ابزار ریاضی و اصول موضوعه‌ی مکانیک کوانتومی

P O U R I A

مدیر مهندسی شیمی مدیر تالار گفتگوی آزاد
مدیر تالار
1- نمایش ماتریسی در پایه‌های پیوسته

در مقاله‌ی قبل کت‌ها، براها و عملگرها در یک پایه‌ی گسسته، با ماتریس‌های گسسته نمایش داده شد. در این‌جا نشان داده می‌شود که نمایش این کمیت‌ها در یک پایه‌ی پیوسته، با استفاده از ماتریس‌های پیوسته انجام می‌گیرد.

شرط تعامد- بهنجارشِ کت‌های پایه‌ی مربوط به پایه‌ی پیوسته‌ی
، با تابع دلتای پیوسته‌ی دیراک بیان می‌شود


(1)



در رابطه‌ی فوق k یک پارامتر پیوسته و ( (k'-k)δ تابع دلتای دیراک است (همانطور که در مقاله قبل گفته شد، در پایه گسسته شرط تعامد-بهنجارشِ کت های پایه به صورت است که دلتای کرونیکر است).


به همین ترتیب شرط تمامیت این پایه‌ی پیوسته، با انتگرال‌گیری روی متغیرهای پیوسته داده می‌شود:

(2)



که در آن
عملگر واحد است (با توجه به مقاله قبل شرط تمامیت روی پایه گسسته به صورت
است).


هر بردار حالت
را می‌توان بر حسب مجموعه‌ی کامل کت‌های پایه
بسط داد:


(3)



برابر است با
و بیانگر تصویر
روی
می‌باشد.

 

P O U R I A

مدیر مهندسی شیمی مدیر تالار گفتگوی آزاد
مدیر تالار

با توجه به آنچه که در مقاله‌ی قبل گفته شد، نمایش ماتریسی کت‌ها، براها و عملگرها در پایه‌های گسسته را به راحتی می‌توان برای پایه‌های پیوسته تعمیم داد. برای نمونه، «کت»
با یک ماتریس ستونی نمایش داده می‌شود؛ این ماتریس از سطرها
های پیوسته و نامتناهی تشکیل می‌شود:

(4)



به همین ترتیب «برا» نیز با یک ماتریس سطری شامل عناصر نامتناهی و پیوسته، نشان داده می‌شود:



(5)


عملگرها نیز با ماتریس‌های مربعی که از بی‌نهایت سطر و ستون تشکیل شده‌اند، تعریف می‌شوند:

(6)







2- مکانیک ماتریسی و مکانیک موجی


نظریه‌ی مکانیک کوانتومی اساساً با حل یک معادله‌ی ویژه مقداری سروکار دارد:


(7)
 

P O U R I A

مدیر مهندسی شیمی مدیر تالار گفتگوی آزاد
مدیر تالار
این معادله، معادله‌ی شرودینگر نامیده می‌شود. معادله‌ی شرودینگر یک معادله‌ی کلی است و به دستگاه مختصات و یا نمایش خاصی تعلق ندارد. مکانیک ماتریسی را هایزنبرگ و مکانیک موجی را شرودینگر ارائه داد و با توجه به ساده شدن مسئله یکی از این دو رهیافت انتخاب می شود.

از نظر تاریخی، ابتدا هایزنبرگ فرمول‌بندی ماتریسی مکانیک کوانتومی را ارائه کرد و اندکی پس از آن، شرودینگر نظریه‌ی موجی خود را معرفی نمود. این دو فرمول‌بندی علاوه بر ظاهر متفاوتی که دارند، معادل یکدیگرند و در نهایت به نتیجه‌ی واحدی یعنی طیف انرژی و حالت‌های سیستم‌های کوانتومی یکسان، منجر می‌شوند.


-1- مکانیک ماتریسی

از نمایش مکانیک کوانتومی در پایه‌ی گسسته
یک معادله‌ی ویژه مقداری ماتریسی حاصل می شود که در زیر نشان داده شده است: (8)



که یک معادله‌ی مرتبه‌ی Nام برحسب E است و جواب‌های آن طیف انرژی سیستم را به دست می‌دهد: E1،E2،E3و...EN با دانستن مجموعه‌ی ویژه مقادیر انرژی به سادگی می‌توان مجموعه‌ی ویژه بردارهای مربوطه را
تعیین کرد: این دستورالعمل که توسط هایزنبرگ ارائه شد، فقط در مورد کمیت‌های ماتریسی مانند ترازهای انرژی در اتم‌ها، موقعیت، تکانه‌ی خطی، تکانه زاویه‌ای و ... کاربرد دارد. این فرمول‌بندی مکانیک کوانتومی به عنوان مکانیک ماتریسی شناخته می‌شود.


2-2- مکانیک موجی

نمایش فرمول‌بندی مکانیک کوانتومی در یک پایه‌ی پیوسته به شکل یک معادله‌ی ویژه مقداری دیفرانسیلی می‌باشد. معادله‌ی شرودینگر در فضای مکان، به صورت زیر است:


(9)



هامیلتونی در نمایش موقعیت با



(10)



داده می‌شود که
انرژی جنبشی سیستم و
انرژی پتانسیل آن می باشد. به این ترتیب معادله‌ی شرودینگر در پایه‌های پیوسته به فرم زیر نوشته می‌شود:



(11)

که در آن
تابع موج سیستم است. جواب‌های این معادله، طیف انرژی سیستم و نیز تابع موج آن را مشخص می‌کنند. این فرمول‌بندی مکانیک کوانتومی در نمایش موقعیت، که توسط شرودینگر ارائه شده است، به عنوان مکانیک موجی شناخته می‌شود.

 

P O U R I A

مدیر مهندسی شیمی مدیر تالار گفتگوی آزاد
مدیر تالار
3- اصول موضوعه اساسی مکانیک کوانتومی

اصول موضوعه‌ی مکانیک کوانتومی به عنوان کم‌ترین فرضیاتی تلقی می‌شوند که برای توسعه‌ی این شاخه از فیزیک، مورد نیاز است. هیچ‌یک از این اصول ، قابل اثبات نیستند و صرفاً از آزمایش‌ها نتیجه شده‌اند.

مطابق با مکانیک کلاسیک، حالت یک ذره در هر زمان t، با دو متغیر دینامیکی مشخص می شود: موقعیت
و تکانه
هر کمیت فیزیکی دیگر مربوط به این سیستم را می‌توان بر حسب این دو متغیر دینامیکی محاسبه کرد. به علاوه با دانستن این متغیرها در یک زمان معین، می‌توان با استفاده از معادلات هامیلتون:



(12)






مقادیر این متغیرها را در هر زمان دیگر 't پیش بینی کرد.

قرینه مکانیک کوانتومی این مفاهیم، همان اصول موضوعه هستند که درک مفاهیم زیر را ممکن می‌سازند:


*چگونه یک حالت کوانتومی در یک زمان t به صورت ریاضی توصیف می‌شود؟

* چگونه می‌توان کمیت‌های فیزیکی مختلف را از این حالت کوانتومی به دست آورد؟
* با دانستن حالت سیستم در یک زمان t چگونه می‌توان حالت سیستم را در هر زمان دیگر't یافت؟
* چگونه می‌توان تحول زمانی سیستم را توصیف کرد؟

3-1- اصل موضوعه 1: حالت یک سیستم

حالت هر سیستم فیزیکی در هر زمان t با یک بردار حالت در فضای هیلبرت H مشخص می‌شود؛
شامل همه‌ی اطلاعات لازم در مورد سیستم است و هر برهم نهی از بردارهای حالت نیز یک بردار حالت است.


3-2- اصل موضوعه 2: مشاهده پذیرها و عملگرها

به هر کمیت قابل اندازه‌گیری A، که یک مشاهده‌پذیر یا متغیر دینامیکی نامیده می شود، یک عملگر هرمیتی
خطی نسبت داده می‌شود که ویژه بردارهای آن تشکیل یک پایه کامل می‌دهند.


3-3- اصل موضوعه 3: اندازه‌گیری‌ها و ویژه مقدارهای عملگرها

اندازه‌گیری یک مشاهده‌پذیر A را می‌توان با اعمال
بر بردار حالت
نمایش داد. تنها نتیجه‌ی ممکنِ این اندازه‌گیری، یکی از ویژه مقدارهای an عملگر
است. اگر نتیجه‌ی اندازه‌گیری
روی حالت
عبارت باشد از an، آن‌گاه حالت سیستم درست بعد از اندازه‌گیری با رابطه‌ی زیر داده می‌شود:

(13)
 

P O U R I A

مدیر مهندسی شیمی مدیر تالار گفتگوی آزاد
مدیر تالار
3-4- اصل موضوعه 4: نتیجه‌ی احتمالی اندازه‌گیری‌ها

3-4-1- طیف‌های گسسته


وقتی مشاهده‌پذیر A یک سیستم روی بردار حالت
اندازه‌گیری می‌شود، احتمال به دست آوردن یکی از ویژه مقدارهای anمتناظر با عملگر با رابطه‌ی زیر داده می‌شود:


(14)


که در آن،
ویژه حالت
با ویژه مقدار anاست.


اگر سیستم قبلاً در یک ویژه حالت از باشد، اندازه‌گیری
به طور قطعی، به ویژه مقدار anمنجر می‌شود:


(15)



3-4-2- طیف‌های پیوسته


رابطه‌ی (14) برای طیف‌های گسسته معتبر است، می‌توان برای یافتن چگالی احتمال در فضای پیوسته، بسط داد. اندازه‌گیری
برای سیستمی که ابتدا در حالت
بوده است، مقداری بین aو a+da به دست می‌دهد:


(16)



احتمال این است که حالت سیستم، پس از اندازه‌گیری مشاهده‌پذیر A، یکی از ویژه حالات عملگر باشد.


به عنوان مثال، چگالی احتمال یافتن ذره در بازه x و x+dx به شکل زیر محاسبه می‌شود:



(17)
 

P O U R I A

مدیر مهندسی شیمی مدیر تالار گفتگوی آزاد
مدیر تالار
3-4-5- اصل موضوعه 5: تحول زمانی یک سیستم

تحول زمانی بردار حالت
یک سیستم، با معادله شرودینگر وابسته به زمان توصیف می‌شود:



(18)


همانطور که قبلاً هم اشاره شد، در رابطه‌ی بالا
عملگر هامیلتونی مربوط به انرژی کل سیستم می‌باشد:



(19)


جمله اول از چپ انرژی جنبشی و
انرژی پتانسیل مربوط به سیستم است.


معادله‌ی شرودینگر وابسته به زمان، به صورت زیر نوشته می‌شود:


(20)



معادله‌ی مستقل از زمان شرودینگر نیز به شکل زیر می‌باشد:


(21)
 

P O U R I A

مدیر مهندسی شیمی مدیر تالار گفتگوی آزاد
مدیر تالار
4- اندازه‌گیری در مکانیک کوانتومی

نظریه‌ی مکانیک کوانتومی از نتایج اندازه‌گیری می‌گوید، این نظریه درباره‌ی آن‌چه که در دنیای فیزیکی خارج از حیطه‌ی اندازه‌گیری رخ می‌دهد، حرفی برای گفتن ندارد.

در فیزیک کلاسیک اندازه‌گیری روی یک سیستم را می‌توان بدون مختل کردن آن، انجام داد. در حالی‌که در مکانیک کوانتومی فرآیند اندازه‌گیری، سیستم را مختل می‌کند. در واقع هنگام اندازه‌گیری روی سیستم‌های کلاسیکی نیز اختلال رخ می‌دهد اما این اختلال به قدری کوچک است که به راحتی می‌توان از آن چشم‌پوشی کرد. اما در سیستم‌های اتمی و زیراتمی، عمل اندازه‌گیری اغتشاشاتی غیرقابل چشم‌پوشی ایجاد می‌کند.


مثال) فرض کنید آزمایشی با هدف اندازه‌گیری موقعیت الکترونی در اتم هیدروژن، طراحی شده باشد. برای این کار لازم است که الکترون با تابش الکترومغناطیسی (فوتون‌ها) بمباران شود. اگر بخواهیم موقعیت الکترون را بطور دقیق مشخص گردد، طول موج تابش باید به حد کافی کوتاه باشد. چون مدار الکترونی از مرتبه‌ی 10[SUP]-10[/SUP]m است، باید از تابشی استفاده شود که طول موج آن کم‌تر از10[SUP]-10[/SUP]m باشد. به این ترتیب، برای بمباران الکترون به فوتون‌هایی با انرژی بیش‌تر از


(22)


نیاز است. وقتی چنین فوتون‌هایی به الکترون برخورد می‌کنند، نه تنها الکترون را مختل می‌نمایند بلکه آن را به طور کامل از مدارش خارج می‌کنند. از آن جایی که انرژی یونش اتم هیدروژن در حدود 13.5eV است، صِرف عمل اندازه‌گیریِ موقعیت الکترون، آن را بطور قابل ملاحظه‌ای مختل می‌نماید.
عمل اندازه‌گیری بطور کلی حالت سیستم را تغییر می‌دهد. از لحاظ نظری، هر وسیله‌ی اندازه‌گیری، با یک عملگر نشان داده می‌شود، به گونه‌ای که پس از اندازه‌گیری، سیستم در یکی از ویژ حالت‌های عملگر قرار خواهد گرفت.

حالت یک سیستم را قبل از اندازه‌گیری مشاهده‌پذیر A، می‌توان به شکل زیر نمایش داد:


(23)
 

P O U R I A

مدیر مهندسی شیمی مدیر تالار گفتگوی آزاد
مدیر تالار
مطابق با اصل موضوعه‌ی چهارم، عمل اندازه‌گیری A حالت سیستم را از
به یکی از ویژه حالت‌های |
عملگر
خواهد بُرد و نتیجه‌ی حاصل، ویژه مقدار an خواهد بود. تنها استثنا برای این قاعده هنگامی است که سیستم قبلاً در یکی از ویژ حالت‌های مشاهده‌پذیر حین اندازه‌گیری بوده باشد. برای نمونه، اگر سیستم در ویژه حالت
باشد، یک اندازه‌گیری از مشاهده‌پذیر A ، بطور قطعی (با احتمالی برابر 1) مقدار an را، بدون تغییر در حالت
، به دست می‌دهد.

پیش از اندازه‌گیری، به یقین نمی‌توان تغییری که در حالت سیستم اتفاق می‌افتد، را تعیین کرد. به عبارت دیگر، نمی‌توان گفت که پس از اعمال اندازه‌گیری، حالت سیستم در کدام‌یک از ویژه حالات مختلف
قرار می‌گیرد و تنها از یک نتیجه‌ی احتمالی می‌‌توان سخن گفت. همانگونه که اشاره شد، طبق اصل موضوعه‌ی چهارم، احتمال یافتن سیستم در یکی از ویژه حالات عملگر اندازه‌گیری مورد نظر، با رابطه‌ی زیر داده می‌شود:



(24)


در نهایت می‌توان گفت مکانیک کوانتومی در مواردی که اندازه‌گیری‌ها با حالات سیستم تداخل می‌کنند، کار می‌کند. از دیدگاه مکانیک کوانتومی، نمی‌توان اثراتی که تجهیزات اندازه‌گیری روی حالت سیستم‌ها برجای می‌گذارند، را نادیده گرفت. بطور کلی، اندازه‌گیری‌های مشخص نمی‌توانند بدون ایجاد اغتشاش اساسی روی سایر خصوصیات سیستم کوانتومی، انجام شوند؛ در حقیقت، این اثراتِ تداخل ابزار اندازه‌گیری با سیستم است که جوهره‌ی مکانیک کوانتومی را تشکیل می‌دهد.

5- مکانیک کوانتومی و مکانیک کلاسیک

در مباحث اولیه‌ی مکانیک کوانتومی، مشاهدات تجربی که تأییدی بر نقص فیزیک کلاسیک بودند، مطرح شد؛ اما این نکته را باید در نظر داشت که فیزیک کلاسیک در قلمرو دنیای ماکروسکوپی به خوبی کار می‌کند. با توجه به این ادعا که نظریه‌ی مکانیک کوانتومی کلی‌تر از فیزیک کلاسیک در نظر گرفته می‌شود، باید بتواند نه تنها در مقیاس میکروسکوپی، بلکه در حد کلاسیک نیز نتایج دقیقی به دست بدهد.
 

P O U R I A

مدیر مهندسی شیمی مدیر تالار گفتگوی آزاد
مدیر تالار
سوالی که مطرح می شود این است که چگونه می‌توان تصمیم گرفت که برای توصیف حرکت یک سیستم معین، چه موقع باید از مکانیک کوانتومی و چه موقع از مکانیک کلاسیک استفاده کرد؟ به عبارت دیگر، چگونه می‌توان پی برد چه موقع توصیف کلاسیکی کافیست و چه موقع باید از توصیف کوانتومی استفاده شود؟

پاسخ این پرسش، از مقایسه‌ اندازه‌ی کمیت‌هایی از سیستم که بُعد کنش (بعدی که اندازه گیری روی آن انجام می شود) دارند، با ثابت پلانک، بدست می‌آید. می‌توان گفت که اگر متغیر دینامیکی یک سیستم که بُعد کنش دارد، در مقایسه با h خیلی بزرگ‌تر باشد، این سیستم را می‌توان بطور دقیق با فیزیک کلاسیک توصیف کرد. در غیر اینصورت، استفاده از توصیف کوانتومی اجتناب‌ناپذیر است. باید به یاد داشت که برای سیستم‌های میکروسکوپی، اندازه‌ی متغیرهای کنش از مرتبه‌ی h است. به عنوان مثال، اندازه حرکت زاویه‌ای اتم هیدروژن L=nħ است، که در آن n متناهی می‌باشد.

روش معادل دیگر، برای یافتن حد کلاسیکی، استفاده از طول است. با توجه به طول موج دوبروی ذرات
حوزه‌ی کلاسیکی را می‌توان با حد λ0 مشخص کرد. این بدان معناست که سیستمی را که طول موج دوبروی آن در مقایسه با اندازه‌اش کوچک باشد، می‌توان بطور دقیق با فیزیک کلاسیک توصیف کرد.

بطور خلاصه، حد کلاسیکی را می‌توان با حد h0، یا معادل آن λ0، توصیف کرد. در این حدود، پیش‌بینی‌های مکانیک کوانتومی باید شبیه پیش‌بینی‌های فیزیک کلاسیک باشد:

مکانیک کلاسیک → (مکانیک کوانتومی)



مکانیک کلاسیک → (مکانیک کوانتومی)

از این رو، مکانیک کلاسیک را می‌توان به عنوان حد «طول موجِ کوتاه»ِ مکانیک کوانتومی در نظر گرفت و به این ترتیب، مکانیک کوانتومی، مکانیک کلاسیک را به عنوان یک حالت حدی در بر دارد. در نتیجه در حد h0 یا λ0، کمیت‌های دینامیکی کوانتومی باید تناظر یک به یکی با قرینه‌های کلاسیک‌شان داشته باشند و این، اساس اصل تطابق است.
چگونه می‌توان در حد کلاسیک، طبیعت احتمالی مکانیک کوانتومی را با قطعیت فیزیک کلاسیک سازگار کرد؟

هنگامی‌که h0 می‌توان افت‌وخیزهای کوانتومی را ناچیز شمرد، به این دلیل که اصل عدم قطعیت هایزنبرگ در حد h0، صورتِ قطعیت به خود می‌گیرد و به این ترتیب افت‌وخیزهای موقعیت
و اندازه حرکت
صفر خواهد شد.

در نتیجه، برای مواردی که متغیرهای کنش سیستم در مقایسه با h خیلی بزرگ هستند (یا بطور معادل، وقتی ابعاد سیستم در مقایسه با طول موج دوبروی، بزرگ‌تر باشد)، مکانیک کوانتومی همان نتایج مکانیک کلاسیک را می‌دهد.

 
بالا