*آشنایی با تابع نمایی*

nice_Alice

مدیر بازنشسته
کاربر ممتاز
معکوس تابع y = ln x را تابع نمایی
گوئیم. که موارد استفاده زیادی در ریاضیات دارد.

[SUP]تعریف[/SUP]:


تابع
به ازای هر عدد حقیقی x ،
تابع
را تابع نمایی با پایه e و نمای x مینامند. نمادی دیگر برای
،
است که "اکسپوتانسیل x" خوانده میشود. نمودار
را میتوان با پیداکردن قرینه y=ln x نسبت به خط y=x بدست آورد. نمودار
همان نمودار x = ln y است. باید دقت داشته باشیم که چون
و y = ln x معکوس یکدیگرند آنگاه به ازای هر x بزرگتر از صفر:
تابع
در اثر مشتقگیری تغییر نمیکند؛ این تابع فنا ناپذیر است. این تابع تابعی است صعودی زیرا مشتق آن مثبت است.
ویژگیها:


  1. تابع نمایی
    معکوس تابع لگاریتم طبیعی y = ln x است.
  2. دامنه آن تمام اعداد حقیقی است.
  3. بردش تمام اعداد مثبت.
  4. مشتقش همواره با خودش برابر است. و توابعی است پیوسته و صعودی از x.
    تابعهای
    :


    اگر α یک عدد مثبت و x هر عدد دلخواهی باشد، تابع
    را با معادله زیر تعریف میکنیم:




  1. ویژگیهای تابع
    :


    اگر a یک عدد حقیقی مثبت باشد و
    آنگاه تابع
    دارای ویژگیهای زیر است:
  2. دامنه: مجموعه اعداد حقیقی
  3. برد: مجموعه همه اعداد حقیقی مثبت: y>0
  4. مشتق آن عبارت است از
  5. پیوسته است (زیرا مشتقپذیر است)؛ صعودی است هر گاه a>1. نزولی است هر گاه 0 < a <1 و در هرحالت یکبهیک است.
 

nice_Alice

مدیر بازنشسته
کاربر ممتاز
  1. توابع لگاریتمی
    :



    در قسمت قبلی اشاره کردیم که لگاریتم طبیعی یکی از توابع لگاریتمی است که معکوس تابعنمایی
    است. پس بقیه کدامها هستند؟ بقیه این توابع معکوسهای توابع نمایی
    هستند. این معکوسها در علوم و مهندسی کاربردهای بسیاری دارند.

    کاربردهای توابع نمایی و لگاریتمی :

    در بسیاری از پدیدههای مربوط به فیزیک ، زیستشناسی – محیط زیست و اقتصاد کمیتی چون y در هر زمان مفروض t با آهنگی رشد میکند یا زوال مییابد که متناسب است با مقدار کمیت موجود. این مطلب به معادله
    منجر میشود که k ثابتی است که هرگاه y افزایش یابد، مثبت و هرگاه کاهش یابد منفی است. یا سودی که بطور پیوسته محاسبه میشود. یا محاسبه نیمهعمر یک رادیواکتیو - قانون سرمایش نیوتن.
 

Similar threads

بالا