انتگرال چندگانه

[hts1369]

سلام بر دوستان
یه انتگرال دوگانه داشتم خودم حلش کردم و شکلش رو هم کشیدم میخواستم ببینم درسته (اگه درسته چرا وقتی دو تا انتگرال رو با برنامه های کامپیوتری (مثله Maple یا Mathematica 7 ) میزنم جواب نمیده؟؟؟ (دوستان بی زحمت این انتگرال که تو خط اول نوشتم رو اگه میشه با متلب هم امتحان کنن ببینن جواب میده-من متلب بلد نیستم)
s1 برای انتگرال اول در خط اول و s2 محدوده ی انتگرال دوم در خط اول رو نشون میده

 

[?Why]

خوب اون بیچاره ها چجوری باید بفهمن که حدودِ انتگرال رو باید عوض کنن ... ؟
با اون حدود نمیشه حلش کرد دیگه ...

جوابت درسته .

 

[hts1369]

دستت درد نکنه ولی تو بعضی انتگرالها که باید حدود انتگرالگیری رو عوض کنیم تا انتگرال قابل حل شدن باشه خودش این کارو میکنه مثله این انتگرال که پایین گذاشتم و جواب رو (که 2 هست) رو میده

 

[?Why]

دستت درد نکنه ولی تو بعضی انتگرالها که باید حدود انتگرالگیری رو عوض کنیم تا انتگرال قابل حل شدن باشه خودش این کارو میکنه مثله این انتگرال که پایین گذاشتم و جواب رو (که 2 هست) رو میده

!
من دقیقاً نمیدونم روش و الگوریتمی که این نرم افزارها برایِ حل استفاده میکنن چی هستش ...
ولی احتمال میدم اگه نرم افزاری اینو بتونه حل بکنه ، احتمالاً به خاطرِ شهرتِ خیلی زیادِ این انتگرالِ خاصِه ...

به نظرم نوشتن برنامه ای که تشخیص بده که حدودِ انتگرال رو عوض کنه ، کارِ سختی باید باشه !

یه کاری میتونیم بکنیم ...
یه انتگرال دیگه که نیاز به تغییر حدود داره رو امتحان کن ببین میتونه حل کنه ؟
مثلِ این :

 

[hts1369]

انتگرالی که شما داده بودی رو زدم جواب داد
این شد جوابش

البته اون توان 2 ماله سینوس هست نه ماله چهار (mathematica اینجوری نشونش میده)
این سه تا رو هم زدم جواب همه رو داد

 

[?Why]

انتگرالی که شما داده بودی رو زدم جواب داد
این شد جوابش

البته اون توان 2 ماله سینوس هست نه ماله چهار (mathematica اینجوری نشونش میده)
این سه تا رو هم زدم جواب همه رو داد

درسته ...

نه بابا ... مثِ اینکه واقعاً علم پیشرفت کرده ها ...

وجه اشتراکِ همه ی این انتگرالهای اخیر (که وجهِ تمایزشون با انتگرال اول هم هست) اینه که تو "یک" ناحیه هستن و همچنین ناحیه انتگرال گیری "نصبت به x و y منظم" هست ...
پس احتمالاً به خاطرِ این نتونسته اولی رو حل کنه که تغییر حدود ، برایِ هر کدوم جداگونه ، کمکی به حلِ مساله نخواهد کرد ...

دیگه خداییش عقلش نمیرسه که دو تا ناحیه رو یکی کنه و یه محدوده ی جدید واسه انتگرال بنویسه ... میرسه ؟

میگم یه مثالِ نقض واسه این حدسِ آخری بیار ، بازم ضایمون کن بخندیم دورِ هم ... اونوقته که میفهمیم دیگه علم خیلی پیشرفت کرده و ما وقتمون رو واسه ریاضی یاد گرفتن تلف کردیم ...

 

[meytim]

جواب متلب

جواب متلب

سلام بر دوستان
یه انتگرال دوگانه داشتم خودم حلش کردم و شکلش رو هم کشیدم میخواستم ببینم درسته (اگه درسته چرا وقتی دو تا انتگرال رو با برنامه های کامپیوتری (مثله Maple یا Mathematica 7 ) میزنم جواب نمیده؟؟؟ (دوستان بی زحمت این انتگرال که تو خط اول نوشتم رو اگه میشه با متلب هم امتحان کنن ببینن جواب میده-من متلب بلد نیستم)
s1 برای انتگرال اول در خط اول و s2 محدوده ی انتگرال دوم در خط اول رو نشون میده

جواب با متلب:

>> syms x y
>> a=y*sin(pi*x/2)/x^4;
>> I=int(int(a,x,1,2),y,0,1)+int(int(a,x,sqrt(y),2),y,1,4);
>> I=simplify(I)
 
I =
 
1/pi
 
 
>>

 

[miniyator460]

سلام
میتونین سایت یا کتابی بهم معرفی کنید برای اینکه انتگرال رو از اول توش توضیح داده باشه و همینطور مبحث دنباله ها وسری ها؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

 

[?Why]

جواب با متلب:

>> syms x y
>> a=y*sin(pi*x/2)/x^4;
>> I=int(int(a,x,1,2),y,0,1)+int(int(a,x,sqrt(y),2),y,1,4);
>> I=simplify(I)
 
I =
 
1/pi
 
 
>>

آخ دستت درد نکنه ... فقط یه خورده زودتر میومدی که ما اون دُر افشانی ها رو نمیکردیم حداقل ...

مهندس ، اگه اطلاعاتی داری ، کنجکاوم بدونم چجوریه که اینجوریه ...
ینی مثلاً متلب ، چطور اینو حل میکنه ؟
همین روشهایی هست که ما میشناسیم یا مثلاً حلِ عددی ای! ... چیزی داره ؟ (یا یه بانکِ اطلاعتیِ بزرگ ؟ )

اگه هر کدوم از این انتگرال ها رو جدا جدا بدیم هم جواب میده ؟
(میدونم به جایِ این سوال بهتره خودم برم Matlab نصب کنم و خودم امتحان کنم ... تنبلیه دیگه ... شما زحمتشو بکش)
ممنون ...

 

[hts1369]

جواب با متلب:

>> syms x y
>> a=y*sin(pi*x/2)/x^4;
>> I=int(int(a,x,1,2),y,0,1)+int(int(a,x,sqrt(y),2),y,1,4);
>> I=simplify(I)
 
I =
 
1/pi
 
 
>>

دستت درد نکنه خیلی ممنون

سلام
میتونین سایت یا کتابی بهم معرفی کنید برای اینکه انتگرال رو از اول توش توضیح داده باشه و همینطور مبحث دنباله ها وسری ها؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

کتابهای حساب دیفرانسیل انتگرال مثله لیتهلد , توماس, اپوستل ,استوارت , ادامز , سیلورمن و ...
تمام این کتابها مباحث مربوط به انتگرال و سریها رو دارن

 

[hts1369]

سلام دوباره
این انتگرال دوگانه رو دادن و گفتن تو مختصات قطبی حلش کنید

وقتی حدود انتگرالگیری رو میکشیم میبینیم که یه مثلثه

اندازه ی تتا بین صفر تا 45 هست ولی برای حدود r چه چیزی رو میشه گفت؟
بیشترین مقدار r ازفیثاغورس بدست میاد ولی نمیدونم باید چه جوری حلش کنم.
ممنون میشم راهنمایی کنید.

 

[hts1369]

نبود؟؟
چرا دوستان جواب نمیدن؟

 

[?Why]

نبود؟؟
چرا دوستان جواب نمیدن؟

!

تو مختصات قطبی ، به جایِ x باید بذاری (r*cos(teta ...
ینی a مساویست با (r*cos(teta پس r مساوی میشه با a تقسیم بر (cos(teta

ولی من هنوز تو کفِ اون حرکتِ متلبم ... !

 

[meytim]

سلام دوباره
این انتگرال دوگانه رو دادن و گفتن تو مختصات قطبی حلش کنید

وقتی حدود انتگرالگیری رو میکشیم میبینیم که یه مثلثه

اندازه ی تتا بین صفر تا 45 هست ولی برای حدود r چه چیزی رو میشه گفت؟
بیشترین مقدار r ازفیثاغورس بدست میاد ولی نمیدونم باید چه جوری حلش کنم.
ممنون میشم راهنمایی کنید.

پرتو راهنما رو از مبدأ به سمت ضلع قائم مثلث بگیر:

​

 

[hts1369]

!

تو مختصات قطبی ، به جایِ x باید بذاری (r*cos(teta ...
ینی a مساویست با (r*cos(teta پس r مساوی میشه با a تقسیم بر (cos(teta

ولی من هنوز تو کفِ اون حرکتِ متلبم ... !

سلام دستت درد نکنه
توی متمتیکا هم جواب میده ولی باید از دستور simplify که دوستمون توی متلب ازش استفاده کرده بود استفاده کنیم
من دیشب از این دستور استفاد کردم و متمتیکا هم همون جواب رو داد.

 

[hts1369]

سلام بر دوستان
میخواستم ببینم من این انتگرال رو درست حل کردم.

توی شکل مربوط به انتگرال که کشیدم یه جا رو با s نشون دادم و از اون به عنوان حدود انتگرال گیری استفاده کردم و یه قسمت رو که توی ربع سوم هست و با رنگ سیاه نشونش دادم رو حساب نکردم.میخوام ببینم باید اون ناحیه رو هم حساب کرد و اگه جواب مثبته میشه جواب اخر رو دو برابر کرد یا نه باید توی اون قسمت هم حدود انتگرال گیری رو بدست بیارم و انتگرال رو حساب کنم.
ممنون که وقت میزارید.

 

[meytim]

سلام بر دوستان
میخواستم ببینم من این انتگرال رو درست حل کردم.

توی شکل مربوط به انتگرال که کشیدم یه جا رو با s نشون دادم و از اون به عنوان حدود انتگرال گیری استفاده کردم و یه قسمت رو که توی ربع سوم هست و با رنگ سیاه نشونش دادم رو حساب نکردم.میخوام ببینم باید اون ناحیه رو هم حساب کرد و اگه جواب مثبته میشه جواب اخر رو دو برابر کرد یا نه باید توی اون قسمت هم حدود انتگرال گیری رو بدست بیارم و انتگرال رو حساب کنم.
ممنون که وقت میزارید.

دامنه انتگرالگیری:

​

 

[hts1369]

شرمنده یه توضیح میدی چطور شد اینطور شد.

 

[meytim]

شرمنده یه توضیح میدی چطور شد اینطور شد.

روش سوم به طور نادقیق (مطابق مثلثات دوم دبیرستان، و توجه به اینکه تابع تانژانت یک تابع اکیداً یکنواست):

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x>0: \frac{1}{\sqrt{3}}\leqslant \frac{y}{x}\leqslant \sqrt{3}\Rightarrow \frac{\pi }{6}\leqslant tan(\frac{y}{x})\leqslant \frac{\pi }{3}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x<0: \frac{1}{\sqrt{3}}\geqslant\frac{y}{x}, \frac{y}{x}\geqslant\sqrt{3}\Rightarrow\frac{\pi}{6}\geqslant tan(\frac{y}{x}), tan(\frac{y}{x})\geqslant\frac{\pi}{3}
​

روش دوم (مطابق ریاضیات جدید سوم دبیرستان): بعد از اینکه اون دو تا دایره و دو تا خط مرزی رو کشیدید، توی هر کدوم از اون ناحیه ها یک نقطه در نظر بگیرید و در اون نامساویها بگذارید، اگه صدق کرد، اون ناحیه جزو دامنه انتگرالگیری هست، وگرنه نیست.

روش اول (مطابق جبر اول دبیرستان): مثل روش دوم، مرزها رو مشخص کنید و با پیدا کردن اشتراک بین نواحی، دامنه انتگرالگیری رو پیدا کنید.

 

[?Why]

روش سوم به طور نادقیق (مطابق مثلثات دوم دبیرستان، و توجه به اینکه تابع تانژانت یک تابع اکیداً یکنواست):

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x>0: \frac{1}{\sqrt{3}}\leqslant \frac{y}{x}\leqslant \sqrt{3}\Rightarrow \frac{\pi }{6}\leqslant tan(\frac{y}{x})\leqslant \frac{\pi }{3}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x<0: \frac{1}{\sqrt{3}}\geqslant\frac{y}{x}, \frac{y}{x}\geqslant\sqrt{3}\Rightarrow\frac{\pi}{6}\geqslant tan(\frac{y}{x}), tan(\frac{y}{x})\geqslant\frac{\pi}{3}
​

روش دوم (مطابق ریاضیات جدید سوم دبیرستان): بعد از اینکه اون دو تا دایره و دو تا خط مرزی رو کشیدید، توی هر کدوم از اون ناحیه ها یک نقطه در نظر بگیرید و در اون نامساویها بگذارید، اگه صدق کرد، اون ناحیه جزو دامنه انتگرالگیری هست، وگرنه نیست.

روش اول (مطابق جبر اول دبیرستان): مثل روش دوم، مرزها رو مشخص کنید و با پیدا کردن اشتراک بین نواحی، دامنه انتگرالگیری رو پیدا کنید.

نمیدونم والا
ولی x و y ، یا جفتشون مثبت باید باشن یا منفی ...
فقط تو ناحیه ی 1 و 3 هستیم ...
وقتی x منفی در نظر گرفته بشه ، y هم منفی میشه و بدین ترتیب ، جهتِ نامساویها عوض نخواهد شد ...

 

[meytim]

نمیدونم والا
ولی x و y ، یا جفتشون مثبت باید باشن یا منفی ...
فقط تو ناحیه ی 1 و 3 هستیم ...
وقتی x منفی در نظر گرفته بشه ، y هم منفی میشه و بدین ترتیب ، جهتِ نامساویها عوض نخواهد شد ...

از تقسیم دو طرف یک نامساوی بر یک عدد منفی جهت نامساوی عوض می شود (جبر اول دبیرستان)؛ در اینجا علامت y هیچ اهمیتی ندارد.

 

[?Why]

ببینید من میخوام اینجوری بنویسم ....


الان این مشکلش چیه؟

hts1369 فقط به اون "یا" توجه کن و توجه کن که "و" نیست ... یا این یکی ، یا اون یکی ... دو برابر کردنی هم در کار نیست ... مگه داری مساحت حساب میکنی ؟

meytim عزیز ، درباره علامت x , y که تو پستِ قبلی گفتم ... یه چیز دیگه هم اضافه کنم که چطور میشه ناحیه ای داشت که "همزمان" از 60 بیشتر باشه و از 30 کمتر ؟

 

[hts1369]

عجب سوالی بوده ها
من متاسفانه حل این سوال رو ندارم و گرنه میزاشتم.
راستی دوستمون اقای meytim نرم افزاری وجود نداره که ما معادله های نمودارهامون رو بدیم و حجم تابعی که میخواهیم رو بده. (نمیدونم تونستم منظورم رو درست بیان کنم)

 

[meytim]

ببینید من میخوام اینجوری بنویسم ....

مشاهده پیوست 83075
الان این مشکلش چیه؟

hts1369 فقط به اون "یا" توجه کن و توجه کن که "و" نیست ... یا این یکی ، یا اون یکی ... دو برابر کردنی هم در کار نیست ... مگه داری مساحت حساب میکنی ؟

meytim عزیز ، درباره علامت x , y که تو پستِ قبلی گفتم ... یه چیز دیگه هم اضافه کنم که چطور میشه ناحیه ای داشت که "همزمان" از 60 بیشتر باشه و از 30 کمتر ؟

من سه روش ابتدایی در حد دبیرستان رو براتون نوشتم (همونطور که قبلاً هم نوشتم، روش سوم به طور نادقیقه)؛ مشکل از همین نادقیق بودن به وجود اومد. بعضی از حرفهای شما درسته و در مورد دامنه انتگرالگیری حق با شماست؛ من سه روش نوشتم اما انجام ندادم. الآن انجام دادم. مرسی.

 

[?Why]

من سه روش ابتدایی در حد دبیرستان رو براتون نوشتم (همونطور که قبلاً هم نوشتم، روش سوم به طور نادقیقه). اگر درک روش سوم براتون سخته دو روش دیگر رو امتحان کنید. اگه باز هم به نتیجه نرسیدید، بگید تا روش چهارم رو (مطابق جبر سوم ریاضی) براتون بنویسم.

 

[hts1369]

سلام بر دوستان عزیز
یکی از دوستان اینجوری حلش کرده (تو انجمن پی سی ورد)

 

[meytim]

راستی دوستمون اقای meytim نرم افزاری وجود نداره که ما معادله های نمودارهامون رو بدیم و حجم تابعی که میخواهیم رو بده. (نمیدونم تونستم منظورم رو درست بیان کنم)

فکر کنم باشه اما من اطلاع ندارم.

 

[meytim]

یه اصلاحاتی رو در نوشته های قبلیم اعمال کردم؛ لطفاً از نو بخونید.

 

[rezareza00]

مبحث انتگرال چند گانه به نظر من در این صفه ی ویکی پدیا بسیار خوب توضیح داده شده
http://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_integral