خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

m@ys@m

عضو جدید
کاربر ممتاز
در این تاپیک مطالب زیبا از دنیای ریاضی و شیوه های استدلال قرار داده میشه، ممکنه برخی از پست ها طولانی باشه، ولی سعی کردیم پست هایی در این تاپیک قرار داده بشه که اگر فردی اون رو خوند بعدش مسیری روشن، پیش روش باز بشه و راهش رو دقیق تر و لذت بخش تر طی کنه. اگر پست های این تاپیک طولانی بودند اونا رو در فایل ورد کپی کنید و بخونین تا چشم هاتون کمتر اذیت بشه.
به امید جوانه زدن روح امید و خودباوری در وجود تموم جوون های ایرانی
:gol:

 
آخرین ویرایش توسط مدیر:

*** s.mahdi ***

مدیر بازنشسته
کاربر ممتاز
خبرخوان ریاضی

خبرخوان ریاضی

شايد از آنچه كه در پرسش و پاسخ‌هاي ما با (علي بيات موحد)مي خوانيد چيزي دستگيرتان نشود؛ چرا كه گفتگو با چنين فردي كه يكي از سوپر مغزهاي دنياست، با آن واژه‌هاي علمي و رياضي، كمي آسان نباشد و احتياج به ذهني خلاق دارد كه مقابل او بنشيند و با او به گفتگو بپردازد

 
آخرین ویرایش توسط مدیر:

determinan

عضو جدید
خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

[FONT=&quot]چرا باید ریاضیات بخوانیم؟راجر بیکن فیلسوف انگلیسی در سال 1267 میلادی پاسخ این سوال را چنین داده است:((کسی این کار را نکند نمیتواند چیزی از بقیه علوم و هر آنچه دراین جهان است بفهمد...چیزی که بدتر است این است که کسانی که ریاضیات نمیدانند به جهالت خودشان پی نمی برند ودر نتیجه در پی چاره جویی بر نمی آیند.)) [/FONT]
[FONT=&quot]می توانم همین جا سخنرانیم را پایان دهم اما ممکن است بعضیها فکر کنند که شاید خیلی چیزها در هفت قرن گذشته تغییر کرده باشد.... [/FONT]
[FONT=&quot]شاهدی تازه تر می آورم پال دیراک از خالقان مکانیک کوانتومی معتقد است که وقتی تئوری فیزیکی ای را پایه ریزی می کنید نبایدبه هیچ شهود فیزیکی ای اعتماد کنید.پس به چه چیزی اعتماد کنید؟به گفته ی این فیزیکدان مشهور فقط به برنامه ای متکی بر ریاضیات _ولو اینکه در نگاه اول ربطی به فیزیک نداشته باشد. [/FONT]
[FONT=&quot]در حقیقت در فیزیک تمامی ایده های صرفا فیزیکی رایج در ابتدای این قرن را کنار گذاشته اند در حالی که الگوهای ریاضی ای که به زرادخانه فیزیکدان ها راه یافته اند به تدریج معنای فیزیکی یافته اند.در اینجاست که قابل اعتماد بودن ریاضیات به روشنی رخ می نمایاند. [/FONT]
[FONT=&quot]بنابراین الگوسازی ریاضی روشی پربار برای شناخت در علوم طبیعی است.اکنون می خواهیم الگوهای ریاضی را از نگاهی دیگر یعنی مسئله ی آموزش ریاضی بررسی کنیم. [/FONT][FONT=&quot][/FONT]
سه روش آموزش ریاضیات
[FONT=&quot]در اموزش ریاضیات روسی (هم در دبیرستان و هم در مقاطع بالاتر) ما پیرو نظام اموزشی اروپایی هستیم که بر اساس ((بورباکی ای سازی))ریاضیات بنا شده است (نیکلاس بورباکی نام مستعار گروهی از ریاضیدانان فرانسوی است که ازسال 1939 به انتشار مجموعه ای از کتابها دست زده اندکه در انها شاخه های اصلی ریاضیات جدید به طور اصولی یعنی به روش اصل موضوعی براساس نظریه ی مجموعه ها شرح داده شده است.) [/FONT]
[FONT=&quot]اصولی کردن ریاضیات به نوعی تصنعی کردن آموزش آن منجر می شود واین زیانی است که بورباکی سازی به آموزش ریاضیات وارد کرده است.نمونه ای شگرف مثال زیر است: [/FONT]
[FONT=&quot] از دانش آموز سال_دومی مدرسه ای در فرانسه پرسیده اند:[/FONT]"[FONT=&quot]دو بعلاوه ی سه چقدر میشود؟[/FONT]"[FONT=&quot] پاسخ چنین بود:[/FONT]" [FONT=&quot]چون جمع تعویض پذیر است می شود سه بعلاوه ی دو.[/FONT]"[FONT=&quot] [/FONT]
[FONT=&quot]پاسخی واقعا قابل تامل! کاملا درست است اما دانش آموزان حتی به جمع کردن ساده ی این دو عدد هم فکر نکرده اند زیرا در تعلیم انها تکیه بر ویژگی های عملها بوده است. در اروپا معلمان متوجه نارساییهای این روش شده اند و بورباکی سازی را کنار گذاشته اند. [/FONT]
[FONT=&quot]طی چند سال گذشته آموزش ریاضیات روسی دستخوش تغییراتی به سبک آمریکایی شده است.اساس این سبک این اصل است: آنچه را که برای کاربردهای عملی لازم است آموزش بدهید.در نتیجه کسی که فکر می کند به ریاضیات احتیاجی نخواهد داشت اصلآ لازم نیست ان را بخواند.ریاضیات درسی اختیاری در دوره ی راهنمایی و دبیرستان است_مثلآ یک سوم دانش آموزان دبیرستانی جبر نمی خوانند.نتیجه ی این امر را در مثال زیر روشن کرده ایم: [/FONT]
[FONT=&quot]در آزمونی برای دانش آموزان چهارده ساله ی آمریکایی از آنها خواسته شده بود که برآورد کنند (نه اینکه حساب کنند بلکه برآورد کنند) که اگر 80 درصد از عدد 120 رابرداریم این عدد چه تغییری می کند.سه نوع پاسخ را می توانستند انتخاب کنند: زیاد میشود،تغییری نمیکند،کمتر میشود.تقریبآ 30 درصد دانش آموزان سوال شونده پاسخ درست را برگزیده بودند.یعنی اینکه پاسخها را تصادفی انتخاب کرده بودند.نتیجه: هیچ کس هیچ چیز نمی داند.دومین ویژگی شاخص روش آموزش ریاضی آمریکایی،کامپیوتری کردن آن است. [/FONT]
[FONT=&quot]جذابییت کار با کامپیوتر به خودی خود به گسترش تواناییهای فکری کمکی نمی کند.مثالی دیگر از یکی از آزمونهای آمریکا میاوریم: [/FONT]
[FONT=&quot]کلاسی 26 دانش آموز دارد.این دانش آموزان می خواهند با اتومبیل به مسافرت بروند.در هر اتومبیل یک نفر از اولیا و چهار دانش آموزجا می شوند.چند نفر از اولیا را میتوانیم دعوت کنیم؟ [/FONT]
[FONT=&quot]جوابی که همه داده بودند 65 نفر بود جواب کامپیوتر : [/FONT]
[FONT=&quot] [/FONT]
[FONT=&quot]است،ودانش آموزان می دانستند که اگر جواب باید عددی صحیح باشد،می توان بلایی سر ممیز آورد_مثلآ می توان اصلآ آن را برداشت. [/FONT]
[FONT=&quot]نمونه ی دیگری از یکی از آزمونهای رسمی دانش آموزی در سال 1992 می آوریم: [/FONT]
[FONT=&quot]رابطه ی کدام زوج شباهت بیشتری به رابطه ی میان زاویه و درجه دارد: [/FONT]
[FONT=&quot]الف) زمان وساعت [/FONT]
[FONT=&quot]ب) شیر وکوارت ((واحد اندازه گیری مایعات برابر با 44/1 لیتر)) [/FONT]
[FONT=&quot]ج) مساحت و اینچ مربع [/FONT]
[FONT=&quot]پاسخ،مساحت و اینچ مربع است،زیرا درجه ی کوچکترین واحد اندازه گیری زاویه و اینچ مربع کوچکترین واحد اندازه گیری مساحت است،اما ساعت را می توان به دقیقه هم تقسیم کرد. [/FONT]
[FONT=&quot]طراح این مسئله مسلمآ مطابق نظام امریکایی می اندیشیده است.می ترسم که طولی نکشد که ما هم به چنین سطح نازلی برسیم.( جو برمن،استاد ریاضی در نیویورک توضیح داده که( از نظر او که آمریکایی است) ،پاسخ درست این مسئله کاملآ روشن است.او گفت که ((اصل مطلب این است که من می توانم میزان حماقت طراح این مسئله را دقیقآ تصور کنم.))_) مایه ی شگفتی است که تعداد زیادی ریاضیدان و فیزیکدان برجسته در ایالات متحده وجود دارد. [/FONT]
[FONT=&quot]امروزه آموزش ریاضیات ما آرام آرام از نظام اروپایی به نظام آمریکایی تبدیل می شود.مطابق معمول ،باز هم عقبیم،حدود سی سال از اروپا عقبتریم و بنابراین سی سال بعد زمان آن فرا میرسد که اوضاع را سروسامان بدهیم و از چاهی که با ظناب نظام آموزشی آمریکایی به آن رفته ایم بیرون بیاییم. [/FONT]
[FONT=&quot]سطح آموزش ریاضی سنتی ما بسیار بالا و بر اساس آموزش مسئله های حساب بوده است.حتی تا همین بیست سال پیش هم خانواده هایی بودند که نسخه هایی از کتابهای قدیمی مربوط به مسئله های ((سود و زیان)) را داشتند.در حال حاضر، همه ی اینها از بین رفته است.در آخرین اصلاحات آموزش ریاضی،جبری سازی، دانش آموزان را به روبات تبدیل کرده است. [/FONT]
[FONT=&quot]مساله های حساب است که ((بی محتوایی)) ریاضیاتی را که تدریس می کنیم نشان می دهند مثلآ این مسئله را در نظر بگیرید: [/FONT]
[FONT=&quot]1.سه تا سیب داریم.یکی را برمی داریم.چند تا باقی مانده است؟ [/FONT]
[FONT=&quot]2.چند برش با اره لازم است تا تکه ای هیزم را به سه بخش تقسیم کنیم؟ [/FONT]
[FONT=&quot]3.تعداد خواهران بوریس از تعداد برادرانش بیشتر است.در خانواده ی او تعداد دختران چند تا بیشتر از تعداد پسران است؟ [/FONT]
[FONT=&quot]از منظر حساب اینها مساله های متفاوتی هستند،زیرا محتوایشان فرق می کند.همچنین،تلاش فکری لازم برای حل کردن مسئله ها هم کاملآ متفاوت است،هر چند که الگوی جبری هر یک از آنها یکی است: 2=1-3 جالب توجه ترین نکته در ریاضیات،فراگیر بودن شگفت آور الگوها و کارایی نامحدود انها در مساله های علمی است. [/FONT]
[FONT=&quot]به قول ولادیمیر مایاکوفسکی،شاعر بزرگ روس: ((کسی که اولین بار دو بعلاوه ی دو می شود چهار را، مطرح کرده است حتی اگر با جمع کردن دو تا ته سیگار با دو تا ته سیگار دیگر به این حقیقت رسیده باشد،ریاضیدان بزرگی بوده است.هر کس پس از او به این نتیجه رسیده باشد،حتی اگر چیزهای بسیار بزرگتری،مثل لوکوموتیوها را با هم جمع کرده باشد،ریاضیدان نیست)) لوکوموتیو شماری،روش آمریکایی آموزش ریاضیات است.چنین چیزی مصیبت بار است.طرز پیشرفت فیزیک در ابتدای سال اخیر نمونه ای است که نشان می دهد ریاضیات لوکوموتیوی به مراتب از ریاضیات ته سیگاری به درد نخورتر است:ریاضیات کاربردی نتوانسته همگام با فیزیک پیشترفت کند،در حالی که ریاضیات نظری هر آنچه را که فیزیکدانان برای بسط بیشتر دانش خودشان نیاز داشته اند برایشان فراهم کرده است.ریاضیات لوکوموتیوی از روال معمول عقب می ماند: تا حساب کردن با چرتکه را آموزش بدهیم،سر و کله ی کامپیوترها پیدا می شود .باید شیوه ی فکر کردن را آموزش بدهیم،نه طرز فشار دادن دکمه ها را. [/FONT]
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

معرفی یک دنباله جالب در به هم رساندن اعداد طبیعی به یکدیگر در حالت حدی با استفاده از یک ذره واسط


دنباله های زیادی وجود دارندکه به نوعی بیانگر یک ترتیب خاص برای اعداد و به ویژه اعداد طبیعی می باشند.آشنا ترین این دنباله ها مجموعه اعداد طبیعی است که یک ترتیب گسسته از اعداد نامنفی به جز صفر است.

شرح طرح:
به دنباله زیر توجه کنید:
1,n^n,1/(n^n),(n^2n),1/(n^3n),(n^5n),1/(n^8n),……. (n€IN) ^IS THE SYMBOL OF POWER
به غیر از دو جمله اول که مقادیر ثابت دنباله هستند از جمله سوم به بعدجمله nام از تقسیم دو جمله قبلی بدست می آید.
U(n)=u(n-2)/u(n-1)
اینک به بررسی خصوصیات این دنباله می پردازیم:
الف)واگرایی یا همگرایی دنباله:این دنباله به ازای n=1دنباله ثابت 1خواهد شدودر این حالت خاص به خود 1 همگرا ست.در غیر این صورت و به ازایn>1دنباله به دو تکه نزولی اکید و صعودی اکید تقسیم می شود.در واقع یک زیر دنباله به ∞و دیگری به صفر همگرا می شود.ولی چون یک زیر دنباله واگرا دارد لذا کل دنباله نیز واگرا می شود(اثبات به عهده خواننده)
ب)رابطه بین توان های ایجاد شده در دنباله:اگر کمی با دقت به توان های دنباله نگاه کنیم متوجه خواهیم شدکه از جمله دوم به بعد توان های جملات پیرو دنباله فیبوناتچی هستند.در واقع این دنباله را می توان دنباله ای توان ساز از جملات دنباله فیبوناتچی دانست.
جملات فرد این دنباله کسری و جملات زوج آن صحیح است.
U(2n€IN),U(2n+1€Q)
مثال)جمله یازدهم این دنباله چند برابر جمله دوم است؟
U(11)=1/(n^59n) ,u(2)=n^n →u(11)/u(2)=1/n^60n
ج)تقابل ازدیاد وکاهش ناگهانی جملات دنباله:جملات زوج این دنباله ازدیاد وحشتناکی دارند به گونه ای که مثلا جمله دهم دنباله(n^34n) n^33n برابر جمله دوم(n^n)است.به این شکل جملات زوج سیر صعودی ناگهانی دارندواگر n عدد بزرگی فرض شود با تعداد مراحل اندک می توان اعداد بزرگی ساخت و دامنه بزرگی از اعداد را تحت پوشش قرار داد.درجملات فرد هم دایما به اعداد کوچک وبسیار کوچکی می رسیم واین تقابلی زیبا بین رشد وکاهش ناگهانی جملات است.

د)عضو کاتالیزور در دنباله:گفتیم در ازای n=1دنباله تبدیل به دنباله ثابت 1 می شود.در غیر این صورت به ازای هیچ nای 1 پدید نمی آید.در حالی که 1 عامل بوجود آمدن دنباله می شود درپایان نیز بدون تغییر باقی می ماند و عضوی خنثی در دنباله محسوب می شودکه نقش کاتالیزور در دنباله را داراست.(کاتالیزور عاملی است که سرعت یک فرآیند را افزایش می دهد بدون آنکه در فرآیند مصرف شود).
حذف این جمله در پایان خللی به دنباله وارد نمی کند.
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ
"یک بحث نرم افزاری برای این دنباله":
یافتن جملات دنباله فیبوناتچی نقش مهمی در این دنباله در یافتن توان ها ایفا می کند.در برنامه زیر که قابل اجرا در نرم افزار mathematica است با دادن nبه برنامه فیبوناتچی آن یافت می شود:
F[0]=0 ;
F[1]=1 ;
F[n-integer]:=f[n-1]+f[n-2]

دريافت نوشته بالا در برنامه word : http://rapidshare.com/files/15433086...e2028.doc.html
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
بررسی یک مسئله از "آنی شئنفلد"درآموزش هنر مسئله حل کردن واستنتاج یک قانون کلی از آن

مسئله نهم مقاله ای که "آنی شئنفلد"در باب آموزش هنر حل مسئله بیان می کندکمی برای کسی که اولین بار با این مساله برخورد می کند مغالطه آمیز است.درواقع چگونگی حل آن کمی سردرگم کننده است.این مساله به صورت زیر بیان می شود:

فرض کنید pوq وr و s اعداد حقیقی مثبتی باشند نامساوی زیررا اثبات کنید:
P2+1)(q2+1)(r2+1)(s2+1)/pqrs≥16 )
دراین مقاله آمده است دانشجویان سعی می کردند طرفین نامساوی را در pqrs ضرب کنند واکثرا ناموفق بوده اند.
معمولا این گونه مسایل نیاز به انتخاب یک استراتژی اصولی در ابتدای حل و پی گیری آن تا مراحل پایانی مسئله دارد.
استراتژی های جامع حل مسئله در زیر آمده است:
1)درک صورت مساله
2)تحلیل خود مساله
3)طراحی ابتدایی برهان
4)اجرای مرحله به مرحله برهان
5)بررسی موضعی
6)حل موقت
7)تعمیم حل موقت به حالت کلی
هدف اصلی ما در طرح ریزی این مساله انتخاب شیوه ای جدید برای حل این مساله است و از این شیوه جدید به نام"شبیه سازی پارامترها" نام می بریم.
به مساله باز می گردیم.باکمی دقت در مساله می توان دریافت مقادیر به کاررفته در صورت ومخرج کسر قابل برنامه ریزی واستراتژی بندی هستند.
برای حل مساله به شیوه ای نوین ابتدا لازم است یک نامساوی را مورد بحث قرار دهیم:
(p2+1)n/pn≥2n
این نامساوی را می توان با استقرا روی n اثبات کرد.(اثبات برعهده خواننده)
حال می خواهیم ببینیم چگونه از این نامساوی می توان در حل این مساله استفاده کرد.اگر در نامساوی فوق قرار دهیم n=1 اولین جمله طبیعی نامساوی برابر با 2 خواهد شد که خود اثباتی است از اتحاد اول.
اولین مولد طبیعی نامساوی یعنی 2را هسته نامساوی می گیریم.
اگر مساله را تجزیه کنیم داریم:
(p2+1)/p2 ,(q2+1)/q2 ,(r2+1)/r2 ,(s2+1)/s2
که همگی درهم ضرب شده اند و حاصل را بزرگتر –مساوی 24 ساخته اند.
می بینیم که در این نامساوی 4 جمله همگن در هم ضرب شده وحاصلی همگن با خود پدید آورده اند.
ملاحظه می شود که جملات ناشی از تجزیه سوال, جمله اول نامساوی مذکور ما است. لذا حاصل ضرب آنها به این معناست که گویی 4 بار 2 رادرخودش ضرب کنیم که همان 24است و مسئله اثبات می شود.

در حالت کلی می توان گفت حل این گونه مسایل شگردهای خاص خودرادارد وممکن است از چندین راه حل شوند. ولی این راه حل ابتکاری که توسط نگارنده مقاله مورد استفاده قرار گرفته است حالات کلی تری را شامل می شود واین می تواند به زیبایی حل بیا فزاید.


دريافت نوشته بالا در فايل ورد : http://rapidshare.com/files/15451392...e2010.doc.html
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
"بررسی یک دنباله اعداد که می تواند یک مجموعه از اعداد طبیعی را بسازد"

نگارنده مقاله:امین دانشمند ملایری
دانشجوی رشته مهندسی کامپیوتر(گرایش سخت افزار)
دانشگاه صنعتی همدان
دانشکده مهندسی کامپیوتر
پست الکترونیکی:admalayeri@yahoo.com

دنباله اعداد طبیعی در حالت کلی دنباله ای آشنا است.ولی بسته به این که چه نوع آرایشی از اعداد طبیعی را درنظر داشته باشیم می توان دنباله های متنوعی ایجاد کرد که همگی به نوعی معرف یک ویژگی از اعداد طبیعی هستند.
در مقالات اخیر حالتی رابررسی کردیم که در یک حالت حدی اعداد طبیعی را شامل می شد.دراین مقاله قصدداریم دنباله ای را معرفی کنیم که می تواند نواری از اعداد طبیعی را به مادهد و بدین وسیله ما می توانیم به سرعت کل دنباله را تشکیل دهیم .

به دنباله زیر توجه کنید:
N,n-1,2n-1,2n,4n-1,4n,8n-1,8n,………….. nЄIN
این دنباله دوجمله مولددارد که دوجمله اولی دنباله یعنیn و n-1 هستند.از جمله سوم به بعد دراین دنباله یک نظم خاص پدید می آید که در ذیل به آن و ویژگی هایش اشاره می شود.
دراین دنباله جملات به دودسته افراز می گردند.جملات مرتبه فرد دنباله یعنی جملات سوم وپنجم وهفتم و... وجملات مرتبه زوج یعنی جملات چهارم وششم وهشتم و...(فراموش نشود جملات اول ودوم را درنظر نگرفته ایم(جملات مولد)).
جملات مرتبه فرد از قانون زیر پیروی می کنند:
Ao=2kn-1
وجملات مرتبه زوج از قانون زیر:
AE=2kn
که در هردو قاعده k عضوی از IN است ولی تحت شرایطی که در زیر بدان اشاره می کنیم.
اگر دو جمله اول دنباله را کنار بگذاریم جملات سوم با چهارم, پنجم با ششم, هفتم با هشتم ودر کل n ام راباn+1 ام را "همسایه" می گوییم.
K برای هر همسایگی منحصر بفرد و ترتیبی است.
برای همسایگی اول k=1 و برای همسایگی دوم k=2 و برای همسایگی n ام k=n خواهد بود.
مثال)جمله دهم دنباله فوق را بیابید:
برای جمله دهم همسایگی چهارم را داریم و این جمله زوج است لذا:
A10=24n=16n
حال شرایطی را درنظر بگیرید که ما بخواهیم یک دسته اعدا طبیعی را به صورت ستون وار (نمایش ماتریسی)نشان دهیم.
بسته به این که به چند ستون ماتریسی نیاز داریم به n عدد می دهیم.n همان تعداد ستون های ماست.
درزیر نمایش ستونی برای n=5 آمده است:
5 4 3 2 1
10 9 8 7 6
15 14 13 12 11
20 19 18 17 16
25 24 23 22 21
.
.
اگر به اعداد مندرج به ستون های چهارم نگاه کنیم متوجه می شویم این اعداد همان اعداد دنباله ما هستند به ازای n=5 و جمله اول دنباله اولین مقدار ستون آخر است.
به ازای هر n ای این ماتریس را میتوان به همین ترتیب ساخت و نواره ای از اعداد طبیعی را ایجاد کرد.
سایر اعضای طبیعی نیز از روی جدول ساخته می شوند.
در این بین مهم ترین کاربرد این شیوه را می توان در "کدینگ" و "مارکینگ" اعداد نشان داد. در ضمن اگر برنامه کامپیوتری اعداد طبیعی را به کامپیوتر بدهیم و این شیوه را درخلال آن پیاده سازی کنیم پیچیدگی زمانی و مرتبه ای برنامه را می توان کاهش داد.
این نوع عدد ریزی یک ویژگی جالب دارد که در زیربدان اشاره می کنیم:
جمع درایه های متناظر در سطرهای ستون هایm ام وm-1یعنی جمع سطر های n ام ستون های m وm-1در سطر 2n ام ستون m-1 ام نمایان می شود.مثلا در مثال بالا 9در سطر2 , 19در سطر22و به همین ترتیب قرار دارد که این مساله موقعیت یابی اعداد را دراین نواره آسان تر می کند.
ویژگی های جالب تر این دنباله را وقتی متوجه می شویم که این دنباله را به صورت باینری در آوریم(باینری=دودویی).
این حالت که درزیر بدان اشاره می کنیم درتمام جدول های m*n جواب می دهد.
بایک مثال حالت مذکوررا بررسی کرده و آن راتعمیم می دهیم:
به دنباله زیر توجه کنید:
N-1,n,2n-1,2n,4n-1,4n,…
این دنباله را درازای n=5 اجرا می کنیم و جدول اعداد زیر را بدست می آوریم:
5 4 3 2 1
10 9 8 7 6
15 14 13 12 11
20 19 18 17 16
25 24 23 22 21

مطابق روش ارایه شده در ابتدای مقاله اعداد 9و19 را درنظر می گیریم:
اگر این اعداد رادر مبنای 2 تبدیل واحد کنیم داریم:
2 (1001)=9
2 (10011)=19
برای اطمینان بیشتر 39 رانیز در نظر می گیریم:
2 (100111)=39
ملاحظه می شود یک نظم و ترتیبی بین اعداد ایجاد شده در مبنای 2 دراین اعدا د وجود دارد.
دراین حالت یک پایه مبنای عملگر تعیین می کنیم و بقیه تغییر مبنا ها را براین اساس ایجاد می نماییم:
این پایه مبنا را"عملگر مخصوص" گوییم
در این حالت (حالت مثال فوق)پایه مبنا را به صورت زیر در نظر می گیریم:
(x1001)را پایه مبنا (عملگر مخصوص) این جدول در نظر می گیریم که x در ازای هر واحد که دنباله جلو می رود یک 1 اضافه می کند.
یعنی (1001)برابر 9 , (10011) برابر19 و به همین ترتیب سایر جملات دنباله به صورت باینری (دو دویی) نگاشته می شود.
در مثال های مختلف این موضوع را بهتر جلوه می دهیم:
مثال)Γ مارکینگ را برای جدول 4*5 (5 سطرو4ستون) اعداد طبیعی انجام داده و کد باینری آن را مشخص کنید:
4 3 2 1
8 7 6 5
12 11 10 9
16 15 14 13
20 19 18 17

2 (111)=7
2 (1111)=15
2 (x111)=کد باینری مخصوص
نام این تبدیل را به خاطر نوع قرار گیری اعداد دنباله در جدول (شبیهΓ) تبدیل Γ می نامیم و به خاطر کاربردی که این سبک در عملیات کدینگ و مارکینگ اعداد دارد "Γ مارکینگ"نام گرفته است.

مثال)Γ مارکینگ را برای دنباله زیر در ازای n=3 انجام دهید و کد باینری آن را بدست آورید:
n-1,n,2n-1,2n,4n-1,4n,8n-1,8n
2 (101)=5
2 (1011)=11
2 (10111)=23
2 (x101)=کد باینری مخصوص
عکس این عمل نیز صادق است .یعنی ازروی کد مخصوص باینری می توان دنباله و در نتیجه آرایش اعداد را تعیین کرد.
درست عکس اعمال انجام شده چاره کار است.
اکتت(8 تایی)سازی مبناها در این دنباله:
در روش اکتت کردن مبناها (بردن عدد به مبنای 8) دراین نواره(دنباله)ترتیب خاص و جالبی بدست می آید.البته لازم به ذکر است که این روش زمانی عملی می شود که حداقل 5 ستون در جدول اصلی داشته باشیم.
اگر "گاما مارکینگ" را برای جدولی با حداقل 5 ستون انجام دهیم (جدول شماره 1)دنباله زیر در نواره هاپدید می آید:
n-1,n,2n-1,2n,4n-1,4n,… nЄIN
که دراین حالت N=5 خواهد بود.
اگر اعداد پدید آمده در نواره که برای ما اهمیت دارند(9و19..) را به مبنای 8 ببریم داریم:
8 (11)=9
8 (23)=19
واگر به همین ترتیب ادامه دهیم می بینیم اعدادی که از اکتت سازی n ستون بدست می آیند اعداد مبنای 10 در گاما مارکینگ n+1 ستون می باشند که این ویژگی جالب تر این روش در دنباله های سازنده این نواره ها می باشد.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
حساب

حساب قدیمی‌ترین شاخه ریاضیات است. احتمالاً پیدایش این فن ناشی از نیاز انسان به شمارش اشیا و دارایی‌ها بوده است. پایه‌ای‌ترین عملیات حساب جمع و تفریق و ضرب و تقسیم است. آموزش حساب از گذشته‌های دور جزو برنامه آموزشی کودکان دبستانی بوده است. ریاضی‌دانان معمولاً حساب را با نظریه اعداد مترادف می‌دانند.
● واژهٔ حساب
واژه حساب از محاسبه می‌‌آید. در زبانهای اروپایی، به آن “آریتمه تیک” (Arithmetic) می‌گویند که از واژه یونانی “آریتموس”(به معنای عدد) می‌آید. در زبان فارسی، دو کتاب از محمد فرزند ایوب طبری، اهل آمل مازندران، به نام‌های “شمارنامه” و “مفتاح المعاملات” در دست است که در سده چهارم و پنجم هجری نوشته شده است. محمد ایوب طبری “شمار” را به جای حساب و “شمار نامه” را به معنای “کتاب حساب” گرفته است.
“شمار” یا “شُمَر” از زبان پهلوی ساسانی آمده که گاهی هم “مَر” میگفته اند. بنابراین می‌توان در زبان فارسی واژه نادرست “ریاضیات” را که از واژه “ریاضت” آمده است و از مضمون این دانش، هیچ نشانی ندارد، به “راز و مر” تبدیل کرد. “راز” که در واژه‌های “تراز” و “ترازو” آمده است، به معنای مقایسه کردن و “مَر” به معنای محاسبه کردن است، که روی هم، مضمون و جوهر “ریاضیات” (دست کم به معنای نخست آن) را میرساند.
از ابوریحان بیرونی هم کتابی باقی مانده (به زبانهای فارسی و عربی) به نام “التفهیم” که گرچه درباره اخترشناسی است، ولی در پیش در آمد آن، عمل‌های مربوط به حساب شرح داده شده است. این کتابها (شمار نامه، التفهیم و مفتاح المعاملات)، بجز آشنایی با دانش ریاضی، ما را با برخی اصطلاحات فارسی مانند افزوذن (به جای جمع)، کاستن (به جای تفریق)، زدن (به جای ضرب) و جز آن آشنا می‌کند.
● تاریخچه
حساب، دانش عدد، عملهای مربوط به آن و بیان ویژگیهای عدد است. در زندگی روزانه، در هر گامی که بر میداریم، به حساب نیازمندیم. فرهنگ انسانی را بدون “حساب” و “عدد” نمی‌توان تصور کرد، به این دلیل است که هر انسانی باید دست کم، از مقدمه‌های دانش حساب، آگاه باشد. حساب کهن‌ترین بخش از دانش ریاضی است و سرچشمه‌های آن را باید در ژرفای تاریخ بشر جست و جو کرد.
بسیاری از قوم‌ها و ملت‌های باستانی، از جمله ایرانی ها، مصری‌ها و چینی ها، بابلی‌ها و عیلامی‌ها (که در جنوب و جنوب غربی ایران زندگی می‌کردند و امپراتوری بزرگی را تشکیل دادند) و حتی قوم‌هایی از ساکنان بومی امریکا مانند مایاها و آزتک ها، با حساب کار می‌کردند. آنها، به حساب، برای شمردن و اندازه گرفتن چیزها (از هر نوعی که باشد) نیازمند بودند. از جمله، مصری‌ها برای محاسبه تعداد و اندازه سنگهایی که در ساختن هرمها به کار می‌بردند، نیاز داشتند، همچنین ارتفاع هرم، سطح قاعده آن و حجم هرم را محاسبه می‌‌کردند.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
افلاطون در رساله تیمائوس به توصیف جهان طبیعی و فیزیكی می پردازد. در توصیفات افلاطون، آنچه چشمگیر است (و شاید متأثر از فیثاغوریان) میل به ریاضیاتی كردن همه چیز است، به علاوه ارسطو می گوید: افلاطون قائل به این بود كه:
▪صور، اعدادند
▪ اشیاء به سبب بهره مندی از اعداد موجودند.
▪ اعداد مركبند از واحد و «بزرگ و كوچك» و یا «دوی نامتعین» (به جای محدود و نامحدود فیثاغوری)
▪ ریاضیات وضع واسطه ای میان «صور» و اشیاء دارند.
همچنین او قائل بود كه حركات پیچ پیچ اجرام آسمانی با قانون ریاضی مطابق است و نظم در اجسام طبیعی، قابل بیان به نحو ریاضی اند. هرچند گرایش تام و تمام به ریاضی كردن همه چیز را امری ناموفق، ازسوی افلاطون دانسته اند. لكن آنچه در این كوشش برای ما، مهم است، این است كه آیا وی با عقلانی كردن واقعیت و بخصوص طبیعت محسوس، از طریق ریاضیاتی كردن آن، به سوی نوعی ماشین گرایی قدم برنمی دارد؟ عجیب می نماید كه كسی كه درباره عروج به زیبایی مطلقش تحت الهام از ارس در رساله میهمانی سخن می گوید، چنین رأیی را قائل شود. آیا باید بر آن شد كه در تمام رساله های دیگر، سقراط حقیقتاً به عنوان سقراط سخن نگفته است و اكنون در تیمائوس، افلاطون، آرای خود را بیان داشته است؟
آیا انتساب صور به اعداد آنها را از جایگاه رفیعشان به سوی یك دستگاه ماشینی تنزل نمی دهد؟
هرچند به نظر می رسد از سویی با ریاضیاتی شدن جهان طبیعی و جهان مثل و تبدیل آن به جهان قوانین معقول، افلاطون به سوی ماشینی كردن جهان پیش می رود و از سوی دیگر و در مقابل این رأی گفته شده است كه از قضا ریاضیاتی كردن طبیعت، اعتلای آن است. گاهی نیز شاهد این امر كه این اصالت ریاضیات با عروج به زیبایی مطلق ناسازگار نیست، از فیثاغوریان و گرایش همزمان آنان به ریاضیاتی كردن همه چیز و درعین حال عرفان مداری آنان سخن به میان آمده است.۱
ازسوی دیگر می دانیم كه اشكال، اعداد و اسرار مربوط بدانها نزد حكما و عرفای اسلامی جایگاهی ویژه داشته است و محاسبات، مربوط به جداول خاص علوم غریبه نیز مثالی دیگر از این امر می تواند باشد.
آیا در این گونه عقاید و آرا نیز می توان سؤال پیشین را پرسید؟ آیا اینكه اعداد، «اصل» اشیاء و موجودات، پنداشته شوند، می تواند ترس از ماشین شدن طبیعت را در دیدگاه قائلان به قول مذكور برای ما ایجاد نماید؟
پاسخ چنین پرسشی منفی به نظر می رسد. اما تفاوت چنین اصالت ریاضیاتی با اصالت ریاضیات علوم جدید (و به عنوان مثال بسیار ناب آن، اصالت ریاضیات دكارت) چیست؟
دكارت نیز قائل به اصالت ریاضی بود و می خواست كه عالم و آدم را با روابط ریاضی بسنجد و توصیف كند. او در پی تحقق یك «ریاضیات عمومی» بود كه شاید بشود تمام معرفت را با آن توصیف كرد. ۲ اوج هنر دكارت در تلاش برای تبیین ریاضیاتی از جهان را باید در هندسه تحلیلی او جست وجو كرد. هندسه تحلیلی، ابزاری است كه دكارت به وسیله آن اعداد را به جهان جسمانی نسبت می دهد. تنها با ظهور چنین ابزاری است كه ما توانایی می یابیم تا برای جهان جسمانی پیرامون خود، معادله بنویسیم. دكارت مانند فیثاغورث، هندسه را واسطه ارتباط جهان با اعداد، قرار می دهد. او در دستگاه مختصات هندسی اش، اعداد را با نقطه هایی متساوی الفاصله روی محورهای ممتد، متناظر می كند و جهان را درون این دستگاه قرار می دهد و از طریق تناظری كه برقرار می كند برای هر نقطه از عالم جسمانی، یك زوج ترتیبی از اعداد را درنظر می گیرد.
به این ترتیب، مختصات یكه ای برای هر نقطه پیدامی شود. وقتی این اختراع دكارت را در كنار رأی فلسفی اش قرار می دهیم، در می یابیم كه در نظر وی از آنجا كه جسم بودن، همان ممتدبودن است،۳ تمام جهان جسمانی، قابل تحلیل به وسیله معادلات عددی خواهد بود. ثنویت دكارتی موجب آن می شود كه وی در استفاده از این روش تحلیل جهان مادی كاملاً فارغ البال باشد و حتی در استفاده از آن در توصیف بدن انسان و حركات اجزای آن نیز تردید به خود راه ندهد. چنانكه قصد كرده بود، حركت قلب را با مبادلات گرمایی درآن توضیح دهد. ۴
در اینجا با تصویری از ماشینی كردن تام جهان روبروییم و یقیناً این از توصیف ریاضیاتی جهان به وسیله دكارت ناشی شده است. همین روند و ادامه همین تلاشها است (كما اینكه قبل از دكارت در گالیله و كپرنیك و... این روحیه حكم است) كه منجر به فیزیك نیوتنی و اكنون فیزیك جدید شده است. اما تفاوت دركجاست؟ چرا به نظر می رسد، نزد فیثاغوریان و صوفیان و حكمای متأثر از فیثاغوریان، ریاضیات نوعی آمیزش با عرفان دارد و طبیعت را بالا می برد و نزد دكارت گرایش به ریاضیات جهان را ناسوتی می كند؟ و چرا در افلاطون هردو وجه دیده می شود؟
به نظرمی رسد پاسخ این پرسشها را می بایست در مفهوم معادله جست وجو كرد. فیثاغوریان هرگز معادله ریاضی برای جهان ننوشتند. صوفیه و عرفا و حكمای بعد از آنها نیز. افلاطون نیز گویا چنین است. اما با آنها یك تفاوت كوچك دارد. او می گوید كه می توان نظم اشیاءطبیعی و نیز حركت پیچ در پیچ اجرام آسمانی را به زبان ریاضی آورد. آنچنان كه فیثاغوریان نظم مسموعات و نغمات را به زبان ریاضی برگرداندند (پس معادله نوشته اند!) و واضح است كه نگاشتن نظم طبیعت به زبان ریاضی، چیزی جز معادله نیست (هرچند در شمایل معادلات امروزی نباشد، آنچنان كه از آن دكارت نیز كاملاً امروزی نبود). معادله جهان را توصیف می كند و خبر از چگونگی عالم می دهد، اما نزد فیثاغوریان، اعداد، ماهیت موجوداتند و حقیقت آنان را بیان می كنند. آنها اعداد را «اصل» اشیاء و به طور كلی موجودات می دانستند، (افلاطون نیز تلاش داشت چنین كند) همانگونه كه متفكران ایونی پیش از آنان، آب و هوا و نامتعین و عقل را منشأ هستی شمرده بودند. با این حساب باید گفت فیثاغوریان درباره موسیقی اشتباه می كردند كه گمان می كردند ماهیت عددی آن را كشف كرده اند. (شاید ما هم در اشتباهیم كه گمان می كنیم رابطه عددی و سمعی موسیقی، تنها تناظر است!) ولی به هرطریق، شك نمی توان كرد كه برای آنها آنچه از عدد بیش از هرچیز اهمیت داشته، این بوده كه آنها چیستی موجوداتند. ولی برای دكارت اعداد، ماهیت امتداد نیستند. ما تنها اعداد را با امتداد متناظر می كنیم تا بتوانیم برای حركات و سكنات جسمانی معادله بنویسم.
افلاطون نیز، هم از چگونگی سخن گفته و هم از چیستی و می خواسته هردو را با ریاضیات پاسخ دهد. اولی به نظر ماشینی كردن جهان می رسد و دومی اعتلا دادن آن.
سخن دقیقتر در این باب را باید اینگونه بیان كرد كه همه چیز در عطف توجه به چگونگی در جهان و در آوردن آن به هیأت ریاضیات نیست كه دیدگاه طبیعیات جدید را ناسوتی كرده است. درحقیقت مسأله اصلی، تبدیل جهان و كل موجودات به واقعیت است. مراد ازواقعیت، همین جهان محسوسی است كه نزدیك دستان ماست. وقتی سؤال از ماهیت را حذف كنیم و یا پاسخ آن را به خاصیتی واقعی حواله دهیم، چنین اتفاقی می افتد. در این صورت ورای واقعیت، هیچ باطنی نخواهدبود و واقعیت، به خودی خود، قابل توصیف و تحلیل است. (این مقام از آنچه افلاطون در آن اندیشه می كرد، به كلی دور است). این مهم را دكارت از طریق حواله دادن ماهیت جسم به امری واقعی یعنی امتداد انجام داد، هرچند برخی معتقدند كه دكارت امتداد را جوهر جسم نمی دانست بلكه آن را صفت اساسی آن تصور می كرد. این درست نقطه مقابل تفكر ایونی و بخصوص فیثاغوری (و همچنین افلاطونی) است. فیثاغوریان در پشت دنیای محسوس، درپی حقیقتی بودند كه آن را در اعداد جستند.
حركت دیگری كه به این واقعی كردن جهان مدد می رسانید، واقعی كردن ازطریق مفهوم جرم بود. طرح هندسی دكارت برای توصیف عالم ناكام ماند (او در حقیقت با تصور ممتد به عنوان جسم، مكان را با جسم یكی فرض كرد و شاید این یكی از دلایلی باشد كه او تمام جهان را پرمی داند)، ۵ زیرا مفهوم حركت نیز كه او علاوه بر امتداد برای ماده فرض كرده بود هنوز كافی نبود.
سالیانی پس از دكارت، نیوتن بود كه نخست بار توانست آنچه در دل دكارت می گذشت را به واقعیت فراخواند. او برای این كار به مفهوم جرم و نیرو نیاز داشت، اما جرم را وی جوهری ورای دریافت محسوس ما اعلام نكرد، بلكه آن را برحسب كیفیات آشنای آن روزگار تبیین نمود (نخستین بار آن را برحسب چگالی و وزن بیان كرد). ۶ حتی آغاز پروژه نسبیت انیشتین را باید در شكست برنامه دكارت برای تحلیل همه چیز عالم جسمانی به امر ممتد جست وجو كرد، چه انیشتین فقط فرض كرد كه نور برای انتشارش نیاز به هیچ محیط مادی ای ندارد. ازجمله « اتر » كه دكارت، نیوتن و فیزیكدانان زمان انیشتین عدم وجود آن را اساساً نمی توانستند تصور كنند. اتر همان ماده لطیفی است كه تمام جهان را پركرده است. به این ترتیب می توان دید كه درحالی كه صوفیه، عرفا و حكما چه در قرون وسطی و چه در زمان یونان باستان در پی چیستی جهان بوده اند (ازجمله فیثاغوریان) عالمان علوم تجربی جدید پس از «رنسانس» درپی بیانی از جهان بودند كه «محاسبه پذیر» باشد.
از این جهت می توان دریافت كه تكنولوژیك بودن، ذات و فصل علوم جدید است، برخلاف آنكه گمان می رود كه «تكنولوژی» تنها كاربرد فرعی علومی است كه معطوف به حقیقتند.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
رسم پذیر بودن یک عدد




عدد a رو رسم پذیر گوییم اگر بتوان تنها با استفاده از خط کش و پرگار پاره خطی به طول a رسم کرد. و البته فرض ما بر این است که یک واحد طول داده شده باشد.
از این به بعد هر جا کلمه رسم پذیری آمد منظور همان رسم پذیری به وسیله خط کش و پرگار است.
رسم پذیری بعضی عددها بسیار واضح است. مثلا ۱ و ۲ و … چون اینها ضریبهایی از واحد طول هستند. اما بعضی دیگر احتیاج به بررسی دارند مثل “رادیکال ۲”. آیا این عدد رسم پذیر است؟
از دوران دبیرستان به یاد داریم که : از هر نقطه خارج یک خط مفروض می توان خطی عمود بر آن رسم کرد.
اگر محل تلاقی این دو خط را مبدا در نظر بگیریم به این محور محور رسم پذیر می گوییم.
در این محور:
۱) (a,۰) یا (۰,a) را رسم پذیر گوییم اگر a رسم پذیر باشد.
۲) (a,b) را رسم پذیر گوییم اگر a و b رسم پذیر باشند.
هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد، اعم از پاره خط، دایره و… یک شکل رسم پذیر گوییم.
++ اگر یک پاره خط در این محورها رسم کنیم، طول پاره خط عددی رسم پذیر است.
حال می توانیم به راحتی بگوییم که “رادیکال۲” رسم پذیر است. چون اگر (۰.۱) و (۰و۱) رو روی محور به هم وصل کنیم بنابر قضیه فیثاغورث پاره خطی به طول “رادیکال۲″ داریم.
حال سوالی که مطرح می شود این است که آیا همه اعداد رسم پذیرند؟ و اگر نه چه عددهایی رسم پذیرند و کدام ها رسم پذیر نیستند.
همه عددها رسم پذیر نیستند و تعیین رسم پذیری آنها به کارهای تخصصی می انجامد اما حالا که مفهوم عدد رسم پذیر رو فهمیدیم چند حکم کلی درباره رسم پذیری رو هم بیان می کنیم:
۱) اگر a و b رسم پذیر باشند آنگاه a+b , a-b , a.b , a/b نیز رسم پذیرند.
۲) اگر a رسم پذیر باشد آنگاه “رادیکال a” نیز رسم پذیر است.
۳) موارد زیر معادلند (یعنی اگر یکی از آنها در مورد یک عدد درست باشد دو تای دیگر نیز درستند) :
الف) x رسم پذیر است.
ب) (Cos(x رسم پذیر است.
ج) (Sin(x رسم پذیر است.
۴) همه اعداد گویا (Q) رسم پذیر هستند.
اکنون کار قضاوت در مورد رسم پذیری عددها خیلی ساده تر شد. تنها عددی ممکن است رسم پذیر نباشد که گنگ باشد. اما تعیین اینکه عدد گنگی رسم پذیر است یا نه دارای تکنیکهای ویژه ایست.
▪ چند حکم در مورد رسم پذیری اعداد با استفاده از میدان های شکافنده:
۱) مجموعه همه عددهای رسم پذیر زیرمیدانی از میدان اعداد حقیقی ® است.
۲) اگر a عددی رسم پذیر باشد آنگاه a در توسیعی از Q قرار دارد که درجه آن توسیع روی Q توانی از ۲ است.
۳) (نتیجه ۲ و پر کاربرد تر از آن) : اگر a در یک چندجمله ای تحویل ناپذیر روی Q صدق کند که درجه آن توانی از ۲ نباشد آنگاه a رسم پذیر نیست.
۴) اگر a ریشه n-ام اولیه واحد باشد آنگاه n ضلعی منتظم رسم پذیر است اگر وفقط اگر درجه (Q(a روی Q توانی از ۲ باشد.
۵) اگر P عددی اول باشد آنگاه P ضلعی منتظم رسم پذیر است اگر وفقط اگر P عدد اول فرما باشد.
▪ چند مساله تاریخی زیر هم که شاید از زمان اقلیدس وجود داشته و با استفاده از بحث رسم پذیری حل شدند در زیر می بیند:
۱) آیا می توان به کمک خط کش و پرگار هر زاویه را به سه قسمت تقسیم کرد؟ (تثلیث زاویه)
۲) آیا می توان مربعی هم مساحت با یک دایره دلخواه رسم کرد؟ (تربیع دایره)
۳) آیا می توان برای هر مکعب دلخواه مکعبی رسم کرد که حجم آن دو برابر مکعب مفروض باشد؟ (تضعیف مکعب) تضعیف یعنی مضاعف کردن. یعنی دو برابر کردن.
ثابت شده است که هیچ یک از این احکام در حالت کلی درست نیستند. مثلا “تثلیث زاویه ۶۰ درجه” و “تربیع دایره ای به شعاع یک” و “تضعیف مکعبی به ابعاد یک” ممکن نیست.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
رسم نمودار توابع

گام های زیر را در صورت لزوم انجام دهید:

۱- دامنه تابع را مشخص کنید.
۲- حد تابع را وقتی ایکس به سمت + و - بینهاِیت میل کند را بدست آورید.
۳- در صورتی که تابع دارای خطوط مجانب است، آن خطوط را مشخص کنید.
۴- محل برخورد منحنی تابع را با محورهای مختصات بدست آورید.
۵- ضابطه مشتق تابع را برابر با صفر قرار داده تا از حل آن معادله ، طول نقاط اکسترمم احتمالی بدست آید.
۶- جدول تغییرات تابع را تشکیل داده تا بازه هایی را که تابع در آن صعودی یا نزولی است بدست آید.
تذکر:اگر تابع در دامنه اش همواره صعودی یا همواره نزولی باشد و مشتق تغییر علامت ندهد، برای بدست آوردن اطلاعات بیشتر از تابع مشتق دوم گرفته تا جهت تقعر تابع و نیز شاید نقطه عطف تابع مشخص شود. محورهای مختصات را رسم نموده ، خطوط مجانب و کلیه نقاط بدست آمده را در صفحه مشخص نموده و با توجه به جدول تغییرات و جهت تقعر تابع، منحنی تابع را رسم کنید.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
در این فرمول فقط می‌توان تعداد پاره خط‌های چهار ضلعی هایی که به صورت پشت سر هم هستند را حساب کرد.

اگر تعداد نقاط را m، تعداد خطوط افقی را w و تعداد خطهای عمودی را h بگیریم آنگاه تعداد پاره خطها برابر است با:

h+(m*w)/4

و به طور کلی اگر تعداد چهار ضلعی ها را n بگیریم، تعداد پاره خطها از فرمول زیر حاصل می شود:

(n+1)2

مثال: شکل بالا را در نظر بگیرید. تعداد خط‌های عمودی= ۴، تعداد نقطه‌ها = ۸، تعداد خط‌های افقی= ۶/ لذا برای تعداد پاره خطهای موجود در آن خواهیم داشت:

۴+(۸*۶)/۴= ۱۶

یا براساس تعداد چهارضلعی ها داریم:

(۳+۱)۲=۱۶
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

جبر و همگرایی گرانشی

ریاضی‌دانان می‌کوشیدند یکی از درخشان‌ترین دست‌آورد‌های ریاضیات را گسترش دهند، قضیه‌ی اساسی جبر. اخترفیزیک‌دانان نیز روی یکی از مسائل اساسی رشته‌شان کار می‌کردند، مسئله‌ی همگرایی گرانشی. اینکه هر دو گروه در واقع روی یک موضوع واحد کار می کنند هم قابل تصور است هم نیست: فکر "کارابرد بی‌دلیل ریاضیات" در علوم بسیار مشهور است اما هر لحظه که می‌گذرد بینشی مثبت‌تر و میلی خالص به ریاضیات جای آن را می گیرد.


دیمیتری خاوینسون از دانشگاه فلوریدای جنوبی و ژنورا نیومن از دانشگاه ایووای شمالی در مقاله‌شان به نام "از قضیه اساسی جبر تا اخترفیزیک: مسیری موزون" تحقیق ریاضی‌ای را تشریح می‌کنند که در کمال شگفتی آن‌ها را به مسائل اخترفیزیک رهنموده است.

قضیه‌ی اساسی جبر (که اثبات آن به قرن ۱۸ بازمی‌گردد) یک حقیقت پایه‌ای ریاضیات است بخصوص سادگی‌اش بسیار قابل توجه است: هر چند جمله‌ای مختلط از درجه‌ی n‌ام دارای n ریشه‌ی مختلط است. در دهه‌ی نود تری شیلسمال و آلن ویلمشورست پاسخی برای بسط قضیه‌ی اساسی جبر به چندجمله‌ای‌های همساز یافتند. در یک تغییر شگفت‌انگیز در سال ۲۰۰۱ خاوینسون به همراه سویاتک روش‌های دینامیک مختلط را برای تحقیق یکی از موارد فرضیه‌ی ویلمشورست به کار بستند و نشان دادند که برای یک دسته‌ی مشخص از چندجمله‌ای‌های همساز تعداد صفرها حداکثر برابر ۳n-۲ می‌باشد که n درجه‌ی چندجمله‌ای می‌باشد.

وقتی نیومن در دانشگاه کانزاس در دوره‌ی پست‌دکترا بود در جریان یک گفتگو به نتیجه‌ی ۳n-۲ اشاره کرد و پیترو پوگی-کورادینی به این فکر افتاد که آیا روش دینامیک مختلط خاوینسون و سویاتک را می‌توان برای شمارش صفرهای توابع همساز گویا بسط داد؟ پس از آن او درباره‌ی این احتمال از خاوینسون سوال کرد. او می‌گوید:"ما هیچ تصوری از پاسخ ممکن نداشتیم"، و بی‌شک آنها هرگز فکر نمی‌کردند که یک اخترفیزیک‌دان جواب را تخمین زده است.

خاوینسون اضافه می‌کند: "ما اندکی شگفت‌زده شدیم که اعداد بدست آمده متفاوت بودند، ۵n-۵ دربرابر ۳n-۲ ". آنها همچنین در این فکر بودند که آیا مرز ۵n-۵ تیز است –یعنی آیا می‌توان آن را پایین‌تر کشید- یا نه؟ خاوینسون می‌گوید: "پس از بررسی و بازبینی مجدد یک نسخه‌ی اولیه را روی سایت آرشیو فرستادیم و سر کار خودمان بازگشتیم"، وی اضافه می‌کند: "یک هفته بعد ایمیل تبریکی از جفری ربین دریافت کردیم که به ما می‌گفت تئوریمان مسئله‌ی سان هونگ ری در اخترفیزیک را حل کرده است". خاوینسون و نیومن هرگز فکرش را هم نمی‌کرد کسی غیر از ریاضیدانان به دست‌آوردشان علاقه‌مند شود.

ری پیرامون مسئله‌ی همگرایی گرانشی مطالعه می‌کرده است، پدیده‌ای که در آن نوری که از یک چشمه‌ی آسمانی همچون یک ستاره یا کهکشان می‌آید توسط جسم یا اجسامی با جرم زیاد که بین مشاهده‌گر و چشمه قرار دارند منحرف می‌شود. در اثر این انحراف بیننده تصاویر متعددی از یک چشمه‌ی واحد می‌بیند. نخست این پدیده در اوایل قرن ۱۹هم با استفاده از مکانیک نیوتنی پیش‌بینی شد. پیش‌بینی دقیق‌تر در سال ۱۹۱۵ توسط آینشتاین و با کمک نظریه‌ی نسبیت عام انجام شد و سرانجام اولین مشاهدات عملی در سال ۱۹۱۹ در خلال یک خورشید‌گرفتگی حاصل شدند. اولین سیستم همگرایی گرانشی در سال ۱۹۷۹ کشف شد.

چنین است که در برخی شرایط آرمانی می‌توان تعداد تصاویر چشمه‌ی نور در یک سیستم همگرایی گرانشی را با شمردن تعداد صفرهای یک تابع همساز گویا –دقیقا همان نوع تابعی که خاوینسون و نیومن روی آن کار می‌کرده‌اند- شمرد. به هنگام جستجوی تعداد محتمل تصاویری که توسط یک همگرایش گرانشی که با n نقطه جرم نور را منحرف می‌کند، ری مرز ۵n-۵ را تخمین زده بود که خاوینسون و نیومن را بسیار شگفت‌زده کرد. ری همچنین روش هوشمندانه‌ای برای ساخت یک نمونه تابع همساز گویا با دقیقا ۵n-۵ صفر یافت. این یافته‌ها به همراه نتایج خاوینسون و نیومن نشان می‌دهند که مرز ۵n-۵ تیز است.

پس از مطلع شدن از کار ری، خاوینسون و نیومن با دیگر ریاضی‌دانان و اخترفیزیک‌دانانی که روی مسائل مشابه کار می‌کردند تماس گرفتند و از آن پاسخ‌ها برای تدوین و بازنگری مقاله‌شان استفاده کردند. این روابط خاوینسون را به همکاری‌های مثمر ثمری پیرامون مسائل وابسته با اخترفیزیم‌دانان رهنمود.

خاوینسون می‌گوید: "من این همکاری‌های بین علوم مختلف را بسیار مهیج و برانگیزاننده می‌بینم. امیدوارم بتوانم این همکاری‌ها را ادامه دهم. این یکی از هیجان‌انگیز‌ترین تجربیاتیست که تا کنون در زندگی‌ام داشته‌ام." نیومن نیز همچنین مشتاق است و از لری ویور، فیزیک‌دان دانشگاه کانزاس سپاسگذار است که به او در فهم فیزیک همگرایی گرانشی کمک کرد و نیز از ربین که پیوند میان ریاضیات و اخترفیزیک را برقرار کرد. او می‌گوید: "ایمیل سخاوتمندانه‌ی پروفسور ربین من و دیمیتری را به دنیای کاملا جدیدی معرفی کرد."
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

علم لقمه برگرفتن از سفره طبیعت است . و ریاضی زاییده احتیاجو در آغازمبتنی بر تجربه. ریاضیات انعکاس دنیای واقعی در ذهن ماست. به عقیده بعضی‌ها :ریاضیات زیباترین زبان برای توصیف طبیعت و روابط بین پدیده‌های طبیعی است.
سیلوستر می‌گوید:"ریاضیات ،مطالعه شباهتها در تفاوتها و مطالعه تفاوتها درشباهتهاست."
علت اساسی موفقیت ریاضیدانان در آفریدن علمی به این زیبایی که عمیق‌ترین معرفت بشری شمرده می‌شود:سخت‌گیری بدون بخشش کوچکترین خطاها در کنار روش و معیارهای منطقی آنها به همراه جدیت ، خلاقیت ، به غایت اندیشیدن و نیز بلند پروازی و جسارت شکستن هر چه موجود است. به هر قسمت از زندگی که کنجکاوانه و با دقت بنگریم ، اثر مستقیم یا غیر مستقیم ریاضیات در آن مشاهده می‌کنیم. نمونه آن کشف اخیر این مساله توسط دانشمندان است که :" یکی از انواع حشرات که بر روی شاخ و برگ درختان لانه سازی می‌کند، روش کارش بر اساس یک فرمول پیچیده ریاضی است."
در حالت کلی ریاضیات راه های متعددی برای باز شدن فکر در اختیار ما قرار دارد که از مهمترین آنها مطالعه ی ریاضیات از جمله شاخه ی تر کیبیات است.ریاضیات این کمک را به ما میکند تا مشکلات و موضوعات زندگی را بهتر و راحت تر تجزیه و تحلیل کنیم.
آمارهای جهانی نشان می دهد طلاق در خانواده هایی که حداقل یکی از همسران ریاضی خوانده است در مقایسه با سایر خانواده ها بسیار کمتر است.


ریاضیات و علوم
اکثر ریاضیدانان بگونه طبیعت شناس هستند یا اینکه هم فیزیکدان و هم ریاضیدان هستند. یعنی فیزیکدانان برای حل مشکلی از طبیعت یا بررسی مسائل طبیعی به ریاضیات مراجعه نموده‌اند.
بنابرین با ابزار ریاضی و ذهن خلاق فیزیکی میتوان پرده از خیلی مبهمات و مجهولات برداشت و ریاضی فیزیکی شد.
و به کشفهای بزرگی دست یافت که الگوی دانشمندان هم این بوده‌ است.
پس علوم مختلف بهم تنیده شده و مکملهای همدیگرند.
رشد یکی به دیگری وابسته هست و لازم پیشرفت در یک شاخه از علم پیشرفت در شاخه ای دیگر هم هست. مثالهای زیر این مسئله را برای ما روشن تر میکند.

کارل فردریک گوس (1777-1855) روی نقشه های جغرافیایی کار می گرد. با روش گوس توانستند بسیاری از نقشه های جغرافیایی را نقشه برداری اصلاح کنند. ولی این روش که برای تهیه و تصحیح نقشه های جغرافیایی در نظر گرفته شده بود، برای حل مساله ی حرکت آب در اطراف یک جسم و یا حرکت هوا در اطراف بال هواپیما هم به کار گرفته شد.
می بینید، ریاضیات سالها از صنعت جلوتر است و انسان می تواند به یاری ریاضیات مساله های پیچیده ی صنعت را حل کند. به کمک یک نظریه ی ریاضی که پیش تر کشف شده بود توانستند مساله های عملی مهمی را حل کنند.
جیمس کلارک ماکسول (1831-1879) فیزیکدان انگلیسی، قانون نوسان های الکترو مغناطیسی را به یاری معادله های ریاضی بیان کرد. او با روش خالص ریاضی نتیجه گرفت و ثابت کرد موجهای الکترو مغناطیسی با سرعتی نزدیک به سرعت نور منتشر می شوند. در ضمن ماکسول تاکید کرد در طبیعت به جز موج های کوتاه، موجهای الکترومغناطیسی بلند هم وجود دارند. پیش بینی ماکسول به حقیقت پیوست و 25 سال بعد، موجهای رادیویی کشف شدند. در زمان ما دقت فیزیک امروزی متوجه ذره های بنیادی است که مهم ترین آنها الکترون، پروتون و نوترون هستند. ولی آیا شما می دانید همه ی این ذره های بنیادی پیش از مشاهده پیشگویی و بعد کشف شدند. نخستین ذره ی بنیادی یعنی الکترون را ژوزف جان تامسون، فیزیکدان انگلیسی (1856-1940) کشف کرد ولی پیش بینی آن را ج بستون، فیزیکدان ایرلندی در سال 1872 و سپس هلمهولتس (1821-1892) فیزیکدان و ریاضیدان آلمانی در سال 1881 کرده بودند.
مساله ای به نام حرکت ذره های ریز- الکترون ها، پروتونها، نوترونها و . . . وجود دارد که بررسی آن، قانون تغییر ذره ها را در شرایط متفاوت مشخص و تنظیم می کند. در این بررسی بسیاری از پدیده های مربوط به فیزیک اتمی و فیزیک هسته‌ای روشن می شوند. این بررسی به صورت یکی از شاخه های فیزیک ر آمده است و به نام مکانیک "کوانتایی" معروف است.
بسیاری از کشف های مربوط به مکانیک کوانتایی و بسیاری از قانون های آن براساس پیشگویی های نظری و بر اساس نظریه ها و روش های ریاضی به دست آمده اند. دانشمندان هم براساس همین پیشگویی های نظری، بررسی ها و پژوهش های آزمایشی خود را انجام دادند و در نتیجه مساله های زیادی روشن و قانون های بنیادی مهمی تنظیم شدند.
آیا تنها در مکانیک کوانتایی است که در آغاز به یاری ریاضیات، حکم نظری تازه و تازه تری را کشف کردند و سپس از راه آزمایش آنها را تایید کردند؟
در زمینه ی سینماتیک گازها هم پیش تر به صورت نظری، بستگی بین درجه ی حرارت، مالش (اصطکاک) دائمی گازها و ارزش نسبی و مجرد انتشار ثابت با هدایت حرارت، محاسبه می شد و سپس بر اساس این محاسبه کشف های مهم و با ارزشی صورت گرفت.
موفقیت های تازه و کشف های جدیدی که در فیزیک، شیمی، اخترشناسی، زیست شناسی و سایر دانش های طبیعی و فنی به دست آمده اند. براساس تشکیل نظریه های تازه ی ریاضی و یا استفاده از نظریه های کهنه و فراموش شده ی ریاضی انجام گرفته اس.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

دیدگاه های نوین آموزش ریاضی بر اهمیت تفكر و استدلال ، شناخت مفاهیم ریاضی و چگونگی پردازش آنها و تاكید بر فراگیران به مثابه آحاد انسانی تاكید دارد. محققان در عرصه آموزش ریاضی میكوشند تا از منظر درون و برون ریاضی مقوله یاد دهی – یادگیری و حل مسئله را مورد مطالعه قرار دهند.
عدم آشنایی لازم با دانش ، آموزش ریاضی در كشور ، كمبود شدید نیروی متخصص با تحصیلات منظم در این رشته و ورود افراد غیر حرفه ای موجب شده است كه این دانش در جایگاه مناسب خود قرار نگیرد و سرفصلهای غیر استاندارد و سلیقه ای بر دروس آموزش ریاضی حاكم و به تدریس كتابهای دبیرستانی در كلاسهای آموزش ریاضی بسنده شود.
بسیاری از فارغ التحصیلان دانشگاهی دوره های كارشناسی و بالاتر رشته‌های ریاضی كه به رغم دانش نسبتا خوب ریاضی شان قادر به اداره كلاس درس و موفق در امر یاد دهی ریاضی نیستند و با آزمون و خطا تجربه لازم را بدست می آورند. در واقع باید اذعان كرد كه ریاضی دانستن و برخورداری از دانش ریاضی یك مقوله است ، در حالی كه تدریس ریاضیات مقوله ای دیگر. هرچند كه این دو با یكدیگر در تعاملند.
در مقاله حاظر با طرح چند پرسش ، سعی شده است ؛ پاسخی برای آنها بیابم ؛ ولی اینكه آیا آن پاسخها درستند و شدنی ، خود پاسخی برای آن ندارم.ولی همین بس كه ، با طرح این سؤالات ، پاره ای از مشكلات عمده ای كه از آن به عنوان مشكلات درسی دانش آموز نام برده میشود آشكار میشود. به نظر من با حل مشكلات مورد اشاره در این مقاله ، حل دیگر مشكلات امر آموزش ریاضی سهل خواهد بود.پیشنهادات ارئه شده در این مقاله مورد بررسی و نقد است. ادعا نمیكنم كه تمامی آنها شدنی و قابل اجرایند ولی مدعی قابل تامل بودن آنها هستم.
ریاضیات ؛ راه حل كدام است؟
ریاضیات نقش گسترده ای در زندگی آینده افراد داراست ، ریاضیات قادر است با اثر گذاری بر شخصیت انسان آنها را در برابر مشكلات آینده زندگی مقاوم تر كند. مطالعه ریاضیات و تفكر در مسائل ریاضی انسان را خلاق و پویا كرده و قادر است از او شخصیتی بسازد كه بهتر در مورد مسائل روزمره زندگی خود استلال و تفكر كند.
آیا ما به عنوان یك مدرس ریاضیـات تـوانسته ایم این بعد ریاضی را به دانش‌آموزان خود آموزش دهیم ؟
آیا توانسته ایم به او بفهمانیم كه میتواند فكر كند و او قادر است استدلال كند؟
گـویا تنهـا تـدریس ریـاضیات شده است ارائـه تعاریف ، مثالـهـا و حـل تمرینات‌ موجود ‌كتاب و ... .
در ریاضیات دبیرستانی دانش آموز مایل است بداند كه آنچه می خواند در كجای زندگی او كاربرد دارد ؟
آیا برای او پاسخی داریم؟ یا اینكه سؤال او و ما یكسان است !
چرا باید در كلاسهای خود به جبر ، ریاضی تدریس كنیم؟ چرا به جبر از آنها تمرین و پاسخ بخواهیم ؟
چرا او خود بدنبال یادگیری ریاضیات نیست و تنها این مائیم كه با ترفندهای گوناگون او را مجبور به یادگیری و شاید حفظ كردن مفاهیم میكنیم.
چرا نباید متعلم داوطلبانه در فرایند یادگیری شركت كند ؟
آیا راه كاری وجود دارد و یا راه كارها عملی هستند؟
در مقطع دبیرستان ، دانش آموز باید بر اهمیت ارتباط میان انتخابهای علمی و سایر انتخابهای دوران زندگی خود واقف شوند. این مسئله حیاتی است كه مربیان ریاضی بكوشند تا باور دانش آموزان را نسبت به ارزش دانش ریاضی و كارامدی آن در جامعه تقویت ؛ و آنان را متقاعد سازند كه توان و ظرفیت انجام فعالیتهای ریاضی را در حال و آینده دارند و به گونه ای پیوسته اطلاعات به روز و قابل اعتمادی را در عرصه مقولات زیر فراهم آورند.
۱ – چگونگی مرتبط ساختن آنچه دانش آموزان در ریاضی می آموزند با انتخابهای تحصیلی و شغلی آنان.
۲ – افـــزایش فرصتهایـی در زندگی دانش آموزان كه در نتیجه مطالعات آینده در ریاضی برای آنان فراهم خواهد شد.
به عبارتی ، دوران دبیرستان میتواند فرصتهایی را برای تقویت و تثبیت مفاهیم و مهارتهای ریاضی دانش آموزان فراهم آورد كه یادگیری های بعدی را در این عرصه ، به ویژه تحصیلات تخصصی دانشگاهی مرتبط با دانش و تجربه ، تسهیل سازد.
۳ – چـگونگی اتكا فـزاینده سایـر عرصه هـای علم و زندگی غیر ریاضیات و علوم
فیزیكی بر دانش ریاضی.
۴ – لازمه فارغ التحصیلی فراگیر از دبیرستان ، یادگیری موفقیت آمیز بخشهایی از
ریاضی است.
۵ – مشكلات مربوط به مرتبط ساختن ریاضیات متوسطه و دوران قبلـی ، ریاضـی
آموزش عالی و دنیای واقعی كار و حرفه است.
بنابراین همه كسانی كه بگونه ای در امر تعلیم و تربیت ریاضی دخیل هستند، اعم از والدین ، مربیان و برنامه ریزان ، باید با یاری یكدیگر و هم اندیشی های سودمند بكوشند تا طرز تلقی ها ، ادراك و تصمیم سازی های فراگیران را در عرصه ریاضی شكل دهی و هدایت كنند. از مهمتریـن هدفهای آموزشی ریاضی ، آن گونه كه NCTM و سایـر پـژوهشگــران اعلام كــرده اند ، ایـن است كـه انجمن دبیران ریاضی ، جهت كسب اطلاع بیشتر به سایت اینترنتی www.nctm.org مراجعه نمایید..دانش اندوزان بیاموزندكه برای ریاضیات ارزش قائل شوند و به كارایی آن در جریان زندگی و پرورش نیروی تفكر و استدلال و تحلیل واقف شوند. به علاوه ، نسبت به قابلیتها و ظرفیتهای خویش در انجام تكلیفهای ریاضی و موقعیتهای مختلف حل مسئله اعتماد و اطمینان یابند تا جایی كه كار و تلاش در ریاضی برای آنان همچون عملی رضایت بخش و مسرت آفرین درآید ، نه عملی اضطراب زا و ملالت بار !
دیدگاه نوین آموزش ریاضی بر این مهم تاكید دارد كه انتقال منفعلانه مفاهیم و مهارتهای ریاضی توسط معلمان ، یادگیری معنادار را برای فراگیران به همراه ندارد و هرگز موجب رشد و پویایی تفكر ریاضی نخواهد شد ، بلكه این فراگیران هستند كه با مشاركت فعالشان در عرصه آموزش و یادگیری ریاضی بر مبنای دانش و تجربه‌های پیشین خود ، ریاضیات را امری قابل فهم و لذت بخش می سازد . تولید، تثبیت و تقویت تفكر ریاضی برای فراگیران هنگامی روی می دهد كه با هدایت معلم تلاش كنند خود در ساختن مفاهیم ، مهارتهای جدید ریاضی و نیل به آنها مشاركت موثر داشته باشند.

به گفته نوربرت وینر : “ هنر ریاضیات ، هنر درك پرسشهای درست است و قطعه اصلی كار در ریاضیـات تخیل است و آنچه ایـن قطعه اصـلـی را به حـركت در می آورد ، منطق می باشد و امكان استدلال منطقی زمانی پدید می آید كه ما پرسشهای خود را درست مطرح كرده باشیم. “ این موضوع كه چگونه فراگیران میتوانند دانش و تجربه های پیشین خود را در موقعیتهای جدید یادگیری به كار گیرند و با طرح پرسشهای مناسب در ساخت مفاهیم شركت داشته باشد ، جای بحث و تالم بسیار دارد. در قلمروی كار ریاضی ، متخصصان با طرح نظریه هایی به این مهم پرداخته اند. اعجوبه آمریكایی كه در سن هفده سالگی ار دانشگاه هاوارد دكترای ریاضی گرفت.ما می توانیم با برگـزاری همایشها و بـرنامه های علمی و استفاده از تجارب اساتید
دانشگاهی و متخصصان آموزش ریاضی و متبحران در علوم دیگر ( مانند علوم پایه ، علوم فنی و مهندسی و رشته ای علوم پزشكی و . . . ) این نظریات را بررسی كرد و بهترین راهكار را انتخاب كرده و در برنامه تدریس خود قرار دهیم.چنانچه در بالا گفته شد دانش آموز نقش بیشتری در امر آموزش ریاضی دارد و معلم تنها هدایت و نظم دهی به فرایند یادگیری را بر عهده دارد از اینرو می توان ؛ در سطح پایین تری ( محیط دبیرستان یا مراكز آموزشی ) با دعوت از صاحبان مشاغل مختلف كه از ریاضیات بطور مستقیم یا غیر مستقیم در حرفه خود استفاده میكنند ( مانند طراحان ، معماران ، مهندسان و متخصصان خط تولید كالا و . . . ) و حضور آنها در جمع دانش آموزان به این هدف تا اندكی دست یافت.در این جلسات دانش آموز قادر است برای برخی از پرسشهای خود پاسخی بیابد و هر پاسخ قدمی او را به ریاضیات نزدیكتر می كند.
مولفان كتب ریاضی دبیرستانی نیز میتوانند با گنجاندن مفاهیم كاربردی ریاضی به موازات بیان مطالب درسی ، معلم را در رسیدن به اهداف مورد نظر ، یاری كنند.دانش آموز ، كاربرد مطلب و مفهوم ریاضی را در یك امر عینی زندگی مشاهده میكند و او قادر است با این مثال عینی كه خود آن را حل كرده است به آن مفهوم ریاضی نیز دست پیدا كند.
پیشنهـاد دیگری كه در این راستا ارائه مــی شود تـالیف كـتـاب درسی با نام “كاربردهای ریاضی “ است كه عمده مباحثی كه باید در كتاب پیشنهادی به آن پرداخته شود عبارتند از:
الف ) كاربرد ریاضی در فیزیك
ب ) كاربرد ریاضی در شیمی
ج ) كاربرد ریاضی در صنعت
د ) كاربرد ریاضی در زندگی
با پرداختن به مباحث فوق در كتاب پیشنهاد شده قادر خواهیم بود ، دانش آموز را اندكی متوجه ریاضیات و كاربرد ریاضیات كنیم و به او یاد دهیم كه دیگر كاربردهای ریاضی را ، خود بیابد.
می توانیم به دانش آموز غیر مستقیم بگوییم كه “ مسائل ریاضی تنها تمرینات كتاب ریاضی نیست ؛ بلكه تمام پیرامون تو پر از مسائل ریاضی است . “دانش آموز یاد می گیرد مسئله طرح كند و برای یافتن پاسخ ، فكر كند و با یافتن پاسخش ، لحظاتی را شاد بگذراند.
به هر حال چنانچه اطلاعات عرضه شده به فراگیران در درس ریاضی به صورت قطعه های خبری مجزا ، ناپیوسته و گاه غیر مرتبط با هم دیده شوند ، انتظاری برای چنین مشاركتی نمی توان داشت. به علاوه باید متوجه باشیم كه یادگیری در ریاضی با سرعتی یكسان و هماهنگ در دانش آموزان یك كلاس درس اتفاق نمی‌افتد. از این رو ، یادگیری های انفعالی كه به شتاب و به چگونگی یادگیری در افراد توجهی ندارد ، طبعا به بروز یادگیری های طوطی وار می انجامد. از سوی دیگر ، بسیاری از مشكلاتی كه در نگرش به آموزش و یادگیری ریاضیات اتفاق می افتد ، به واقع ناشی از برداشتهای غلط در مورد طبیعت ریاضیات است. این مهم در ساختن باورهای فراگیر در عرصه كار و ریاضی تاثیری قابل تامل دارد.معلمان و مدرسان درس ریاضی در كلاسهای درس خود همواره با دانش آموزانی مواجهند كه در درك مفاهیم و تجزیه و تحلیل مسائل ریاضی مشكلات خاص خود را دارند ، و حتی گاهی آنان از دانستن ابتدایی ترین مفاهیم ریاضی نیز عاجزند.همچنین یكسان نبودن سطح درك ریاضی در كلاسها موجب ایجاد روشی ابداعی و غیر علمی از جانب مدرس ریاضی می شود كه شاید مشكلات دانش آموزان ضعیف را چند برابر كند و گاهی اوقات ضربه ای غیر قابل جبران ( جسمی ، روانی و . . . ) به دانش آموز مستعد درك ریاضی وارد كند. این روشهای ابداعی ، تنها بر اساس شخصیت مدرس شكل میگیرد و همواره متناوب و بینظم است .كلاس درسی كه از چنین روشهای تدریسی استفاده می شود ، بازدهی خوبی نداشته و دانش آموزان حاظر در چنین كلاسی همواره با تنشهای روانی مواجهند.
روانشناسان علاقمند به آموزش ریاضی می كوشند تا دریابند چگونه عاملهای گوناگون بر تفكر و رفتار ریاضی فراگیران موثرند و این سؤال كه ریاضی گونه اندیشیدن به چه معناست ، در مركزیت این مطالعه قرار گرفته است.چرا روانشناسان در فهم ما از اینكه مردم چگونه ریاضی را یاد می گیرند نقش فراوانی دارد؟ این پرسشی است كه پاسخ آن هنوز برای بسیاری مبهم و ناشناخته است و به رغم برخی تلاشها در به كارگیری ابزار روان شناختی در تییین یادگیری و آموزش علوم از جمله ریاضیات ، می توان مدعی شد كه هنوز اندكند كسانی كه با نگرش روان شناختی در این عرصه تلاش می كنند.
عبارت روان شناسی یادگیری ریاضی نه تنها در میان مردم عادی ، بلكه در جمع معلمان و مربیان ریاضی ، به ویژه در جامعه ما ، چندان آشنایی نمی باشد. به علاوه، آنچه دانشجویان به ویژه در رشته های دبیری از مباحث روان شناختی می‌آموزند غالبا همچون مفاهیم كلی و بی ارتباط با سایر شاخه های معرفت بشری از جمله علوم تجربی و ریاضیات برایشان جلوه گر می شود. از اینرو ارتباطی معنا‌دار بین دانسته های آنان در روان شناسی و تلاش در عرصه فراگیری ریاضی مشاهده نمی شود. مثلا دنشجویان در درس روان شناسی تربیتی با نظریه های مختلف یادگیری آشنا می شوند در حالیكه كمترین اطلاعی از كاربرد این الگوها در یادگیری و آموزش ریاضی و تدوین برنامه های درسی ندارند و نمیدانند كه این الگو ها چگونه می تواند رفتار فراگیران را پیش بینی كند.
با برگزاری كلاسهای آموزشی كوتاه مدت ، قادریم مدرسان ریاضی را در ارائه روشهای برتر تدریس یاری كرد و با بهره گیری از دانش روان شناسان ، فرایند آموزش ریاضی را در این كلاسها بررسی و با ارائه راه كارهای علمی از افت شدید دانش آموزان جلوگیری كنیم.
اسكمپ می گوید: یادگیری و آموزش ریاضی از مقوله های روان شناختی است و ما پیشرفت قابل ملاحظه ای در ریاضی نخواهیم داشت ، مگر اینكه بدانیم ریاضی چگونه یاد گرفته می شود.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

هشت موضوع شگفت انگیز از زندگی آلبرت انیشتین که شما هیچ گاه آنان را نمی دانستید. بله، همگی ما می دانیم که

انیشتین این فرمول (e=mc2) را کشف کرد. اما واقعیت آن است که چیز های کمی در مورد زندگی خصوصیش می دانیم، خودتان

را با این هشت مورد، شگفت زده کنید!

1- او با سر بزرگ متولد شد

وقتی انیشتین به دنیا آمد او خیلی چاق بود و سرش خیلی بزرگ تا آنجایی که مادر وی تصور می کرد، فرزندش ناقص است، اما

بعد از چند ماه سر و بدن او به اندازه طبیعی باز گشت.

2- حافظه اش به خوبی آنچه تصور می شود، نبود

مطمئناً انیشتین می توانسته کتاب های مملو از فرمول و قوانین را حفظ کند، اما برای به یاد آوری چیز های معمولی واقعاً حافظه

ضعیفی داشته است. او یکی از بدترین اشخاص در به یاد آوردن سالروز تولد عزیزان بود و عذر و بهانه اش برای این فراموشکاری،

مختص دانستن آن ( تولد ) برای بچه های کوچک بود.

3- او از داستان های علمی- تخیلی متنفر بود

انیشتین از داستان های تخیلی بیزار بود. زیرا که احساس می کرد، آنها باعث تغییر درک عامه مردم از علم می شوند و در عوض

به آنها توهم باطلی از چیزهایی که حقیقتاً نمی توانند اتفاق بیفتند می دهد.

به بیان او "من هرگز در مورد آینده فکر نمی کنم، زیرا که آن به زودی می آید." به این دلیل او احساس می کرد کسانی که به طور

مثال بشقاب پرنده ها را می بینند باید تجربه هایشان را برای خود نگه دارند.

4- او در آزمون ورودی دانشگاه اش رد شد

در سال 1895 در سن 17 سالگی، انیشتین که قطعاً یکی از بزرگترین نوابغی است که تاکنون متولد شده، در آزمون ورودی

دانشگاه فدرال پلی تکنیک سوئیس رد شد.

در واقع او بخش علوم و ریاضیات را پشت سر گذاشت ولی در بخش های باقیمانده، مثل تاریخ و جغرافی رد شد. وقتی که بعد ها

در این رابطه از او سوال شد؛ او گفت: آنها بینهایت کسل کننده بودند، و او تمایلی برای پاسخ دادن به این سوالات را در خود

احساس نمی کرد.

5- علاقه ای به پوشیدن جوراب نداشت

انیشتین در سنین جوانی یافته بود که شصت پا با عث ایجاد سوراخ در جوراب می شود. سپس تصمیم گرفت که دیگر جوراب به پا

نکند و این عادت تا زمان مرگش ادامه داشت.

علاوه بر این او هرگز برای خوشایند و عدم خوشایند دیگران لباس نمی پوشید، او عقیده داشت یا مردم او را می شناسند یا نمی

شناسند. پس این مورد قبول واقع شدن ( آن هم از روی پوشش ) چه اهمیتی می تواند داشته باشد؟

6- او فقط یک بار رانندگی کرد

انیشتین برای رفتن به سخنرانی ها و تدریس در دانشگاه ، از راننده مورد اطمینانش کمک می گرفت. راننده وی نه تنها ماشین او

را هدایت می کرد ، بلکه همیشه در طول سخنرانی ها در میان شنوندگان حضور داشت.

انیشتین، سخنرانی مخصوص به خود را انجام می داد و بیشتر اوقات راننده اش، به طور دقیقی آنها را حفظ می کرد.

یک روز انیشتین در حالی که در راه دانشگاه بود، با صدای بلند در ماشین پرسید: چه کسی احساس خستگی می کند؟

راننده اش پیشنهاد داد که آنها جایشان را عوض کنند و او جای انیشتین سخنرانی کند، سپس انیشتین به عنوان راننده او را به

خانه بازگرداند.

(عدم شباهت آنها مسئله خاصی نبود. انیشتین تنها در یک دانشگاه استاد بود، و در دانشگاهی که وقتی برای سخنرانی داشت،

کسی او را نمی شناخت و طبعاً نمی توانست او را از راننده اصلی تمیز دهد.)

او قبول کرد ، اما کمی تردید در مورد اینکه اگر پس از سخنرانی سوالات سختی از راننده اش پرسیده شود ، او چه پاسخی خواهد

داد، در درونش داشت.

به هر حال سخنرانی به نحوی عالی انجام شد، ولی تصور انیشتین درست از آب در آمد . دانشجویان در پایان سخنرانی انیشتین

جعلی شروع به مطرح کردن سوالات خود کردند.

در این حین راننده باهوش گفت:"سوالات به قدری ساده هستند که حتی راننده من نیز می تواند به آنها پاسخ گوید" سپس

انیشتین از میان حضار برخواست و به راحتی به سوالات پاسخ داد به حدی که باعث شگفتی حضار شد.

7- الهام گر او یک قطب نما بود

انیشتین در سنین نوجوانی یک قطب نما به عنوان هدیه تولد از پدرش دریافت کرده بود.

وقتی که او طرز کار قطب نما را مشاهده می نمود، سعی می کرد طرز کار آن را درک کند. او بعد از انجام این کار بسیار شگفت زده

شد. بنابراین تصمیم گرفت علت نیروهای مختلف در طبیعت را درک کند.

8- راز نهفته در نبوغ او

بعد از مرگ انیشتین در 1955 مغز او توسط توماس تولتز هاروی برای تحقیقات برداشته شد.

اما این کار به صورت غیر قانونی انجام شد. بعدها پسر انیشتین به او اجازه تحقیقات، در مورد هوش فوق العاده پدرش را داد.

هاروی تکه هایی از مغز انیشتین را برای دانشمندان مختلف در سراسر جهان فرستاد. از این مطالعات دریافت می شود که مغز

انیشتین در مقایسه با میانگین متوسط انسان ها، مقدار بسیار زیادی سلول های گلیال که مسئول ساخت اطلاعات هستند

داشته است. همچنین مغز انیشتین مقدار کمی چین خوردگی حقیقی موسوم به شیار سیلویوس داشته، که این مسئله امکان

ارتباط آسان تر سلول های عصبی را با یکدیگر فراهم می سازد.

علاوه بر این ها مغز او دارای تراکم و چگالی زیادی بوده است و همینطور قطعه آهیانه پایینی دارای توانایی همکاری بشتر با بخش

تجزیه و تحلیل ریاضیات است.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

تاریخچه


حساب دیفرانسیل و انتگرال در آغاز برای براورده کردن نیازهای دانشمندان قرن 17 ابداع شد.البته لازم به ذکر است ریشه های این علمرا میتوان تا هندسه کلاسیک یونانی میتوان ردیابی کرد
حساب دیفرانسیل و انتگرال به دانشمندان امکان می داد شیب خمها را تعریف کنند، زاویه آتشباری توپ را برای حصول بیشترین برد بدست آورند،و زمانهایی که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را از هم دارند،پیش بینی کنند.
پیش از پیشرفتهای ریاضی که به کشف بزرگ آیزاک نیوتن و لایب نیتس انجامید،یوهانس کپلر منجم با بیست سال تفکر،ثبت اطلاعات،و انجام محاسباث سه قانون حرکت سیارات را کشف کرد:



قانون اول کپلر​

1.هر سیاره در مداری بیضی شکل حرکث میکندکه یک کانونش در خورشید است




قانون دوم کپلر​

2.خط واصل بین خورشید و ستاره در مدتهای مساوی مساحات مساوی را طی میکنند






3.مربع گردش هر سیاره به دور خورشید،متناسب است با مکعب فاصله متوسط آن سیاره از خورشید
ولی استنتاج قوانین کپلر از قوانین حرکت نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال کار ساده ای است.


قلمرو امروزی حساب دیفرانسیل و انتگرال

امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال در آنالیز ریاضی قلمرو واقعا گسترده ای دارد و فیزیکدانان و ریاضیدانان که اول بار این موضوع را ابداع کردند مسلما شگفت زده و شادمان می شدند اگر می دیدند که این موضوع چه انبوهی از مسائل را حل میکند.
امروزه اقتصاددانان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش بینی گرایشهای کلی اقتصادی استفاده می کنند. اقیانوس شناسان برای فرمول بندی نظریه هایی درباره جریانهای دریایی بهره میگیرند،و هواشناسان آن را برای توصیف جریان هوای جو به کار میگیرند،دانشمندان علوم فضایی آن را برای طراحی موشکها به کار میبرند.روانشناسان از آن برای درک ثوهمات بصری استفاده می کنندو...
به طور خلاصه حساب دیفرانسیل و انتگرال علمی است که درتمام علوم امروزی کاربرد بسزایی دارد.


بزرگان این علم

این علم عمدتا کار دانشمندان قرن هفدهم اسث. از میان این دانشمندان میتوان به رنه دکات ،کاوالیری،فرما
و جیمز گرگوری اشاره کرد.
پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن 18 با سرعت زیادی ادامه یافت، در زمره مهمترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند میتوان به برادران برنولی اشاره کرد.در واقع خانواده برنولی همان نقشی را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ایفا کردند.
تکمیل ساختار منطقی روشهای حساب دیفرانسیل و انتگرال را ریاضیدانان قرن 19 از جمله لوئی کوشی و کارل وایرشتراس
بر عهده گرفتند.
مطلب را با سخنی از جان فون نویمان که از ریاضیدانان بزرگ قرن بیستم است به پایان میبریم « حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد ریاضیات نوین است و درک اهمیت آن کار آسانی نیست. به عقیده من،این حساب روشنتر از هر مبحث دیگری مرحله آغازی ریاضیات نوین را توصیف می کند؛و نظام آنالیز ریاضی، که توسیع منطقی آن است،هنوز بزرگترین پیشرفت فنی در تفکر دقیق به شمار می آید.»
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

سال ها پیش در یکی از کلاس های ریاضیات مدارس آلمان، آموزگار برای اینکه مدتی بچه ها را سرگرم کند و به کارش برسد؛ از آنها خواست تا مجموع اعداد از یک تا صد را حساب کنند. پس از چند دقیقه یکی از شاگردان کلاس گفت: مجموع این اعداد را پیدا کرده و حاصل عدد ۵۰۵۰ می شود. با شنیدن این عدد معلم با حیرت فراوان او را به پای تخته برد تا روش محاسبه خود را توضیح دهد. به نظر شما این شاگرد باهوش که بعدها یکی از بزرگ ترین و معروف ترین ریاضیدانان دنیا شد.
چه روشی را به کار بست؟ او اعداد یک تا صد را به ردیف پشت سرهم نوشت، سپس بار دیگر همین اعداد را بالعکس، این بار از صدتا یک، درست در ردیف زیرین اعداد قبلی نوشت. طوری که هر عدد زیر عدد ردیف بالاتر قرار گرفت.وی مشاهده کرد که مجموع هر کدام از ستون های به وجود آمده ۱۰۱ است. سپس نتیجه گرفت که صد تا عدد ۱۰۱ داریم که حاصل مجموع آنها می شود ۱۰۱۰۰=۱۰۱*۱۰۰. پس از آن تنها کافی بود که این مجموع به دست آمده نصف شود یعنی:
۵۰۵۰=۲/۱۰۱۰۰
شاید «شارل فردریک گاوس» شاگرد با ذکاوت کلاس که این روش جالب را به کاربرد، آن هنگام نمی دانست، روش بسیار کارا و مفیدی را برای جمع بستن رشته ای از اعداد ارائه داده است که تا سالیان سال مورد استفاده ریاضیدانان خواهد بود.اکثر مفاهیم ریاضی به قدری با زندگی روزمره ما گره خورده است که تمام مردم بدون آگاهی داشتن و واقف بودن به آن، از کنارش می گذرند و تنها کاربر خوبی هستند و بس!
حتماً تا به حال با این عبارات در رادیو، تلویزیون یا موارد مختلف دیگر برخورد کرده اید: «وزارت آب و یا وزارت نیرو اعلام کرده است که میزان پرداختی قبض ها به صورت تصاعدی بالا می رود و از مصرف کنندگان تقاضا نمود که نهایت صرفه جویی را درمصرف آن داشته باشند.» حتماً در بیشتر موارد نیز از اینکه هزینه مصرف آب یا برق شما بسیار گران شده است گله مند و شاکی بوده اید و بسیار تعجب کرده و یا شاید هم فکر کرد ه اید که اشتباهی رخ داده است!
اما در واقع این چنین نبوده است. بلکه این وزارتخانه ها و جاهای دیگر از این قبیل با به کار بردن یک مفهوم ساده ریاضی که از روابط جالب بین اعداد نشات می گیرد، تلاش نموده اند با این روش اندکی از مصرف سرانه انرژی های مفید در کشور بکاهند. بسیاری از رشته های اعداد در ریاضیات از قاعده و قانون خاصی پیروی می کنند. بدین صورت که مثلاً هر عدد نسبت به عدد قبلی خود به اندازه ثابتی کاهش یا افزایش می یابد، به این رشته از اعداد تصاعد «عددی» (حسابی) گویند.
برای مثال در رشته اعداد ۱، ۴، ۷، ۱۰، ۱۳ و ... هر عدد نسبت به عدد قبلی خود سه واحد بیشتر است. حال رشته ای از اعداد را در نظر بگیرید که در آن هر عدد نسبت به عدد ماقبل خود به اندازه توان هایی از یک عدد ثابت افزایش یا کاهش یافته باشد. به این رشته از اعداد تصاعد «هندسی» گویند.
برای مثال رشته اعداد ۱، ۲، ۴، ۸، ۱۶ و... را در نظر بگیرید. اگر کمی دقت کنید متوجه می شوید که هر عدد نسبت به عدد قبلی خود، دو برابر شده است. به عبارت دیگر در این رشته از اعداد با توان هایی از عدد ۲ و یا اعداد دیگر مواجه هستیم.
یعنی :...و۲۴، ۳ ۲، ۲ ۲۲۱۲۰،، به ترتیب از چپ به راست می شود ...و ۱۶، ۸، ۴، ۲۱،
اگر کمی حوصله کنید و با ما همراه باشید مثال ها و داستان های جالبی از خاصیت شگفت آور این رشته از اعداد خواهید خواند که حتماً متعجب می شوید.
در گذشته های دور، یکی از پادشاهان هندوستان به ازای یاد دادن سرگرمی خوبی به او، جایزه بزرگی تعیین کرد. می دانید که هندی ها در ابداع و اختراع روابط شگفت انگیز بین اعداد بسیار توانا هستند و تاریخچه بلندی در این زمینه دارند. روزی یکی از همین دانشمندان متبحر کار با اعداد، نزد پادشاه رفت و بازی شطرنج را به او آموخت. کسی چه می داند، شاید بازی شطرنج از همان زمان اختراع شده باشد.این مرد زیرک به ازای سرگرمی خوبی که به پادشاه آموخته بود از وی خواست تا به ازای ۶۴ خانه شطرنج به او گندم دهد. بدین ترتیب که از یک دانه گندم برای خانه اول آغاز کند و به هر خانه شطرنج که رسید تعداد دانه های گندم را نسبت به خانه قبل دو برابر افزایش دهد.
مثلاً برای روز چهارم پادشاه می بایست تعداد ۱۶=۲۴ دانه گندم به مرد فاضل بدهد. مرد خردمند شرط کرد که در صورت عدم توانایی پرداخت این گندم ها از سوی پادشاه می باید تاج و تخت هندوستان را برای همیشه ترک کند. پادشاه نیز با کمال میل پذیرفت و در دل به بی خردی آن ناشناس خندید. مسلماً در روزهای اول مشکلی وجود نداشت. اما مشکل اصلی از آنجا شروع می شد که این اعداد به صورت شگفت آوری بزرگ می شدند. در روز دهم تعداد ۱۰۲۴=۲۱۰ دانه گندم باید پرداخت می شد که تعداد زیادی نیست. اما روز بیستم تعداد قابل ملاحظه ای می شود یعنی ۵۷۶/۰۴۸/۱=۲۲۰ دانه گندم. فکر می کنید وقتی که به روز آخر یعنی خانه شصت و چهارم برسید چه اتفاقی بیفتد. درست حدس زده اید پادشاه ما به ....=۲۶۴ دانه گندم نیاز دارد که این تعداد گندم با تمام دانه های شن و ماسه موجود بر روی زمین برابری می کند!
در روزهای آخر این شرط تازه پادشاه هند متوجه شد که چه کلاه بزرگی سرش رفته است اما چاره ای جز کناره گیری از تاج و تخت نبود!مثال های بسیاری از این دست موجود است که به قدرت شگرف اعداد و بیشتر از آن به قدرت تفکر انسان هایی که راه سود بردن از آن را بدانند اشاره می کند.
منبع:

فریبا پایروند ثابت
مرکز ریاضیات
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

شاید تا کنون شده باشد که در مواقعی که بیکار هستید یا اینکه انتظار خبر مهمی را می کشید برای سرگرم کردن خودتان کاغذی را که در اطرافتان هست بردارید و شروع به تا کردن آن کنید و بعد از چند بار متوجه شوید که دیگر نمی شود کاغذ را تا کرد. در این صورت یا از تا کردن کاغذ منصرف می شوید یا آن را باز می کنید و دوباره شروع به تا کردنش می کنید... البته ممکن است قبل از اینکه به آن زمان برسید خبر مهم به شما داده شود و کاغذ را به جای اولش برگردانید !!!
این مسئله را همه ما تجربه کرده ایم اما شاید هیچ کدام از ما به طور جدی روی آن فکر نکرده باشیم.اگر ورق را هر بار طوری تا کنید که اندازه آن نصف شود بیش از ۷ یا ۸ بار نمی توانید آن را تا کنید. مهم نیست ورق اولیه شما چقدر بزرگ باشد. شاید تا به حال این قضیه را شنیده باشید و سعی کرده باشید که آن را امتحان کنید و متوجه شده باشید که تا کردن کاغذ بیش از۷ یا ۸ بار بسیار سخت است. آیا می توان گفت که این اعداد یک محدودیت مستدل و عمومی برای تا کردن کاغذ هستند؟فرض کنید شما کاغذی را انتخاب کرده اید که دارای پهنای w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا کردن ورق از یک سمت بکنید وقتی به جایی برسید که دیگر نتوانید کاغذ را تا کنید یک نوار باریک خواهید داشت.با هر تا کردنی ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهنای آن نصف خواهد شد. یعنی بعد از N بار تا کردن ضخامت خواهد بود و البته مشخص است که پهنا می شود و نسبت ضخامت به پهنا برابر می شود.اگر با کاغذی به پهنای ۱۱cm و ضخامت ۰.۰۰۲cm این کار را انجام دهید بعد از ۷ بار تا کردن نسبتt/w برابر ۱/۶ می شود. این بدان معنیست که اندازه ضخامت از پهنا بیشتر می شود و در نتیجه دیگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهید بود. اگر این کاغذ را ۵۰ بار بزرگتر کنید شاید بتوانید آن را تا ۱۰ بار هم تا کنید.اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنید ممکن است تعداد دفعات بیشتری بتوانید به تا کردن کاغذ ادامه دهید. در این صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه یک بار نصف می شود.چندین سال پیش هنگامی که بریتنی گالیوان در دبیرستان درس می خواند با این مسئله رو به رو شد که چگونه کاغذی زا ۱۲ بار تا کند . او باید برای گرفتن نمره از یکی از کلاسهایش این مسئله را حل می کرد. بعد از آزمایش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را ۱۲ بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.گالیوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان یک کاغذ با اندازه معین را تا کرد کار کرد.
که در آن L کمترین درازای کاغذ، t میزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L باید یکسان باشد.
برای یک طول و ضخامت معین عبارت بیانگر آن است که صفحه بعد از n بار تاکردن چند برابر کوچک شده است. با n=۰ شروع می کنیم و به همین ترتیب به رشته ای از اعداد به این صورت می رسیم:
۰, ۱, ۴, ۱۴, ۵۰, ۱۸۶, ۷۱۴, ۲۷۹۴, ۱۱۰۵۰, ۴۳۹۴۶, ۱۷۵۲۷۴, ۷۰۰۰۷۴, ۲۷۹۸۲۵۰, . . .
این به این معنی است که در تای دوازدهم ۲۷۹۸۲۵۰ برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.گالیوان در کتابی با نام Historical Society of Pomona Valley چگونگی به دست آوردن این معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضیح داده است. بالاخره در June ۲۰۰۲ گالیوان یک کاغذ بزرگ را ۱۲ بار تا کرد.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

دوره دوم تكامل ریاضیات با سمت گیری كاربردی را (كه در ضمن دوره سوم تكامل ریاضیات بود) باید از سده هشتم تا سده شانزدهم میلادی دانست، دوره ای كه گرانیگاه آن در ایران بود. زندگی مسئله های تازه ای را پیش آورد كه باید به یاری ریاضیات حل می شد و ریاضیات نظری دوره پیش (ریاضیات یونانی) از عهده حل آنها بر نمی آمد. این مسئله ها به طور عمده مربوط می شد به اخترشناسی، مكانیك (ساختن ساعت های مكانیكی، اسطرلاب و سایر ابزارهای لازم برای رصد، ظریف تر و دقیق تر كردن وسیله های فلزی، سفالی و...) و مسئله های ناشی از اعتقادهای دینی (پیدا كردن جهت قبله، حل مسئله های مربوط به تقسیم ارث و عمل كردن به وصیت نامه ها، كه گاه بسیار پیچیده بود)، گسترش ارتباط های بازرگانی، ساختن قصرها و پرستشگاه ها، ایجاد كاریزها و آبراه ها و...
و ریاضیات با استفاده از همه دستاوردهای دوره های قبل (و به ویژه ریاضیات یونان و هند) با سمت گیری كاربردی (كه در سطحی بسیار بالاتر از ریاضیات كاربردی دوره قبل از یونان بود)، به تكامل خود ادامه داد. اگر از استثناها بگذریم، همه ریاضیدانان این دوره، از پسران «موسی شاكر» تا «جمشید كاشانی»، ایرانی بوده اند.
وقتی می گوییم ریاضیات این دوره با سمت گیری كاربردی به پیش رفته است به این معنا نیست كه در زمینه ریاضیات نظری كاری انجام نشده است بلكه تنها به این معناست كه عامل اصلی پیشرفت ریاضیات انگیزه بیرونی آن (یعنی زندگی، عمل و نیازهای ناشی از آنها) بوده است.
ریاضیدانان ایرانی این دوره با اطلاع از كارهای یونانیان و هندیان و با استفاده از ذخیره فرهنگی غنی قوم های ساكن ایران تلاش كردند كمبودها و شكاف های نظری ریاضیات یونانی را برطرف كنند.
آنها بارها و بارها «مقدمات» اقلیدوس را به بحث انتقادی كشاندند، روش های بطلمیوسی را كه در «المجسطی» آمده بود، تصحیح كردند و تكامل دادند، پایه های جبر و مثلثات و به طور كلی ریاضیات محاسبه ای را ریختند، با بررسی دقیق مربوط به نسبت ها مفهوم عدد حقیقی را به عنوان یك كمیت پیوسته وارد ریاضیات كردند، پایه های اصلی هندسه نااقلیدوسی را بنا نهادند، روش های ارشمیدس را در زمینه «انتگرال گیری» تكامل بخشیدند و غیره و غیره. ولی در همه این زمینه ها توجه اصلی ریاضیدانان ایرانی، به نیازهای زندگی و دانش های دیگر بوده است. خوارزمی جبر را به دلیل دشواری هایی كه در فقه اسلامی برای تقسیم ارث وجود داشت، پدید آورد. نیمه نخست كتاب «جبر و مقابله» خوارزمی، بحثی نظری درباره راه حل معادله های درجه اول و درجه دوم- هم با محاسبه و هم به كمك استدلال های هندسی- است. البته خوارزمی از نمادهای جبری استفاده نمی كند و مسئله ها را به صورت توصیفی حل می كند، ولی دقت در روش های حل او، ما را به دستوری می رساند كه امروز، برای حل معادله درجه دوم، به كار می بریم.
خوارزمی و ریاضیدانان ایرانی بعد از او، عدد منفی را- جز در برخی حالت های استثنایی- به كار نمی برند، به معادله های بالاتر از درجه سوم توجهی نداشتند (خیام، در كتاب جبر خود، برخی از گونه های معادله درجه سوم را به كمك مقطع های مخروطی حل كرده است) و اغلب تنها به یكی از ریشه های معادله، اكتفا می كردند و همه اینها به دلیل توجه اصلی آنها به عمل و نیازهای زندگی بوده است. به طور مثال، ریاضیدانان ایرانی (به پیروی از ریاضیدانان یونانی)، اگر طول پاره خط راست را برابر a می گرفتند،a۲ را مربعa (یعنی مساحت مربعی به ضلع برابر a) و a۳ را مكعبa (یعنی حجم مكعبی به ضلع برابر a) می گفتند، اصطلاح هایی كه هنوز هم معمول اند. در واقع توان دوم را به معنای مساحت و توان سوم را به معنای حجم می گرفتند و چون در زندگی عملی، با جسم چهار یا پنج بعدی سروكار نداریم، بحث درباره معادله های بالاتر از درجه سوم را - جز در حالت های نادر مثل معادله های سیال كرجی - بی معنی می دانستند.
فارابی در كتاب بزرگ موسیقی خود، برای نخستین بار در جهان، نظریه علمی موسیقی را مطرح می كند و جنبه های مختلف آن را مورد بحث قرار می دهد (در تقسیم بندی فارابی از دانش ها، موسیقی بخشی از ریاضیات به شمار می آید) پیش از فارابی، اگر از موسیقی عملی عیلام و بابل و مصر و هند بگذریم، تنها در یونان بحث هایی در زمینه موسیقی در جریان بود كه بیشتر جنبه متافیزیكی داشت و آمیخته با وهم و تخیل بود.
فارابی مبانی فیزیكی و ریاضی موسیقی را بررسی كرده و نخستین كتاب علمی موسیقی را ارائه داده است. ابوالوفا و بیرونی بیش از دیگران دستورهای مثلثاتی را كشف و ثابت كردند و این به دلیل دشواری هایی بود كه در اخترشناسی و محاسبه های مربوط به آن پیش می آمد. بطلمیوس بیشتر استدلال ها و محاسبه های خود را بر اساس هندسه و قضیه ها و مسئله های آن انجام می داد و این كار را بسیار دشوار می كرد. «ابوالوفای بوزجانی» و «ابوریحان بیرونی»، برای رفع این دشواری ها بود كه مثلثات را شكوفا كردند و پیش بردند و سرانجام «نصرالدین توسی» با تالیف «كشف القناع» خود استقلال مثلثات را از هندسه اعلام كرد. «جمشید كاشانی» برای همین محاسبه های اخترشناسی (او پایه گذار رصدخانه الغ بیگ در سمرقند بود) و به این دلیل كه راه های قبلی (مانند راه ابوالوفا)، اندكی طولانی و تا اندازه ای غیردقیق بود، روش جبری حل معادله درجه سوم: ۴x۳-۳x = a را برای پیدا كردن مقدار دقیق سینوس یك درجه (از روی سینوس سه درجه) به دست آورد.
ریاضیدانان ایرانی، اندازه سینوس زاویه های ،۱۵ ،۱۸ ،۳۰ ،۴۵ ،۶۰ ،۷۲ ۷۵ درجه (و در نتیجه، كسینوس آنها) را می شناختند و مقدار سینوس سه درجه را با بسط (۱۵- ۱۸) sin به دست می آوردند. باید به این نكته اشاره كنیم كه اغلب مورخان دانش حتی با انصاف ترین آنها نتوانسته اند مقام ریاضیات ایرانی را، در مجموعه تاریخ ریاضیات به درستی و روشنی ارزیابی كنند. اغلب آنها ریاضیدانان ایرانی را تا حد مترجمان ساده نوشته های یونانی پایین آورده اند كه این ترجمه ها هم به موقع خود، به صاحبان اصلی یعنی اروپاییان برگشت داده شده است. به این ترتیب مورخان ریاضی آغاز ریاضیات را در اروپا (یونان) می دانند كه بعد از سقوط مكتب اسكندریه در سده های سوم و چهارم میلادی، دوران فترتی به وجود می آید كه تا سده پانزدهم میلادی ادامه دارد و سپس با دسترسی اروپاییان به نوشته های یونانی (از راه ترجمه عربی آنها) دوباره دنبال كار را می گیرند و آن را به امروز می رسانند.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
خواندنی های جالب در مورد دنیای ریاضیات

در اقیانوس اطلس، منطقه شگفت انگیزی وجود دارد که تاکنون، تعداد زیادی از هواپیماها و کشتی ها، بی آنکه نشانه ای از خود برجای گذارند، به طرز اسرارآمیزی در آنجا ناپدید شده اند. این منطقه مرگبار که اصطلاحا «مثلث برمودا» یا «مثلث شیطان» نامیده می شود، از شمال به جزیره «برمودا» از باختر به « فلوریدا» و از سوی خاور به نقطه ای از اقیانوس اطلس محدود میشود. حوادث شگفت انگیزی که در این نقطه از عالم اتفاق افتاده، دانشمندان را بر آن داشته است تا در « مثلث برمودا» به مطالعه و کاوش بپردازند و در رابطه با این حوادث، نظریات گوناگون ارائه دهند، ولی این کوشش ها، تا کنون کمکی به حل معما نکرده است. در حدود ساعت 5/10 شامگاه 29 ژانویه 1948 هواپیمای بزرگ چهار موتوره بریتانیا موسوم به « استار تایگر» هنگامی که با 26 مسافر و خدمه بر فراز « مثلث برمودا» پرواز می کرد، ناگهان به طرز اسرارامیزی ناپدید شد و دیگر هیچ خبری از آن به دست نیامد. چند دقیقه قبل، تنها یک پیام رادیویی از خلبان هواپیما دریافت شده بود که اعلام کرده بود « هوا خوب است و هیچ مانعی وجود ندارد»
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
با این حال، هواپیمای « استار تایگر» ناپدید گردید و معلوم نشد چه بلایی بر سر آن آمد. در ساعت 45/7 دقیقه بامداد روز 17 ژانویه 1949 کاپیتان با هواپیمای خود از فرودگاهی در جزیره « برمودا» به هوا برخاست تا به «کینگستون» واقع در « جامائیکا» برود، ولی این هوایما نیز هنگام عبور از فراز « مثلث برمودا» به سرونوشت هواپیمای قبلی دچار گردید. کاپیتان 40 دقیقه پس از پرواز، طی یک تماس رادیویی، وضع هوا را عالی توصیف کرد و با اطمینان گفت که به موقع به « جامائیکا» خواهد رسید. ولی این آخرین پیامی بود که از خلبان هواپیما دریافت شد و پس از آن، فقط سکوتی اسرار آمیز بر قرار گردید. برای یافتن این هواپیما، قطعات شکسته آن، و یا حتی آثار روغن و بنزین بر سطح آب که می توانست سرنخی به دست دهد، جستجوی گسترده ای به عمل آمد، لیکن این جستجو کاملا بی فایده بود. پیش از ناپدید شدن این دو هواپیما، حادثه شگفت انگیزی در مثلث برمودا رخ داده بود که توجه همگان را به خود جلب کرد و در حقیقت وجه تسمیه «مثلث برمودا» از آنجا ناشی شد. وجه تسمیه «مثلث برمودا» در روز 5 دسامبر 1945 پنج بمب افکن از نوع «اونجر» به منظور انجام یک پرواز تمرینی که پرواز شماره 19 نامیده می شد، از پایگاه نظامی « فورت لودردیل» واقع در « فلوریدا» به هوا برخاستند . طبق برنامه ، آنها می بایستی یک مسیر مثلث شکل را طی کنند و دوباره به پایگاه بازگردند.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
قبلا جندین بار جنین تمرینی را انجام داده بودند، از این رو این ماموریت بر ایشان دشوار نبود. از سوی دیگر، خلبانان و خدمه این پنج بمب افکن را افرادی با تجربه و ماهر تشکیل می دادندم. و همه هواپیماها مجهز به بهترین دستاه بی سیم و تجهیزات هوانوردی بودند. در ساعت 10/2 دقیقه آن روز، هر پنج بمب افکن به هوا برخاستند و با آرایشی زیبا و سرعتی در حدود 200 مایل در ساعت به سوی خاور به پرواز در آمدند. در ساعت 45/3 دقیقه، حادثه وحشتناکی رخ داد. ستوان «تایلو» فرمانده این اسکادران طی تماس رادیویی با برج مراقبت فریاد زد: - برج مراقبت ... وضع اضطراری پیش آمده ... انگار ما از مسیر خود منحرف شده ایم... ما قادر نیستیم زمین را ببینیم... تکرار می کنم ... ما قادر نیستیم زمین را ببینیم. مسئول برج مراقبت پرسید: - حالا در چه موقعیتی هستید؟ - موقعیت خود را به درستی نمی دانیم ... اصلا نمی دانیم کجا هستیم . به نظر میرسد راه را گم کرده ایم. مسئول برج مراقبت از این سخن بر خود لرزید. چگونه ممکن بود پنج هواپیما، با سرنشینان پر تجربه خود، در شرایطی که هوا کاملا مساعد بود راه خود را گم کنند. برج مراقبت گفت: - طاقت داشته باشید. به سوی غرب پرواز کنید.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
ستوان « تایلور» پاسخ داد: - ما اصلا نمی دانیم غرب کجاست... همه دستگاه ها از کار افتاده ... همه چیز شگفت انگیز است. هیچ جهتی را نمی توانیم تشخیص دهیم. حتی اقیانوس شکل دیگری به خود گرفته است... چند لحظه بعد، دوباره صدای ستوان« تایلور» به گوش ریسید که دیوانه وار فریاد زد: - ما وارد آب های سفید می شویم ... خطر همچون دشنه ای به سوی ما می آید... کمک ... کمک ... و این آخرین پیام ستوان « تایلور» بود و صدای او برای همیشه خاموش شد. مسئولان فرودگاه، وضع اضطراری اعلام کردند و یک هواپیمای « مارتین مرینر» با 13 سرنشین و مجهز به کلیه وسایل نجات از زمین برخاست تا به جستجوی پنج هواپیمای بمب افکن بپردازد، ولی شگفت اینکه این هواپیما نیز به همان سرنوشت پنج بمب افکن دچار گردید و برای همیشه ناپدید شد. در ساعت 4/7 دقیقه بعد از ظهر آن روز، برج مراقبت نیروی دریایی در « اوپالوکا» پیام ضعیفی دریافت کرد که مربوط به یکی از هواپیماهای پرواز شماره 19 بود. عجیب آن بود که به موجب پیش بینی، موجودی بنزین آخرین هواپیما می بایستی تقریبا دو ساعت پیش تمام شده باشد، در حالی که هنوز در آسمان بود. سپیده دم روز بعد، 242 فروند هواپیما و 18 فروند کشتی به جستجوی هواپیماهای گمشده پرداختند، ولی اثری از آنها نیافتند. انگار این هواپیماها، قطره ای شده و به درون اقیانوس فرو رفته بودند. هرگاه فرض کنیم که این پنج هواپیمای بمب افکن، در آسمان با یکدیگر تصادم کرده اند، می بایستی قطعات شکسته هواپیما و یا آثار و علائمی از این تصادم پیدا می شد و از سوی دیگر هنگامی که ستوان«تایلور» وضع اضطراری اعلام کرد، برخی از خدمه هواپیما می توانستند به وسیله چتر نجات، خود را از مهلکه رهایی بخشند، یا پس از سقوط در آب از وسایل ایمنی نظیر تشک های بادی و جلیقه های نجات استفاده کنند، در حالی که معلوم نیست چرا هیچ یک از این اقدامات صورت نگرفت . هواپیمای « مارتین مرینر» که به کمک این پنج هواپیما شتافته بود، به گونه ای ساخته شده بود که می توانست روی آب بنشیند، در حالی که این هواپیما نیز بی آنکه با برج مراقبت تماس بگیرد، به طرز اسرارآمیزی ناپدید شد. واقعیت حادثه تا به امروز کشف نشده و این ماجرا همچنان در شمار یکی از اسرار حل نشده عالم، باقی مانده است. پس از این رویداد، تعداد زیادی هواپیما و کشتی همراه با سرنشینان آنها در منطقه مثلث برمودا ناپدید شده اند که تا کنون اثری از آنها به دست نیامده است و این حوادث موجب شده که دانشمندان نظریات گوناگون در رابطه با « مثلث برمودا» ارائه دهند.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
نظرات دانشمندان در ارتباط با مثلث برمودا پاره ای از این دانشمندان بر این اعتقادند که از مثلث برمودا، دریچه ای به دنیای دیگر گشوده می شود و این کشتی ها و هواپیماها از آن دریچه به بعد دیگری که برای ما ناشناخته است منتقل می شوند. و گروهی دیگر گناه این حوادث را به گردن موجودات فضایی می اندازند و می گویند که ساکنان کرات دیگر، کشتی ها و هواپیماها را با سرنشینانش برای تحقیق به کرات خود می برند. برخی دیگر نیز با توجه به فرضیه فرو رفتن قاره افسانه ای آتلانتیس به زیر آب ، بر این باورند که در اعماق آب های مثلث برمودا، بلور عظیمی وجود دارد که اشعه ای قوی تر از لیزر از آن ساطع می شود و این اشعه کشتی ها و هواپیماها را ذوب می کند. در نقشه های قدیم یقاره ای به نام « آتلانتیس» به چشم می خورد که امروزه اثری از این خشکی وجود ندارد، و دانشمندان حدس می زنند بر اثر وقوع فاجعه ای که ماهیت آن هنوز بر بشر معلوم نیست، در منطقه «مثلث برمودا» به اعماق اقیانوس فرورفته باشد.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
موقعیت مثلث برمودا مثلث برمودا واقعا یک مثلث نیست، بلکه شباهت بیشتری به یک بیضی (و شاید هم دایره‌ای بزرگ) دارد که در روی بخشی از اقیانوس اطلس در سواحل جنوب شرقی آمریکا واقع است. راس آن نزدیک برمودا و قسمت انحنای آن از سمت پایین فلوریدا گسترش یافته و از پورتوریکو گذشته ، به طرف جنوب و شرق منحرف شده و از میان دریای سارگاسو عبور کرده و دوباره به طرف برمودا برگشته است. طول جغرافیایی در قسمت غرب مثلث برمودا 80 درجه است، بر روی خطی که شمال حقیقی و شمال مغناطیسی بر یکدیگر منطبق می‌گردند. در این نقطه هیچ انحرافی در قطب نما محاسبه نمی‌شود.وینسنت گادیس که مثلث برمودا را نامگذاری کرده، آن را به صورت زیر توصیف می‌کند: « یک خط از فلوریدا تا برمودا ، دیگری از برمودا تا پورتویکو می‌گذرد و سومین خط از میان باهاما به فلوریدا بر می‌گردد. »
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
مشاهدات و گزارشات در بیشتر اتفاقات مثلث برمودا ، اکثر هواپیماها در حالی ناپدید شده‌اند که تماس رادیویی خود را با ایستگاههای مبدا و مقصدشان تا آخرین لحظه حفظ کرده‌اند و یا برخی دیگر در لحظات آخر پیامهای غیر عادی مخابره کرده‌اند که حاکی از عدم کنترل آنان بر روی دستگاه و ابزارها بوده است و یا چرخش عقربه‌های قطب نما به دور خود و تغییر رنگ آسمان اطراف به زردی و مه آلودی ، آن هم در روز صاف و آفتابی و یا تغییراتی غیر عادی در آبها که تا لحظاتی قبل آرام بوده‌اند، بدون بیان هیچ دلیل روشنی از چگونگی این وقایع.این پیامها رفته رفته ضعیف‌تر و غیرقابل تشخیص‌تر شده و یا سریعا قطع شده‌اند. دقیقا مثل اینکه چیزی ارتباط رادیویی را قطع کرده باشد و یا چنانچه اظهار عقیده شده، در حال دور شدن و عقب رفتن از فضا و زمان بوده و دورتر و دورتر شده‌اند. در برخی موارد گزارشها حاکی از آن بود که نوری ناشناخته و غیر قابل تشریح روئیت شده است. همچنین توده سیاه و تاریکی در سطح دریا که پس از مدتی ناپدید شده ، در جریان اتفاقات مزبور گزارش شده است.در مواردی هم گزارش شده که نقطه تاریک بزرگی در میان ستارگان در آسمان دیده شده که نوری متحرک از طرف زمین به آن قسمت وارد شده و سپس هر دو ناپدید شده‌اند. در تمام مدت دیده شدن تاریکی ، دستگاهها و سایر ابزارهای قایق‌های ناظر از کار افتاده بودند که پس از رفع تاریکی آسمان ، دوباره شروع بکار کرده‌اند.در یک مورد هم پیامی عجیب از یک کشتی باری ژاپنی بدین مضمون دریافت گردید. "خطری همانند یک خنجر هم اکنون ... به سرعت می‌آید ... ما نمی‌توانیم فرار کنیم ..." در هر حال بدون اینکه مشخص شود خنجر چه بود، کشتی ناپدید شد.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
علل واقعه علل فرضی طبیعی توضیحات و علل فرضی مختلفی درباره حوادث مثلث برمودا ارائه شده است که معمول‌ترین فرضیات بر اساس مرگ غیر طبیعی (زیرا هیچ جسدی تا کنون بدست نیامده است.) بنا شده است. این توضیحات عبارتند از:جزر و مد ناگهانی دریا در نتیجه زلزله در اعماق دریا ، وزش بادهای مخرب و اختلالات جوی ، گویهای آتشفشان که موجب انفجار هواپیماها می‌شود، گرفتار آمدن در جاذبه یک گرداب یا گردباد که باعث سقوط و انهدام هواپیماها یا انحراف مسیر کشتیها و مفقود شدن آنها در آب می‌شود، تحت تاثیر نیرویی مغناطیسی قرار گرفتن و اختلالات امواج الکترومغناطیسی، ولی این دلایل توجیه قابل قبولی برای ناپدید شدن هواپیماها و کشتیهای متعدد در یک منطقه نیست. علل فرضی غیر طبیعی دستگیری و ربوده شدن به وسیله زیردریایی یا بشقاب پرنده‌هایی متعلق به کراتی دیگر که برای تحقیق درباره حیات و زندگی باستان و حال ما انسانها به کره زمین آمده‌اند، می‌تواند علتی غیر طبیعی برای توجیه وقایع باشد.یکی از عجیب‌ترین پیشنهادات در این مورد بوسیله ادگار کایس ، پیشگو و روانکاو و حکیم در دهه پنجم قرن بیست ، ارائه شده است. به عقیده وی قرنها قبل از کشف اشعه لیزر ، بومیان سواحل اقیانوس اطلس از کریستال به عنوان یک منبع انرژی و قدرت استفاده می‌کردند. به نظر کاین نوعی نیروی شیطانی القا شده از سوی آنها ، در عمق یک مایلی در قسمت غرب اندروس غرق شده که هنوز در برخی مواقع باعث از کار انداختن ابزار و وسایل الکتریکی کشتیها ، هواپیماها و در نهایت نابودی آنها می‌گردد.ام. ک. جساپ که یک فضانورد ، منجم و متخصص کره ماه است، در کتابش به نام « در مورد بشقاب پرنده‌ها » ابزار می‌دارد که ناپدید شدن کشتیهای مشهور در مثلث برمودا ، به وسیله اجسام پرنده صورت گرفته است. وی مفقود شدن خدمه آنها را نیز به اجسام مزبور ربط می‌دهد. به عقیده جساپ یوفوها هر چه هستند، حوزه مغناطیسی موقتی ایجاد می‌کنند که دارای طرحی یونیزه شده است و می‌تواند باعث متلاشی شدن یا ناپدید شدن هواپیماها و کشتیها گردد. او روی این سوال کار می‌کرد که چگونه نیروی مغناطیسی کنترل شده و می‌تواند باعث نامرئی شدن گردد. نظریه میدان واحد انیشتین او را مجذوب کرده بود. جساپ هر دو اینها را کلیدی می‌دانست برای ظهور و محو شدن ناگهانی بشقاب پرنده‌ها و ناپدید شدن کشتیها و هواپیماها. ولی مرگ امکان ادامه فعالیت و نتیجه گیری را از جساپ گرفت و تحقیقاتش نیمه تمام ماند.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
گذشته و آینده برمودا به نظر می‌رسد که این منطقه طی زمانهای متمادی گذشته نیز در افسانه‌ها به منزله مکانی ترسناک وجود داشته و حتی خیلی قبل از تاریخ کشف آن و بعد از آن تاریخ تا صدها سال با عناوین «دریایی از مقبره‌ها» ، «مثلث شیطان» ، «مثلث مرگ» ، «دریای بدبختی» ، «گورستان آتلانتیک» نامیده می‌شده است. شومی و بدشگونی مثلث برمودا حتی در عصر فضا نیز باعث تعجب انسانهایی چون کریستف کلمب و فضانوردان آپولو 13 که یکی کاشف در زمین و دیگری در فضاست، شده است.اینکه چرا وقایع عجیب این منطقه گزارش نمی‌شود، شاید به دلیل ایجاد رعب و وحشت عمومی باشد، شاید هم چون دلیل اصلی وقایع معلوم نیست، اتفاقات مربوطه بازتاب نمی‌یابد. البته در اغلب گزارشات ارائه شده هم سانسورهایی وجود دارد که اصل وقایع را سرپوشیده نگه می‌دارد. آیا این مثلث دوباره قربانیان دیگری می‌گیرد؟ آیا بشر موفق به کشف راز آن خواهد شد؟ و بسیاری آیاها و پرسشهای بی جواب دیگر که مسلما در ذهن شما هم وجود دارد.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
اضطراب رياضي

اضطراب رياضي

مقاله بررسي اثر بخشي حالت هاي عاطفي و هيجاني ، به عنوان مولفه هاي شخصيت يادگيرنده بررفتار رياضي است. امروزه اضطراب رياضي مورد توجه و علاقه بسياري از متخصصان روان شناسي آموزش رياضي و نيز روانشاسان شناختي است تا از اين طريق تأثيرهاي هيجاني و بر انگيختگي هاي رواني شاگردان را در کار رياضي بشناسند و براي کنترل و مهارعلمي آنها راه کارهاي عملي بيابيد . در اين ميان اضطراب و فشار رواني و تعامل آنها با يادگيري رياضيات جايگاه ويژه اي را در امر آموزش و يادگيري رياضيات مدرسه و حتي دانشگاهي به خود اختصاص داده است ؛ هر چند که در محافل علمي و آموزشي ما کمتر به آن توجه شده است.
پژوهش ها در سال هاي اخير نشان داده اند که اضطراب رياضي غير معقول ( اضطراب مرضي ) با ايجاد مانع هاي جدي شناختي و آموزشي در فراگيران ضمن ابتلاي آنان به ايست فکري و نقصان قابليت هاي استدلالي موجبات تضعيف خود باوري رياضي را در آنها فراهم مي آورد و با ايجاد نگرش منفي به شدت بر عملکرد پيشرفت رياضي فراگيران موثر مي افتد. نوشتار حاضر با مروري اجمالي بر ادبيات کار در اين عرصه مي کوشد تاضمن ارائه تعريفي از اضطراب رياضي چگونگي تعامل ميان رفتار رياضي افراد و مقوله اضطراب رياضي را نشان دهد. واژگان کليدي : اضطراب ، اضطراب رياضي ، حافظه فعال ، سبک شناختي .

مقدمه نوشتار حاضر بر آن است تا چگونگي اثر بخشي حالات عاطفي و هيجاني را که از مؤلفه هاي شخصيت فرد است بر رفتار رياضي فرد مورد بررسي قرار دهد. متأسفانه به رغم جدي بودن تأثير عوامل رواني و هيجاني بر عملکرد علمي افراد ، به ويژه در علوم پايه واز جمله رياضيات ، مطالعه در خور توجهي در اين باره به زبان فارسي موجود نيست. در حالي که شناخت و کنترل عوامل ( دروني و بيروني ) پيش برنده يا بازدارنده فراگيران در ميدان فعاليت هاي رياضي مورد توجه والدين ، مربيان و پژوهشگران است .

تغيير حالت هاي رواني و برانگيختگي ها ي آشکار فراگيران در مقابله با وضعيت هاي مختلف آموزشي و يادگيري رياضيات ، به ويژه پژوهشگران آموزش رياضي را مصمم تر مي سازد تا تأثيرات هيجاني و برانگيختگي هاي رواني را بر رفتار رياضي يادگيرنده ها – خواه دانش آموز يا دانشجو – شناخته و براي کنترل علمي و عملي آن در پي چاره بر آيند.

در اين مقاله نگارنده با بررسي و مرور منابع در دسترس و توجه به واقعيت هاي موجود در امر تعليم و تربيت رياضيات کشور نکاتي را خاطر نشان مي کند. به منظور آشکار شدن ارتباط هاي ساختاري موضوع ابتدا رفتار رياضي تعريف مي شود.

رفتار رياضي 1: ناظر بر چگونگي بروز دانش رياضي فرد در موقعيت هاي مختلف است که تحت تأثير عوامل دروني و بيروني واقع مي شود. عوامل دروني و عوامل بيروني به ترتيب نقش بردارهاي تسهيل کننده و بازدانده رفتار رياضي را ايفا مي کنند ؛ شکل 1 تا حدودي اين عوامل را ترسيم مي کند. 1.Math behaviour به نظر مي رسد عوامل ارائه شده در شکل 1 مي توانند با اثر گذاري بر عملکرد رياضي فرد موجبات رشد يا بازدارندگي علمي او را فراهم آورند. در اين ميان هيجان ها به مثابه يک عامل دروني و مؤثر در ساختار شخصيتي هر فرد مورد بحث قرار مي گيرند ؛ با توجه به اين که جداسازي مقوله شناخت از فرآيند هاي عاطفي موجب خلط در بازتابش دقيق تجربه انساني مي شود ( اسکمپ ، 1989).

هيجان خوب است يا بد ؟ هيجان را معمولاً بي قراري فکر ، احساس و يا حالت تحريک شده عقلاني 2" تلقي مي کنند که مانند بسياري از مؤلفه هاي مربوط به طبيعت انسان و فعاليت هايش تنها در جريان رشد شخصيت و تفکر او شناخته مي شود. هيجان ها ممکن است مخل يا تسهيل گر جريان تفکر و رشد آدمي باشند ؛ که در صورت مخل بودن بايد اثر بخشي آنها را بر عملکرد فرد به دقت کنترل کرد و آن را کاهش داد ، به طور که به عاملي سودمند در خدمت پويايي انديشه و شخصيت آدمي در آيد. روان شناسان ( اسکمپ ، 1989) هيجان مؤثر در کارايي و کفايت افراد را به صورت زير تقسيم بندي مي کنند: الف ) فشار رواني ؛ ب)اضطراب ؛ ج) اطمينان د) ناکامي ؛ ه) ايمني – بي هراسي پنج مقوله فوق در نيل به هدف ها تأثير گذارند. در اين ميان اضطراب و فشار رواني جايگاه ويژه اي در آموزش و يادگيري رياضيات مدرسه اي و حتي دانشگاهي به خود اختصاص داده است .

به عبارتي ، دنياي رياضيات نيز از اين مشخصه عمده قرن بيستم ، يعني اضطراب ، بي نصيب نمانده است و به دليل ويژگي هاي خاص و طبيعي اين شاخه از دانش و معرفت بشري ، آسيب پذيري فراگيران را بيش از ساير شاخه ها ي علوم محتمل مي سازد. اينک قبل از پرداختن به اضطراب رياضي ، مناسب است که ابتدا تصويري روشن از مقوله اضطراب به طور کلي داشته باشيم . اضطراب چيست ؟ در متون روان شناسي اضطراب با معاني گوناگون به کار رفته است. به طور کلي اضطراب بيانگر حالت هيجاني نامطلوبي است که محصول فشار و کشمکش هاي رواني افراد مي باشد و مشخصه بارز آن ترس از وقوع حوادث آينده است . چنانچه اين ترس و تشويش مبهم و پراکنده بوده و وابسته به چيز معيني نباشد و يا به صورت افراطي در آيد آن را اضطراب نوروتيک گويند ( استات 1، 1990). Skep 2. Oxford Concise Dictionary1- .

هرگاه فرد در وضعيتي قرار گيرد که در رويارويي با مشکلات وخطرهاي احتمالي از اعمال توانايي هاي خود نامطمئن باشد ، آن گاه او مضطرب قلمداد مي شود. مانند رانندگي روي سطح لغزنده يا شرکت در امتحان رياضي و… اصولاً تمايل به انتظار ناخوشايند از نتيجه کارها يکي از ويژگي هاي افراد مضطرب است. به علاوه ، بنابر پژوهش هاي انجام گرفته ( اليس و هانت ، 1993) اضطراب و افسردگي به نحوي به يکديگر مربوطند ؛ به طوري که افراد افسرده غالباً مضطرب هستند.

نکته قابل توجه اينست که بسيارند کساني که به نحوي دچار اضطراب و عوارض ناشي از آن هستند ، در حالي که شناخت درستي از وضعيت رواني خويش ندارند و طبعاً در صدد بهبود آن بر نمي آيند. حال به طرح پرسش ها و عناوين بحث اصلي يعني فشار رواني واضطراب در آموزش و يادگيري رياضيات پرداخته مي شود.

1- اضطراب رياضي چيست ؟

2- وجود مقوله فشار رواني و اضطراب رياضي و تأثير هاي آن بر رفتار رياضي فراگيران تا چه اندازه اي واقعي و پذيرفتني است ؟

3- دانش رياضي معلمان ، والدين ، چگونه ممکن است ، فراگيران را در معرض ابتلا به پديده اضطراب رياضي قراد دهد ؟

4- اضطراب رياضي و تأثير آن بر فرآيند هاي شناختي و پردازش اطلاعات ، سبک هاي شناختي و يادگيري و طرحواره مفهومي چگونه است ؟

5- اضطراب رياضي و اطمينان رياضي چگونه با يکديگر مربوط هستند ؟

6- اضطراب رياضي و شيوه هاي آموزش در رياضيات .

7- اضطراب رياضي و جنس .

8- آزمون هاي اندازه گيري اضطراب رياضي .

9- شيوه هاي علمي کنترل وکاهش اضطراب رياضي به منظور بهره وري بيشتر و رشد رفتار رياضي .

اضطراب رياضي چيست ؟ اضطراب رياضي وضعيتي رواني است که به هنگام رويارويي با محتواي رياضي ، چه در موقعيت آموزش و يادگيري ، چه در حل مسائل رياضي و يا سنجش رفتار رياضي در افراد پديد مي آيد. اين وضعيت معمولاً توأم با نگراني زياد ، اختلال و نابساماني فکري ، افکار تحميلي وتنش رواني و در نتيجه ايست تفکر مي باشد.

اضطراب رياضي و تأثير آن بر رفتار رياضي يادگيرنده ها تا چه اندازه اي واقعي و پذيرفتني است ؟

اضطراب به طور کلي واضطراب رياضي به طور ويژه مي تواند ميزان حواس پرتي و هجوم افکار نامربوط را به ذهن افزايش دهد و با ايجاد اختلال در ساختار هاي ذهني و فرآيندهاي پردازش اطلاعات موجب تحريف ادراکات افراد از پديده ها و مقوله هاي رياضي شود. پژوهش هاي انجام گرفته درباره اضطراب وعملکرد افراد گواه نيرومندي بر اين واقعيت است که اضطراب ، افسردگي و به طور کلي فشارهاي رواني موجب کاهش رفتار مفيد و مؤثر اشخاص در مقابله با واقعيت هاي گوناگون مي شود ، به ويژه هنگامي که تکاليف خواسته شده داراي گام هاي فکري بيشتري باشند ( دارک ، ) باکستون 3( 1981) وجود اضطراب بالا در کلاس رياضي را به مثابه پديده اي خطرناک و بسيار مهم با تأثيرات دراز مدت مي پذيرد و بحث مي کند که چگونه هيجان هاي قوي ( از جمله اضطراب رياضي ) مي توانند موجب ايست توانايي و قدرت استدلال و نقصان در عملکرد مفيد فرد بشوند و اورا در دوري باطل گرفتار سازند. شکل زير نمايشگر دورهاي باطلي است که شخصي مضطرب در آنها گرفتار مي شود.
 

MOJTABA 77

عضو جدید
کاربر ممتاز
1- بنابر اين جانستون (1986) پيچيدگي يک تکليف يا گام هاي فکري آن (Z-demands) عبارت است از تعداد گام هايي که کم توان ترين دانش آموز ، بر اساس آموزش هاي قبلي اش براي حل موفقيت آميز يک تکليف ، طي مي کند.

2.Darke 3. Buxton کوتاه سخن ، دانش آموز درانجام فعاليت هاي رياضي دچار اضطراب شده در نتيجه نمي تواند درست بيانديشد و دانسته هاي خود را سازمان دهند ؛ از اين رو غالباً به کار و تلاش بيشتر مي پردازد ؛ در حالي که اين تلاش زياد يادگيري معنا دار مفاهيم رياضي را براي او به همراه ندارد.

بدين ترتيب با گرفتار شدن در ا ين دور دچار نااميدي وافسردگي مي شود و بيم و نگراني از عدم موفقيت در امتحان ، ميزان اضطراب رياضي او را به گونه اي چشمگير افزايش مي دهد و آنگاه دورهاي باطلي مانند (شکل 2) همزمان و هماهنگ رخ خواهند داد. لئون 1(1992) اضطراب رياضي را به مثابه عاملي مي داند که موجب اجتناب از رياضي مي شود و معتقد است که ميزان اضطراب رياضي با زمينه دانش رياضي و پيشرفت رياضي فرد ارتباطي معکوس و با اجتناب از رياضي ارتباطي مستقيم دارد.

به علاوه ، او خاطر نشان مي سازد که موفقيت در يک درس رياضي لزوماً موجب کاهش اضطراب رياضي در فرد يادگيرنده نخواهد شد. 1.Leon از سوي ديگر در برخي پژوهش ها ( مانند کلوت 1، 1984) ارتباط بين اضطراب رياضي و پيشرفت رياضي نشان داده شده است ؛ به گونه اي که پيشرفت بالا و مطلوب در رياضيات را مرتبط با اضطراب اندک فراگيران دبيرستاني تا دانشگاهي دانسته اند.

بنابر اين ميزان سطح اضطراب رياضي در افراد مي تواند به عنوان عامل پيش بيني کننده در پيشرفت رياضي آنان به شمار آيد. اصولاً فرد مضطرب ، افسرده و کم انگيزه است و براي انجام تکليف هاي پيچيده تر رياضي که نيازمند گام هاي فکري بيشتر مي باشد از قابليت هاي کمتري برخوردار است ؛ زيرا بر اساس قانون پذيرفته شده يرکز – دادسون 2 " بهترين ميزان انگيزه براي حل يک تکليف ، حد متوسط پيچيدگي در تکليف است " يعني پيچيدگي کم يا پيچيدگي زياد با ميزان انگيزه همبستگي منفي دارند ، اما پيچيدگي در حد متوسط با ميزان انگيزه همبستگي مثبت نشان مي دهند.

دانش رياضي ، معلمان و والدين ، چگونه ممکن است فراگيران را در معرض ابتلا به بيماري اضطراب رياضي قرار دهند ؟ برخي از پژوهشگران ( کلوت ، 1984) نوعي اضطراب معتدل را براي انجام فعاليت هاي مختلف از جمله رفتار رياضي مناسب و ضرور مي دانند ومعتقدند که افراد با اضطراب پايين در عرصه کار و يادگيري به طور کلي دچار نوعي خونسردي وبي تفاوتي هستند تا جايي که اين اضطراب ملايم هرگز موجبات پيشرفتشان را فراهم نخواهد آورد.

هر چند که اضطراب کنترل شده و معتدل لازمه پويايي حيات بشر و مقوله اي طبيعي براي نيل به هدف ها و تکامل بشر است ، اما سخن از اضطراب بالا يا اضطراب مرضي است که مخل جريان تفکر سالم و رشد يابنده در فرد مي باشد و به صورت مانعي جدي در برابر فعاليت هاي علمي او قرار مي گيرد. چنانچه اضطراب را به مثابه عاملي اجتناب ناپذير در عرصه آموزش و يادگيري رياضيات بدانيم ، بدون ترديد بسياري از فراگيران دچار عجز و ناتواني در عملکرد رياضي خود خواهند شد.

1.Clute 2.Yarkes-Dodson از سوي ديگر طبيعت دانش رياضي و امکان تحقق يادگيري غير معنادار براي فراگيران ، نگرش هاي غير علمي وتعليم و تربيت در رياضيات واعمال فشارهاي ناسازگار با ظرفيت هاي عقلاني فراگيران ، عدم توجه به تفاوت هاي فردي و سبک هاي يادگيري آنها و مشارکت هاي مؤثر در کار ، چگونگي ونوع اقتدار علمي واخلاقي و شخصيتي معلمان در ايجاد روابط متعادل وعدم اعتماد متقابل در کلاس درس رياضي ، هراس هاي ناشي از عدم توفيق در امتحان و انتظارهاي نابجاي والدين از فرزندان ، در شمار عواملي هستند که مي توانند موجبات بروز پديده اضطراب رياضي را در افراد فراهم آورند و احساس رضايت از فعاليت هاي رياضي را به ناخرسندي و نفرت مبدل کنند. کورنو1( 1991) با طرح ايده موانع شناختي ، به مثابه عوامل شناختي ، به مثابه عوامل بازدارنده در فعاليت هاي رياضي ، معتقد است که با درک آن موانع مشکلات دانش اندوزان در فرآيند يادگيري بهتر شناسايي و طبعاً راهبردهاي آموزشي لازم فراهم مي آيد . اين موانع عبارتند از :

1- موانع ژنتيکي و روان شناختي که محصول ساختمان ذهني سني خاص است و با تحول شناختي و تغيير مراحل قابل رفع است.

2- موانع آموزشي که در نتيجه طبيعت شيوه آموزشي و شخصيت معلم را برنامه هاي درسي رخ مي دهند.

3- موانع معرفت شناسي که در نتيجه طبيعت خود مفاهيم و مقوله هاي رياضي روي مي دهند. بديهي است که معلمان و برنامه ريزان رياضي با شناخت عوامل سه گانه پيش گفته و يافتن راه هاي غلبه بر آنها مي توانند به ميزان قابل ملاحظه اي کشمکش هاي شناختي و فکري موجود در ساختار ذهني يادگيرندگان را ، که گاه در بروز اضطراب رياضي مؤثر مي افتند ، کاهش دهند و بستري مناسب را براي يادگيري معنادار مفاهيم و مهارت هاي رياضي فراهم آورند.

1.Curno 2. didactical 3. epistemological اضطراب رياضي و تأثير آن برفرآيند هاي شناختي و پردازش اطلاعات ، حافظه ، سبک هاي شناختي و يا طرحواره هاي مفهومي. بر اساس پژوهش هاي انجام گرفته ، حالات هيجاني مانند فشارهاي رواني ، اضطراب وافسردگي مي توانند نقشي مهم در فرآيند هاي شناختي و حافظه ايفا کنند. اليس1( 1993) و ولز 2(1994) معتقدند که در سطح شناختي اضطراب در تقابل با نقش مؤثر حافظه قرار مي گيرد ؛ به طوري که فراگيران مي کوشد تا يک مفهوم رياضي يا يک ايده کليدي را در حل معادلات درجه دوم و… به خاطر بسپارد . ولي هنگامي که او دچار اضطراب غير معمول رياضي باشد ، اين يادگيري وبه خاطر سپاري را به مراتب دشوارتر مي يابد. در حقيقت فراگيران در موقعيت هاي آموزشي تحت فشار قرار مي گيرند تا مطالب را بفهمند ( يادگيري معنا دار) يا يادگيري طوطي وار ( غير معنادار ) را دنبال کنند.

بنابر اين افراد مضطرب با مانعي پيچيده تر که نتيجه اي از اضطراب رياضي و يادگيري طوطي وار است ، روبه رو خواهند بود. فراگيران در يادگيري و آموزش رياضي بيشتر تحت فشار هستند که بفهمند تا به خاطر بسپارند . اما بايد توجه داشت که فهم معنادار مفاهيم رياضي به معني رد و نفي به کارگيري حافظه ونقش مؤثر آن در چگونگي پردازش اطلاعات نمي شود ، بلکه فهميدن محصول تلاش مؤثر حافظه فعال 3 يا ظرفيت عقلاني و حافظه دراز مدت در نظريه پردازش خبر 4( IPT) است که دسترسي فرد را به دانسته هايش در شرايط و موقعيت هاي مختلف بهتر فراهم مي آورد.

در هر حال " فهميدن " جانشيني براي حافظه نيست . در عين حال دسترسي به کدهاي اطلاعاتي قابل ذخيره شده در حافظه دراز مدت نيز موضوعي است که با نظريه به هر (IPT) تبيين است. حال ممکن است فرد زنجيره اي از ايده هاي به هم پيوسته رياضي را بفهمد ومهارت هايي را نيز بياموزد ، ولي با گذشت زمان آنها را از ياد ببريد.

در اين ميان اضطراب رياضي و شرايط دلهره آور کلاس و امتحان رياضي طبعاً موجب اختلال نظم و انسجام فکري و مختل شدن فرآيند پردازش اطلاعات و نقش مؤثر حافظه در دانش آموز مي شود تا جايي که وي گاه بديهيات و مسائل ابتدايي را نيز به ياد نمي آورد. 1.Ellis 2.Wells 3.Working memory 4.Information Processing Theory به علاوه به نظر مي رسد ، که افراد با اضطراب رياضي بالا کمتر قادرند تا از حافظه 7 فعال يا ظرفيت محاسبه مرکزي خود که پردازش 2 قطعه خبري واطلاعاتي را در هر لحظه برعهده دارد ، به نحو مطلوبي بهره گيري کند. در واقع به جاي انديشه هاي سازمان يافته و مربوط افکار مزاحم و نامربوط ناشي از نگراني ها و اضطراب ها ، بخش مهمي از ظرفيت عقلاني و توانايي پردازش اطلاعات را تحت تأثير قرار مي دهند وموجبات نقصان بازدهي و ضعف عملکرد علمي را فراهم مي آورند. در بررسي ارتباط بين سبک هاي شناختي و اضطراب هر چند کار چنداني انجام نشده است ، ولي هادفيلد 1( 1986) معتقد است که اضطراب بالاتر در ميان افراد ميدان وابسته * بيشتر اتفاق مي افتد تا در ميان گروه هايي با سبک شناختي ميدان ناوابسته . در عين حال مطالعات زيادي لازم است تا بررسي شود که چگونه اضطراب رياضي با سبک هاي شناختي افراد و نيز فرايند هاي پردازش اطلاعات علمي و استفاده از ظرفيت هاي عقلاني آنان در تعامل قرار مي گيرد. اضطراب رياضي و اطمينان رياضي پژوهش هاي بسياري نشان داده اند که ارتباط معنا داري بين اعتماد به توانايي يادگيري رياضي ( اطمينان رياضي ) با پيشرفت در رياضيات وجود دارد (ولز، 1994) ، به طوري که افراد با اطمينان بالاي رفتار رياضي مطلوبي دارند. فنما و شرمن 2( 1976) نشان داده اند که اضطراب رياضي با اطمينان رياضي ارتباطي نيرومند ولي منفي دارد.
 
Similar threads
Thread starter عنوان تالار پاسخ ها تاریخ
پیرجو ·▪• کتاب های خواندنی در زمینه ریاضیات ●•▪· ریاضی 20
nice_Alice مقالات جالب ریاضی ریاضی 3

Similar threads

بالا