشان ميدهد كه پس از هر بار چشمك زدن اين لايه به سرعت خنك ميشود و در بيماران مبتلا به خشكي چشم، سرعت خنك شدن سريعتر است.

محققان براي بررسي روند سرد شدن لايه اشك، مدل انتقال حرارت را با جزئيات دقيق طراحي كردند كه نشان ميدهد، دماي اشك در طول دوره بين دو چشمك زدن اندكي افزايش مييابد.

بر اساس مدل رياضي جريان حرارت اشك، اگر سطح لايه نازك اشك افزايش پيدا كند، يعني هرچه مدت زمان گريه كردن طولاني تر شود، به تبع آن حرارت اشك نيز افزايش مي يابد.

اما زمانيكه انتقال حرارت در منطقه ضخيم از زير لايه اشك صورت ميگيرد و فواصل پلك زدن بيشتر شود، غشا به سرعت سرد ميشود.

محققان در ادامه تحقيقات خود قصد دارند روشهاي تازهاي براي مدلسازي تركيبات چربي و پويايي درجه حرارت اشك در طول حركت پلك زدن تهيه كنند.

Thread starter	عنوان	تالار	پاسخ ها	تاریخ
	·▪• کتاب های خواندنی در زمینه ریاضیات ●•▪·	ریاضی	20	Jan 31, 2010
	مقالات جالب ریاضی	ریاضی	3	Jun 15, 2013

خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

عضو جدید

عضو جدید

عضو جدید

عضو جدید

عضو جدید

عضو جدید

عضو جدید

عضو جدید

کاربر بیش فعال

عضو جدید

عضو جدید

عضو جدید

عضو جدید

مدیر بازنشسته

عضو جدید

مدیر بازنشسته

عضو جدید

عضو جدید

مدیر بازنشسته

عضو جدید

عضو جدید

عضو جدید

مدیر بازنشسته

مدیر بازنشسته

مدیر بازنشسته

مدیر بازنشسته

مدیر بازنشسته

مدیر بازنشسته

مدیر بازنشسته

مدیر بازنشسته

Similar threads