تقسيم دايره

Amirali_31

عضو جدید
کاربر ممتاز
nنقطه روي دايرهاي در نظر بگيريد ، سپس تمامي وترهاي حاصل از به هم وصل كردن اين نقاط را رسم كنيد. در رسم وترها يك شرط قرار ميدهيم : سه وتر در داخل دايره از يك نقطه نميگذرند.
سوال : تعداد نواحي توليد شده در داخل دايره چند تا است؟
به عنوان مثال، 2 نقطه، دايره را به 2 ناحيه تقسيم ميكند. 3 نقطه، آن را
به 4 ناحيه و 4 نقطه آن را به 8 ناحيه تقسيم ميكند. مانند شكلهاي زير:
اگر تعداد نقاط تقاطع وترها(با يكديگر و با دايره) باشد آن گاه با توجه به شكل هاي فوق داريم : 2=(2) V و 3=(3)V و 5=(4)V .

اما را چگونه محاسبه كنيم؟
ابتدا نقاط را شماره گذاري مي كنيم . براي اين منظور نقطه ي دلخواهي را با 1 نمايش داده و بقيه را در جهت حركت عقربه هاي ساعت به ترتيب با 2 ،3،...،n مانند شكل زير شماره گذاري مي كنيم . اكنون به ترتيب زير عمل مي كنيم :



ابتدا نقطهي 1 را به همهي نقاط ديگر وصل ميكنيم.در اين مرحله تعداد نقاط تقاطع برابر n است . (همان n نقطه ي روي دايره ) .
نقطهي 2 را به نقاط 2<j وصل ميكنيم ، زماني كه از 2 به 4 وصل ميكنيم، يك نقطهي تقاطع به دست ميآيد(وتر 24 وتر 13 را قطع مي كند ) و زماني كه از 2 به 5 وصل ميكنيم، دو نقطهي تقاطع به دست ميآيد(وتر 25 وترهاي 13و 14 را قطع مي كند) اگر اين روند را ادامه دهيم تعداد نقاط تقاطع به دست آمده برابر است با: .
اكنون نقطهي 3 را به نقاط 3<j وصل مي كنيم، زماني كه از 3 به 5 وصل مي كنيم ،دو نقطه ي تقاطع به دست مي آيد (وتر 35 وترهاي 14 و 24 را قطع مي كند ) و زماني كه از 3 به 6 وصل مي كنيم ، چهار نقطه ي تقاطع به دست مي آيد (وتر 36 وترهاي 14و 15 و 24 و 25 را قطع مي كند ) اگر اين روند را ادامه دهيم تعداد نقاط تقاطع به دست آمده برابر است با:
در حالت كلي اگر نقطهي i ام را به نقاط j>i وصل كنيم، تعداد نقاط تقاطع به دست آمده برابراست با :
بنابراين خواهيم داشت :



با توجه به اين كه :

آن گاه خواهيم داشت : .
 

Amirali_31

عضو جدید
کاربر ممتاز

براي ادامه ي كار به دو تعريف نياز داريم :
تعريف گراف مسطح: گراف G را مسطح مينامند هرگاه بتوان آن را در صفحه چنان رسم كرد كه يال هايش فقط در رأسهاي G يكديگر را قطع كنند.
تعريف گراف همبند : گراف G را همبند مي نامند هرگاه بين هردو راس متمايز آن مسيري وجود داشته باشد .
چون شكلي كه از رسم وترها به دست مي آيد ، يك گراف مسطح و همبند با رأس است ،با توجه به فرمول اويلر خواهيم داشت : كه در آن، تعداد يال هاي اين گراف و تعداد نواحي در صفحه است كه گراف فوق به وجود ميآورد.

نكته :در گراف مسطح و همبند : كه در آن مجموع درجات رئوس گراف با E يال است.
هر كدام از n راس روي دايره از درجهي 1+n و بقيه ي رئوس كه محل تقاطع وترها هستند، از درجه ي 4 مي باشند .(چون هر رأس درون دايره، محل تقاطع 2 وتر است) به عنوان مثال براي 4=n ، درجه ي هر كدام از رأسهاي روي دايره برابر با 5 و راس درون دايره از درجه ي 4 است .



چون تعداد راس هاي درون دايره برابر : است ، بنابراين با استفاده از نكته داريم:



در فرمول اويلر، تعداد نواحي صفحه است كه توسط گراف G به وجود ميآيد پس در محاسبه ي خود براي تعيين تعداد نواحي داخل دايره كه با نمايش مي دهيم ، بايستي ناحيهي بي كران خارج از دايره را از كم كنيم ولذا خواهيم داشت : .
بنابراين با استفاده از روابط فوق داريم:


بنابراين توانستيم فرمولي براي تعداد نواحي در داخل دايره به دست آوريم.

حال فرمول بالا را امتحان ميكنيم:



 
بالا